第一章 §5 5.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数f(x)＝xsin 是( )
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】 A
【解析】 函数f(x)＝xsin＝xcos x，
∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
且定义域为R，∴f(x)是奇函数．
2．当x∈[0,2π]时，满足sin≥－的x的取值范围是( )
A． B．
C．∪ D．
【答案】 C
【解析】 由诱导公式化简可得cos x≥－，结合余弦函数的图象可知选C.
3．已知函数f(x)＝lg(2cos x－1)，则函数f(x)的定义域为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
【答案】 A
【解析】 由题意得2cos x－1>0，即cos x>，则x∈，k∈Z.故选A.
4．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 y＝sin＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B.
5．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
【答案】 D
【解析】 y＝cos x＋|cos x|
＝故选D.
6．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
【答案】 C
【解析】 在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cos x的图象，如图所示．
发现有2个交点，所以方程|x|＝cos x有2个根．
二、填空题
7．函数y＝cos，x∈的值域是____________.
【答案】
【解析】 0≤x≤，≤x＋≤，－≤cos≤，所以函数的值域为.
8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增加的，则a的取值范围是______________.
【答案】 (－π，0]
【解析】 ∵y＝cos x在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数，∴只有－π
9．函数y＝的减区间为__________________________.
【答案】 (k∈Z)
【解析】 由已知得1－2cos x≥0，∴cos x≤，因此y＝的减区间即为y＝cos x的增区间且cos x≤，所以所求区间为(k∈Z)．
三、解答题
10．若函数f(x)＝a－bsin x的最大值为，最小值为－，求函数y＝1－acos bx的最值和周期．
【解析】 ①当b>0时，若sin x＝－1，f(x)max＝；
若sin x＝1，f(x)min＝－，
即解得
此时b＝1>0符合题意，所以y＝1－cos x.
②当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值，最小值－矛盾，故b＝0不成立．
③当b<0时，显然有
解得符合题意．
所以y＝1－cos(－x)＝1－cos x.
综上可知，函数y＝1－cos x的最大值为，最小值为，周期为2π.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列函数中最小正周期为π，且在区间上单调递增的是( )
A．y＝sin x B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝|cos x|
【答案】 B
【解析】 依题意，最小正周期为T＝＝2π≠π，所以A、C选项不符合题意；y＝|sin x|周期为T＝π，且在上单调递增，所以B选项符合题意；y＝|cos x|周期为T＝π，且在上单调递减，所以D选项不符合题意．故选B.
2．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( )
A．cos 0B．cos 0C．cos 0>cos>cos 1>cos 30°>cos π
D．cos 0>cos>cos 30°>cos 1>cos π
【答案】 D
【解析】 在上，0<<<1，又余弦函数在上是减少的，所以cos 0>cos>cos>cos 1>0.又cos π<0，所以cos 0>cos>cos>cos 1>cos π.
3．(多选)已知函数f(x)＝|2cos x|，则( )
A．函数f(x)的最小正周期T＝2π
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f(x)在上的值域为(0，)
D．函数f(x)的图象关于直线x＝2 025π对称
【答案】 BD
【解析】 因为f(x)＝|2cos x|＝2|cos x|，
作出函数的大致图象，
函数f(x)的最小正周期T＝π，故A错误；由图象可知函数的增区间为(k∈Z)，故函数f(x)在上单调递增，故B正确；当x∈时，cos x∈，f(x)∈[0,2]，故C错误；因为f(2 025π)＝2|cos(2 025π)|＝2，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2 025π对称，故D正确．故选BD.
4．(多选)若函数f(x)＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( )
A．当x∈时，y<0
B．f(0)＝1
C．f＝0
D．围成的封闭图形的面积为2π
【答案】 AC
【解析】 作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；
利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴封闭图形的面积等于S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴D错误．故选AC.
二、填空题
5．若cos x＝，且x∈R，则m的取值范围是_______________.
【答案】 (－∞，－3]∪
【解析】 ∵＝|cos x|≤1，
∴|2m－1|≤|3m＋2|.
∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.
∴m≤－3，或m≥－.
∴m∈(－∞，－3]∪.
6．函数y＝logcos x的递增区间是______________.
【答案】 (k∈Z)
【解析】 由题知cos x>0，x∈，k∈Z.
又令t＝cos x，y＝logt，则t＝cos x的减区间即为y＝logcos x的增区间．
∴x∈(k∈Z)．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝2cos x－1.
(1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图；
x 0 π 2π
f(x)
(2)求不等式f(x)>－－1在全体实数上的解集．
【解析】 (1)表格如下：
x 0 π 2π
f(x) 1 －1 －3 －1 1
用五点法在直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图如下
(2)由已知f(x)＝2cos x－1>－－1，
得cos x>－，
得－＋2kπ即不等式f(x)>－－1在全体实数上的解集为，k∈Z.
8．函数f(x)＝－＋acos x－cos2x的最大值为2，求实数a的值．
【解析】 令t＝cos x，由0≤x≤，知0≤cos x≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为y＝－t2＋at＋－＝－2＋＋－，t∈[0,1]．
①若≤0，即a≤0时，当t＝0时，
ymax＝－＝2，解得a＝－6.
②若0<<1，即0ymax＝＋－＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去．
③若≥1，即a≥2时，当t＝1时，
ymax＝－1＋a＋－＝2，解得a＝.
综上所述，可知a＝－6或.
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第一章 三角函数
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．能用“五点法”画余弦函数在[0,2π]上的图象．
2．理解余弦曲线的意义．
3．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 通过学习余弦函数的图象及性质，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理，数学运算等素养.
必备知识 探新知
知识点1 余弦函数的图象
知识点2 余弦函数的性质
(1)定义域：R
(2)值域：[－1,1]．
当x＝2kπ，k∈Z时余弦函数y＝cos x取得最大值1；当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，余弦函数y＝cos x取得最小值－1.
(3)周期性：最小正周期是2π.
(4)单调性：单调增区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)，单调减区间：[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)．
(5)奇偶性：余弦函数y＝cos x在R上是偶函数．
关键能力 攻重难
1.用“五点法”画函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
【分析】 运用“五点法”作图，正确找出五个点是作图的关键．
【解析】 方法一：按五个关键点列表：
题型一
余弦函数的图象
描点画图(如图所示)．
方法二：先用五点法画y＝cos x的图象，再作它关于x轴的对称图象．
[归纳提升]
归纳提升：
“五点法”画函数图象是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图象可以化归为基本函数来画，也可借助于图象变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到．
〉对点训练1
用五点法作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．
【解析】 列表：
描点得y＝3＋2cos x在一个周期内的图象(如图所示)：
2.(1)求函数y＝1－cos x的单调区间；
题型二
余弦函数的单调性及应用
【解析】 (1)因为y＝cos x在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上单调递减，
所以y＝1－cos x的单调递减区间是[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)．
[归纳提升]
归纳提升：
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求函数单调区间，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意定义域及复合函数单调性的规律．
求函数单调区间时，可以利用诱导公式将ω变为正值．由A的符号来确定单调性，若A>0，则其单调区间与余弦函数的单调性一致；若A<0，则单调性相反．
(2)比较大小的一般步骤
①把异名三角函数化为同名三角函数．
②利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上．
③利用三角函数的单调性比较大小．
〉对点训练2
(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin αB．cos αC．cos αD．cos α>cos β
(2)将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_______.
【答案】 (1)B (2)cos 150°3.求下列函数的最大值及最小值：
(1)y＝－3cos x＋1；
题型三
求余弦函数的值域(最值)
【分析】 对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解．
【解析】 (1)∵－1≤cos x≤1，
又∵一次函数y＝－3m＋1在m∈R上是单调减函数，
∴当cos x＝－1时，ymax＝4，
当cos x＝1时，ymin＝－2.
[归纳提升]
归纳提升：
与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法
(1)对于y＝acos x＋b的形式，借助余弦函数的有界性|cos x|≤1求解．
〉对点训练3
课堂检测 固双基
1.用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )
A．(π，－1) B．(0,2)
【答案】 A
【解析】 x＝π时，y＝3－cos π＝3－(－1)＝4≠－1.
【答案】 B
【答案】 D
【解析】 由正、余弦函数的单调性判断可知选D.
4．不等式cos x>0，x∈[0,2π]的解集是______________.
5．函数y＝cos2x－6cos x＋10的值域为________.
【答案】 [5,17]
【解析】 令t＝cos x，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，
当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值17；
当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值5.
所以该函数的值域是[5,17]．