北师大版高中数学必修第二册第1章5.2余弦函数的图象与性质再认识课件+练习含答案(教师用)

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名称 北师大版高中数学必修第二册第1章5.2余弦函数的图象与性质再认识课件+练习含答案(教师用)
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资源类型 试卷
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-10 10:13:55

文档简介

第一章 §5 5.2 
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1.函数f(x)=xsin 是(  )
A.奇函数
B.非奇非偶函数
C.偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=xsin=xcos x,
∵f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcos x=-f(x),
且定义域为R,∴f(x)是奇函数.
2.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是(  )
A. B.
C.∪ D.
【答案】 C
【解析】 由诱导公式化简可得cos x≥-,结合余弦函数的图象可知选C.
3.已知函数f(x)=lg(2cos x-1),则函数f(x)的定义域为(  )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【答案】 A
【解析】 由题意得2cos x-1>0,即cos x>,则x∈,k∈Z.故选A.
4.函数y=sin的一个对称中心是(  )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 y=sin=cos 2x,对称中心是函数图象与x轴的交点,将四个点代入验证,只有符合要求,故选B.
5.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为(  )
【答案】 D
【解析】 y=cos x+|cos x|
=故选D.
6.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内(  )
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
【答案】 C
【解析】 在同一坐标系中作函数y=|x|及函数y=cos x的图象,如图所示.
发现有2个交点,所以方程|x|=cos x有2个根.
二、填空题
7.函数y=cos,x∈的值域是____________.
【答案】 
【解析】 0≤x≤,≤x+≤,-≤cos≤,所以函数的值域为.
8.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围是______________.
【答案】 (-π,0]
【解析】 ∵y=cos x在[-π,0]上是增加的,在[0,π]上是减函数,∴只有-π9.函数y=的减区间为__________________________.
【答案】 (k∈Z)
【解析】 由已知得1-2cos x≥0,∴cos x≤,因此y=的减区间即为y=cos x的增区间且cos x≤,所以所求区间为(k∈Z).
三、解答题
10.若函数f(x)=a-bsin x的最大值为,最小值为-,求函数y=1-acos bx的最值和周期.
【解析】 ①当b>0时,若sin x=-1,f(x)max=;
若sin x=1,f(x)min=-,
即解得
此时b=1>0符合题意,所以y=1-cos x.
②当b=0时,f(x)=a,这与f(x)有最大值,最小值-矛盾,故b=0不成立.
③当b<0时,显然有
解得符合题意.
所以y=1-cos(-x)=1-cos x.
综上可知,函数y=1-cos x的最大值为,最小值为,周期为2π.
B 组·素养提升
一、选择题
1.下列函数中最小正周期为π,且在区间上单调递增的是(  )
A.y=sin x B.y=|sin x|
C.y=cos x D.y=|cos x|
【答案】 B
【解析】 依题意,最小正周期为T==2π≠π,所以A、C选项不符合题意;y=|sin x|周期为T=π,且在上单调递增,所以B选项符合题意;y=|cos x|周期为T=π,且在上单调递减,所以D选项不符合题意.故选B.
2.将下列各式按大小顺序排列,其中正确的是(  )
A.cos 0B.cos 0C.cos 0>cos>cos 1>cos 30°>cos π
D.cos 0>cos>cos 30°>cos 1>cos π
【答案】 D
【解析】 在上,0<<<1,又余弦函数在上是减少的,所以cos 0>cos>cos>cos 1>0.又cos π<0,所以cos 0>cos>cos>cos 1>cos π.
3.(多选)已知函数f(x)=|2cos x|,则(  )
A.函数f(x)的最小正周期T=2π
B.函数f(x)在上单调递增
C.函数f(x)在上的值域为(0,)
D.函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称
【答案】 BD
【解析】 因为f(x)=|2cos x|=2|cos x|,
作出函数的大致图象,
函数f(x)的最小正周期T=π,故A错误;由图象可知函数的增区间为(k∈Z),故函数f(x)在上单调递增,故B正确;当x∈时,cos x∈,f(x)∈[0,2],故C错误;因为f(2 025π)=2|cos(2 025π)|=2,所以函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称,故D正确.故选BD.
4.(多选)若函数f(x)=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则下列说法正确的是(  )
A.当x∈时,y<0
B.f(0)=1
C.f=0
D.围成的封闭图形的面积为2π
【答案】 AC
【解析】 作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分,由图可知,A正确;B错误;C正确;
利用图象的对称性,可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π,
∴封闭图形的面积等于S矩形OABC=2×2π=4π,∴D错误.故选AC.
二、填空题
5.若cos x=,且x∈R,则m的取值范围是_______________.
【答案】 (-∞,-3]∪
【解析】 ∵=|cos x|≤1,
∴|2m-1|≤|3m+2|.
∴(2m-1)2≤(3m+2)2.
∴m≤-3,或m≥-.
∴m∈(-∞,-3]∪.
6.函数y=logcos x的递增区间是______________.
【答案】 (k∈Z)
【解析】 由题知cos x>0,x∈,k∈Z.
又令t=cos x,y=logt,则t=cos x的减区间即为y=logcos x的增区间.
∴x∈(k∈Z).
三、解答题
7.已知函数f(x)=2cos x-1.
(1)完成下列表格,并用五点法在下面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图;
x 0 π 2π
f(x)
(2)求不等式f(x)>--1在全体实数上的解集.
【解析】 (1)表格如下:
x 0 π 2π
f(x) 1 -1 -3 -1 1
用五点法在直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图如下
(2)由已知f(x)=2cos x-1>--1,
得cos x>-,
得-+2kπ即不等式f(x)>--1在全体实数上的解集为,k∈Z.
8.函数f(x)=-+acos x-cos2x的最大值为2,求实数a的值.
【解析】 令t=cos x,由0≤x≤,知0≤cos x≤1,即t∈[0,1].所以原函数可以转化为y=-t2+at+-=-2++-,t∈[0,1].
①若≤0,即a≤0时,当t=0时,
ymax=-=2,解得a=-6.
②若0<<1,即0ymax=+-=2,解得a=3或a=-2,全舍去.
③若≥1,即a≥2时,当t=1时,
ymax=-1+a+-=2,解得a=.
综上所述,可知a=-6或.
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第一章 三角函数
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1.能用“五点法”画余弦函数在[0,2π]上的图象.
2.理解余弦曲线的意义.
3.掌握余弦函数的性质,会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 通过学习余弦函数的图象及性质,重点提升学生的数学抽象、逻辑推理,数学运算等素养.
必备知识 探新知
知识点1 余弦函数的图象
知识点2 余弦函数的性质
(1)定义域:R
(2)值域:[-1,1].
当x=2kπ,k∈Z时余弦函数y=cos x取得最大值1;当x=(2k+1)π,k∈Z时,余弦函数y=cos x取得最小值-1.
(3)周期性:最小正周期是2π.
(4)单调性:单调增区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),单调减区间:[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).
(5)奇偶性:余弦函数y=cos x在R上是偶函数.
关键能力 攻重难
1.用“五点法”画函数y=-cos x,x∈[0,2π]的简图.
【分析】 运用“五点法”作图,正确找出五个点是作图的关键.
【解析】 方法一:按五个关键点列表:
题型一
余弦函数的图象
描点画图(如图所示). 
   
方法二:先用五点法画y=cos x的图象,再作它关于x轴的对称图象.
[归纳提升]
归纳提升:
“五点法”画函数图象是一项重要的基本技能,必须熟练掌握,复杂函数的图象可以化归为基本函数来画,也可借助于图象变换的方法,如平移、对称、翻折等,这些将在后文中讲到.
〉对点训练1
用五点法作出函数y=3+2cos x在一个周期内的图象.
【解析】 列表:
描点得y=3+2cos x在一个周期内的图象(如图所示):
2.(1)求函数y=1-cos x的单调区间;
题型二
余弦函数的单调性及应用
【解析】 (1)因为y=cos x在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上单调递减,
所以y=1-cos x的单调递减区间是[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),单调递增区间是[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).
[归纳提升]
归纳提升:
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求函数单调区间,应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意定义域及复合函数单调性的规律.
求函数单调区间时,可以利用诱导公式将ω变为正值.由A的符号来确定单调性,若A>0,则其单调区间与余弦函数的单调性一致;若A<0,则单调性相反.
(2)比较大小的一般步骤
①把异名三角函数化为同名三角函数.
②利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上.
③利用三角函数的单调性比较大小.
〉对点训练2
(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是(  )
A.sin αB.cos αC.cos αD.cos α>cos β
(2)将cos 150°,sin 470°,cos 760°按从小到大排列为_______.
【答案】 (1)B (2)cos 150°3.求下列函数的最大值及最小值:
(1)y=-3cos x+1;
题型三
求余弦函数的值域(最值)
【分析】 对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解,对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解.
【解析】 (1)∵-1≤cos x≤1,
又∵一次函数y=-3m+1在m∈R上是单调减函数,
∴当cos x=-1时,ymax=4,
当cos x=1时,ymin=-2.
[归纳提升]
归纳提升:
与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法
(1)对于y=acos x+b的形式,借助余弦函数的有界性|cos x|≤1求解.
〉对点训练3
课堂检测 固双基
1.用“五点法”作出函数y=3-cos x的图象,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(  )
A.(π,-1) B.(0,2)
【答案】 A
【解析】 x=π时,y=3-cos π=3-(-1)=4≠-1.
【答案】 B
【答案】 D
【解析】 由正、余弦函数的单调性判断可知选D.
4.不等式cos x>0,x∈[0,2π]的解集是______________.
5.函数y=cos2x-6cos x+10的值域为________.
【答案】 [5,17]
【解析】 令t=cos x,
由于x∈R,故-1≤t≤1.
y=t2-6t+10=(t-3)2+1,
当t=-1时,即cos x=-1时函数有最大值17;
当t=1,即cos x=1时函数有最小值5.
所以该函数的值域是[5,17].