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第一章 三角函数
§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．理解任意角的正切函数的定义．
2．会根据任意角终边上一点的坐标求正切函数值．
3．掌握正切函数的诱导公式的推导及应用. 通过学习正切函数的定义及诱导公式，重点提升学生的逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 正切函数的定义
比值______是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为________________________
tan α
－tan α
关键能力 攻重难
【分析】 由tan α>0可判断出角α所在的象限，然后利用三角函数的定义求sin α与cos α.
题型一
正切函数的定义及应用
[归纳提升]
归纳提升：
〉对点训练1
【分析】 利用诱导公式均化为α的三角函数．
题型二
正切函数的诱导公式及应用
[归纳提升]
归纳提升：
利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的．
〉对点训练2
题型三
用正切函数的定义进行化简求值
[归纳提升]
归纳提升：
已知正切值，求三角函数齐次式的值的求解方程
(1)将所求代数式的分子、分母同时除以cos α(或sin α)得到关于tan α的代数式；
(2)将tan α的值代入求解即可.
〉对点训练3
课堂检测 固双基
【答案】 A
2．已知P(2，－3)是α终边上一点，则tan(2π＋α)等于( )
【答案】 C
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 －cos α第一章 §7 7.1 7.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．tan(－330°)的值为( )
A． B．－
C．－ D．
【答案】 A
【解析】 tan(－330°)＝tan(30°－360°)＝tan 30°＝.故选A.
2．设tan(5π＋α)＝m，tan α＝，则
的值为( )
A． B．
C．－1 D．1
【答案】 A
【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m，原式＝＝＝＝.
3．已知α为第一象限角，tan(π－α)＋3＝0，且sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，则sin α的值可以是( )
A． B．－
C． D．－
【答案】 C
【解析】 由tan(π－α)＋3＝0可得tan(π－α)＝－3，即－tan α＝－3，所以tan α＝3，又＝tan α＝3，所以cos α＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋＝1，解得sin α＝±，又α为第一象限角，所以负值舍去．故选C.
4．若点(a,32)在函数y＝2x的图象上，则tan的值为( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】 C
【解析】 因为点(a,32)在函数y＝2x的图象上，
所以2a＝32，即a＝5，
所以tan＝tan＝tan＝tan
＝－tan＝－.
5．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为，则tan α＝( )
A．－ B．1
C． D．－1
【答案】 D
【解析】 P，即P，则tan α＝＝－1.故选D.
6．若角θ的终边经过点(1，－2)，则sin(θ＋π)＋cos＋tan(π＋θ)＝( )
A．2 B．－
C．－2 D．
【答案】 C
【解析】 由诱导公式可得sin(θ＋π)＋cos＋tan(π＋θ)＝－sin θ＋sin θ＋tan θ＝tan θ，又角θ的终边经过点(1，－2)，所以tan θ＝－2，所以sin(θ＋π)＋cos＋tan(π＋θ)＝tan θ＝－2.故选C.
二、填空题
7．若角α的终边经过点P(1,0)，则tan α＝ .
【答案】 0
【解析】 因为角α的终边经过点P(1,0)，则tan α＝＝＝0.
8．若tan α＝－2，则的值为 .
【答案】 －
【解析】 原式＝
＝＝＝－.
9．已知α∈，tan α＝－，则cos＝ .
【答案】 －
【解析】 因为α∈，且tan α＝－，可设角α终边上一点坐标为(－3,4)，又cos＝cos＝－sin α，所以cos＝－sin α＝－＝－.
三、解答题
10．已知角α的终边与单位圆交于点，试求的值．
【解析】 原式＝＝－.
∵角α的终边与单位圆交于点，∴sin α＝－，cos α＝，
tan α＝－.∴原式＝－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知α∈，tan(α－π)＝－，sin αcos α＝－，tan α＝，则sin α＋cos α等于( )
A．± B．－
C． D．－
【答案】 B
【解析】 因为α∈且tan(α－π)＝tan α＝＝－①.
又因为sin αcos α＝－②，
由①②可得
故sin α＋cos α＝－.
2．已知f(α)＝，
tan α＝，则f的值为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】 B
【解析】 由题意，f(α)＝＝＝－cos α，
则f＝－cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
故选B.
3．(多选)已知cos(π＋α)＝，且sin2α＋cos2α＝1，则tan α的可能取值为( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】 AC
【解析】 因为cos(π＋α)＝－cos α＝，所以cosα＝－，当α在第二象限时，sin α＝，tan α＝－.当α在第三象限时，sin α＝－，tan α＝.
4．已知a＝tan，b＝tan，c＝sin，则有( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】 D
【解析】 a＝tan＝－tan＜0，b＝tan＝tan＝tanπ>0，c＝sin＝－sin<0，而＝＝>1，c<0 a故选D.
二、填空题
5．求值：sin＋cosπ·tan 4π－cos＋sinπ＝ .
【答案】 －1
【解析】 原式＝sin＋cosπ·0－cos＋sin
＝－sin－cos－sin
＝－－－1＝－1.
6．已知tan α＝2，且sin2α＋cos2α＝1，则cos(π＋α)·cos＝ .
【答案】
【解析】 原式＝－cos α·(－sin α)＝sin α·cos α＝＝＝.
三、解答题
7．已知tan(3π＋α)＝3，试求
的值．
【解析】 由tan(3π＋α)＝3，可得tan α＝3，
故
＝
＝＝＝＝.
8．已知sin(π－α)＝－，求sin，tan的值．
【解析】 因为sin(π－α)＝sin α＝－<0，∴α为第三、四象限角，
所以cos α＝±＝±＝±，
当α为第四象限角时，cos α＝，sin＝－cos α＝－，
tan α＝＝－，则tan＝－＝2；
当α为第三象限角时，cos α＝－，
sin＝－cos α＝，
tan α＝＝，则tan＝－＝－2；
综上所述，sin＝－，tan＝2或sin＝，tan＝－2.
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