黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试卷（含答案）

哈尔滨市第一中学校2025-2026学年度
第一次质量检测高二数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知机器中有7个娃娃，机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从，机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（ ）
A. 15种 B. 30种 C. 45种 D. 56种
2. （ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 40
3. 180的不同正因数的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 18
4. 7个相同小球，任意放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法种数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
5. 4本不同书分给3人，每人至少1本，共有（ ）种不同的分法.
A. 36 B. 24 C. 18 D. 72
6. 在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ）
A. 0.2 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.6
7. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 100 D. 120
8. 今天是星期日，再过天是星期几（ ）
A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．）
9. 已知的展开式共有7项，则（ ）
A.
B. 二项式系数和为64
C. 展开式的所有项的系数和为1
D. 含项的系数为
10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ）
A. B. C. D.
11. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有120种不同的放法
B 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有45种
D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知为正整数，若，则__________．
13. 已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）．
14. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有__________种．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
16. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件.
（1）问抽到不合格品的概率是多少
（2）在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少
17. 小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
18. 已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：
（1）展开式中二项式系数最大项的项；
（2）展开式中系数最大项；
（3）展开式中所有有理项.
19. 小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.
（1）求小明射击3次恰有2次中靶概率；
（2）①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.
②求小明第n次中靶的概率.
D
C
D
A
A
A
A
C
BCD
BCD
BC
3或7
140
420
15.(1)解：由，
令，可得.
(2)解：令，可得，
所以.
(3)解：令，可得，
令，可得，
所以
16.(1)设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，
表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，
由题意，，，，，
且，，，，
从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：
.
结合第（1）问知.
17.解：记事件为“小明5道题全答对”，
事件为“小明答对了其中4道题，另1道题答错”，
事件为“小明答对了其中3道题，另2道题答错”，
事件为“小明在这次测试中通过”，
事件为“小明在这次测试中获得优秀”，
则，，两两互斥，且，，
可知
，
，
，
则
，
故小明在这次测试已经通过的条件下，获得优秀成绩的概率为．
18.(1)因为展开式的通项公式为，，
所以
依题意得，即，由已知,
所以，
所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，
所以.
(2)由（1）知，，
设展开式中系数最大的项为第项，则，
即，即，
解得，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.
(3)由为有理项知，为整数，得，，
所以展开式中所有有理项为和.
19.(1)小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：
第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为；
第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为；
第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为;
所以，小明射击3次恰有2次中靶的概率为
(2)小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为；
第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为；
所以，小明第2次中靶的概率为.
因此，小明第2次未中靶的概率为
同理，第3次中靶的概率包括以下两种情况：
第一种：第二次中靶、第三次也中靶，其概率为；
第二种：第二次未中靶、第三次中靶，其概率为；
则小明第3次中靶的概率为
②设小明第n次中靶的概率为，则第次中靶的概率为，
第n次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第次中靶，第n次也中靶，其概率为；
第二种：第次未中靶，第n次中靶，其概率为；
第n次中靶的概率
即，即数列是以为首项，为公比等比数列；
所以，即
当时，符合该式；
所以，小明第n次中靶的概率为