第一章 §8
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
【答案】 C
【解析】 当t＝时，s1＝5·sin＝5·sin＝－5.s2＝10·cos＝－5，所以s1＝s2.
2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过周期后，乙点的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】 D
【解析】 利用三角函数周期性的变化判断可知，选D.
3．某商品一年内每件出厂价在5万元基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7万元，7月份达到最低价3万元，根据以上条件可以确定f(x)解析式是( )
A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
【答案】 D
【解析】 由题意A＝＝2，＝7－3＝4，T＝8，ω＝＝，∴f(x)＝2sin＋5.由x＝3时，f(x)最大，×3＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＋5.
4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为( )
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
【答案】 B
【解析】 将t＝代入I＝5sin，
得I＝2.5 A.
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
【答案】 D
【解析】 由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 ℃.
【答案】 20.5
【解析】 由题意得y＝23＋5cos，当x＝10时y＝20.5.
7.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 .
【答案】 y＝4sin (x≥0)(答案不唯一)
【解析】 不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．由题知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin(x≥0)．
三、解答题
8．如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)在任意一段秒的时间内，电流I既能取得最大
值A，又能取得最小值－A吗？
【解析】 (1)由题图知A＝，T＝2×＝，
∴ω＝＝，所以I＝sin，
又是该函数图象的第二零点，
∴×＋φ＝π，即φ＝，符合|φ|<，
∴I＝sin.
(2)不能．因为由(1)有T＝>，所以不可能．
9.如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
【解析】 (1以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故B点坐标为.所以h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.所以h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，
所以tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
B 组·素养提升
一、选择题
1．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5 安培
C．10 安培 D．－10 安培
【答案】 A
【解析】 由图知，A＝10，函数的周期
T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.
2.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周时用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
【答案】 C
【解析】 由题意，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝.由题意可知，当t＝0时，y＝－3即－3＝6sin φ.∵|φ|<，∴φ＝－.故A正确；f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，∴点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，故C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，故D正确．故选C.
3．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
【答案】 BCD
【解析】 由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错误，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．故选BCD.
4．(多选)从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y与时间t(单位：s)的关系符合函数y＝Asin(ωt＋φ)(|ω|<100)．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号有( )
A．4 B．6
C．12 D．18
【答案】 BCD
【解析】 因为仅有第5张，第13张，第17张照片与第1张照片完全一样，则弹簧振子运动时的最小正周期为T＝12×0.01＝0.12＝s，则ω＝＝，所以y＝Asin，由题意可知，Asin＝Asin，所以sin＝sin，则cos φ＋sin φ＝cos φ－sin φ，所以sin φ＝0，则φ＝mπ，(m∈Z)，则y＝Asin，令y＝0，可得＋mπ＝nπ(m，n∈Z)，所以t＝(n－m)，令k＝n－m∈Z，则t＝k(k∈Z)，由0<≤，可得0二、填空题
5．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .
【答案】 h＝－6sint
6．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为 .
【答案】 y＝4sin ，t∈[0，＋∞)(答案不唯一)
【解析】 设y＝Asin(ωt＋φ)＋b，则A＝＝＝4.0，b＝＝0，ω＝＝＝，所以y＝4sin ，将(0.4,4.0)代入上式，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，从而可知y＝4sin ，t∈[0，＋∞)．
三、解答题
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3 m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2 min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5 m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y(单位：m)(在水面下则y为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t(单位：min)之间的关系为y＝Asin(ωt＋φ)＋b.
(1)求A，ω，φ，b的值；
(2)盛水筒出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【解析】 (1)由题易知解得A＝3，b＝.由题知T＝2＝，得ω＝π，
∴y＝3sin(πt＋φ)＋，∴0＝3sin φ＋，|φ|<，∴φ＝－.∴A＝3，ω＝π，b＝，φ＝－.
(2)由y＝3sin＋＝，
得sin＝1，∴πt－＝＋2kπ，k∈N，
即t＝＋2k，k∈N.
∴当k＝0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时t＝min，即盛水筒出水后至少经过min就可以到达最高点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
第一章 三角函数
§8 三角函数的简单应用
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 通过对“三角函数的简单应用”的学习，培养学生的逻辑推理，数学抽象，数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中____________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用．
周期现象
知识点2 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
关键能力 攻重难
1. 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，
试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
题型一
三角函数模型在物理中的应用
【分析】 对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．
[归纳提升]
归纳提升：
解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
〉对点训练1
本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？
2.如图，一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：
(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？
题型二
建立三角函数模型解决实际问题
[归纳提升]
归纳提升：
面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
〉对点训练2
如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
【答案】 A
3.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：
题型三
数据拟合三角函数问题
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中)．观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．,
【分析】 (1)根据表中近似数据画出散点图，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质，求出该拟合模型的函数解析式即可．
【解析】 (1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
〉对点训练3
某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测，y＝f(t)可近似的看成是函数y＝Asin ωt＋b
(1)根据以上数据，求出y＝f(t)的解析式；
(2)若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
课堂检测 固双基
【答案】 A
2．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数可以是下列中的( )
【答案】 C
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
【答案】 C
4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为_______万度；
(2)这段曲线的函数解析式为______________________________.
