(共36张PPT)
第一章 三角函数
§6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象
6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2．理解并掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的平移与伸缩变换．
3．掌握A、ω、φ对图象形状的影响. 通过学习A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响重点培养学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
R
kπ(k∈Z)
单调递增
单调递减
关键能力 攻重难
【解析】 ①列表：
题型一
“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
②描点连线作出一周期的函数图象．
③把此图象左、右扩展即得
[归纳提升]
〉对点训练1
2.如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象，试确定A，ω，φ的值，并求出函数的解析式．
【分析】 结合图象先求出A，T，再利用待定系数法或图象变换法求解．
题型二
由函数图象确定函数解析式
[归纳提升]
归纳提升：
由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
〉对点训练2
函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
【答案】 C
题型三
由函数解析式研究性质
[归纳提升]
归纳提升：
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的步骤
(1)利用诱导公式将x的系数变正．
(2)将ωx＋φ看作整体，代入正弦函数相应的单调区间中，解出x的范围，并写成区间的形式．
(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.
〉对点训练3
课堂检测 固双基
【答案】 C
【答案】 C
【答案】 C第一章 §6 6.3
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
【答案】 D
【解析】 “五点法”对应解方程．设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1，又图象过点，，
所以解得ω＝2，φ＝.所以函数解析式为y＝sin＝cos.故选D.
2．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 因为直线x＝和x＝是函数f(x)的图象中的两条相邻的对称轴，
所以－＝，即＝π，解得T＝2π.
又T＝＝2π，所以ω＝1.所以f(x)＝sin(x＋φ)．
因为直线x＝是函数f(x)的对称轴，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝＋kπ(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
经检验知此时直线x＝也为函数f(x)的对称轴，所以选A.
3．(2024·陕西榆林高一统考期末)已知函数f(x)＝2sin 2x，将函数f(x)的图象沿着x轴向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝2sin
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)的图象沿着x轴向左平移个单位长度，所以，g(x)＝2sin 2＝2sin.故选D.
4．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos的图象( )
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】 B
【解析】 函数y＝cos＝sin向左平移个单位得：y＝sin ＝sin.故选B.
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝( )
A．0 B．
C．＋2 D．1
【答案】 A
【解析】 由图象可知，A＝2，周期T＝8，故ω＝，又三角函数图象过原点，所以φ＝0，所以f(x)＝2sinx，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，即每一个周期内的三角函数值之和为0，因此，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝253[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(8)]＝0，故选A.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】 A
【解析】 函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
二、填空题
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
【答案】
【解析】 由图象可得函数f(x)的最小正周期为，∴T＝＝，ω＝.
8．完成下列填空：
(1)函数y＝2sin的最小正周期为________；
(2)函数y＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω＝________；
(3)函数y＝4sin＋3sin的最小正周期为________.
【答案】 (1)4 (2)3 (3)π
【解析】 (1)T＝＝4，∴应填4.
(2)∵＝，∴ω＝3，∴应填3.
(3)∵y＝4sin与y＝3sin的最小正周期都为，∴应填.
9．求函数y＝sin取最大值时，对应的x值的集合为________________.
【答案】
【解析】 函数取最大值时2πx＋＝＋2kπ，k∈Z.解得x＝k－，k∈Z.
三、解答题
10．如何由y＝sin x得到函数y＝3sin的图象．
【解析】 方法一：y＝sin x
y＝sin
y＝sin
y＝3sin；
方法二：y＝sin xy＝sin 2xy＝sin 2y＝3sin 2＝3sin.
B 组·素养提升
一、选择题
1．使函数y＝2sin，x∈[0，π]为增函数的区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由y＝2sin＝－2sin可知，其增区间可由y＝2sin的减区间得到，即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，故选C.
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来的，则所得图象的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin 4x D．y＝sin x
【答案】 C
【解析】 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对x变化，并且是对单个的x进行变化，把y＝sin的图象向右平移个单位长度，用代换原解析式中的x，即得函数式y＝sin，即y＝sin 2x，再把y＝sin 2x的图象上的各点的横坐标缩短到原来的，就得到解析式y＝sin 2(2x)，即y＝sin 4x的图象．
3．(多选)函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论中正确的是( )
A．曲线C关于直线x＝对称
B．曲线C关于点对称
C．函数f(x)在区间内是增函数
D．由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到曲线C
【答案】 ABC
【解析】 因为f(x)＝3sin的图象为C，把x＝代入可得f(x)＝－3为函数最小值，故图象关于直线x＝对称，故A正确；把x＝代入可得f(x)＝0，故图象关于点对称，故B正确；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得函数的单调增区间为k∈Z，故C正确；由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝sin＝sin的图象，故D不正确．
4．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于点对称
B．f(x)的图象关于直线x＝－对称
C．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
D．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(－2，－]
【答案】 BD
【解析】 由题图可得A＝2，·＝－，故ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.当x＝－时，f(x)＝－，故A错误；当x＝－时，f(x)＝－2，故B正确；将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数，y＝2sin＝2sin的图象，故C中说法错误；当x∈时，2x＋∈，则当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减；当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增，因为2sin＝－，2sin＝－2,2sin ＝，所以方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根时，m的取值范围是(－2，－]，故D正确．故选BD.
二、填空题
5．函数y＝cos的单调增区间是________________________.
【答案】 ，(k∈Z)
【解析】 令t＝2x－，
∴2kπ＋π≤t≤2kπ＋2π时，y＝cos t单调递增．
即2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π，k∈Z.
∴单调递增区间为：，k∈Z.
6．函数y＝3sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ＝________；此时函数y＝3sin(2x＋φ)在上的值域为________.
【答案】
【解析】 将函数y＝3sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝3sin＝3sin的图象，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，因为－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴－≤sin≤1，函数y＝3sin(2x＋φ)在上的值域为.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
【解析】 (1)由最低点为M，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1.
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
∴f(x)的值域为[－1,2]．
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)先将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象．若|g(x)－t|≤1对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】 (1)由图可知：＝－＝，所以T＝＝，所以ω＝4，f(x)＝sin(4x＋φ)，
又f＝sin＝，sin＝1，＋φ＝2kπ＋，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
所以f(x)＝sin＝sin.
令4x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－，k∈Z.
所以f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)由题g(x)＝sin＝sin.
当x∈，2x＋∈时，g(x)∈[0,1]．因为|g(x)－t|≤1对任意的x∈恒成立，
则.所以t∈[0,1]．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
