射洪中学 2025 年上期高 2023 级半期考试数学试题参考答案
D C C A D B B B AB ABC AD 12.3 13.5 14. 2
14.∵ f x f x 2 ,函数 f x 的图象关于点 0,1 中心对称,不妨设直线 AC的方程为
y kx 1 k 1 3 3,由 x 2 2x 1 kx 1,得 x 2 2 k x 0解得 x 0或 x 2 2 k 或
x 2 2 k ,则 | AC | 2 1 1 1 k 2 2 2 k ,同理可得 | BD | 2 1
k 2
2 2 ,由
k
| AC |2 | BD |2 k 3 1 k 1 2 2 k 2 1 0 k 1 1 1得 3
2
k k k 2
即 k
k 1 k 2 2
k 2 k
1 1 2 1 1
2
1 1
k k 0即 k 1 2 1 0 ,即 k 2 2 k 2 0 ,令 t k ,则 k k k k k k
t 2 2 2t 2 0 t 1 , k 2，即这两条直线的斜率之和为 2 。
k
15.【解】(Ⅰ) f x 2x ex , f 0 2 0 e0 0 1 1, f 0 02 e1 1,则有 y 1 1 x 0 ,化
简得 x y 1 0 ,即 f (x)的图象在点 (0, f (0))处的切线方程为 x y 1 0；
(2) g x f x 2x ex x,则 g x f x 2 e ,则当 x 0, ln 2 时, g x 0，当 x ln 2,1 时，g x 0，
故 g(x)在 0, ln 2 上单调递增,在 ln 2,1 上单调递减,则 g(x)有最大值 g ln 2 2ln 2 2，又
g 0 2 0 e0 1, g 1 2 1 e1 2 e 1,故 g(x)在区间 0,1 上的最大值和最小值分别为 2ln 2 2、
1.16(Ⅰ)当 n 2时, S (n a S S 2n a 2
2 S 2
n 1 1)
2 (n 1),所以 n n n 1 ，当 n 1时， 1 ，由 Sn n n，当n 1时, 1 ,
符合 an 2n综上所述, an 2n(n 1)；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
(Ⅱ)bn 2 ，则Tn ；故4n 1 2 2n 1 2n 1 2 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2 1 2n 1 2n 1
T nn .2n 1
1
17.(Ⅰ)函数 f x x ln x的定义域为 x 0, ,因为 f x ln x 1，所以当 x 0, 时, f x 0, f x 单调递减,
e
当 x
1 ,
时, f x 0 f x
1 1
, 单调递增,所以 f x 的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 0, .(Ⅱ)因为
e e e
g x 3x2 2ax 1,所以对一切的 x 0, , 2 f x g x 2恒成立，即 2x ln x 3x2 2ax 1恒成立,可得
1 1
2ax 2x ln x 3x2 1,即 2a 2ln x 3x ，令 h x 2ln x 3x ，其中 x 0 ,则x x
高二数学 1
2
h 3x 1 x 1x 2 1 2x 3x 1 3 2 2 2 ，则当0 x 1时, h x 0,此时函数 h x 单调递增,当 x 1x x x x
时, h x 0 ,此时函数 h x 单调递减,所以 h x h 1 4max ,则 2a h x 4 amax ,解得 a 2 ,所以 的取值范围为
2, S n 1 S S S S .18.(Ⅰ) S 2S 2 ,所以 n 1 n 1,所以 n 1 n nn 1 n 2n 1 2n 2n 1 n 1,所以2 2n 是公差为1的等差数列；
S a n
(Ⅱ)①因为 1 1
1 Sn 1 n 1 1 2n 1 S 2n 1 2n 1 b Sn 2n 1 2 1 ，所以 ,所以 , ，2 2 2 2n 2 2 n n 3n 2 3
1
T 1 2 3
2
2 5 2
3
2n 1
n
2 2 1
2
2 3 2
3 5 2 4 2n 1 2 n 1
n 2
， Tn ，
3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3
4 2 n 1 1
1T 1 2
2 2 3 2 n 2 n 1 2 n 1 n 1
两式相减得 n
， 1 1 9 3 T 2 n 1 23 3
,所以
3 3 3 2 3 n 3 3 1 2 2 3
3
1T 5 2n 5 2
n n
2
n , Tn 5 2n 5
3 3 3
；
3 3
n
② 5 Tn
2n 5
2n 2 对任意的 n N*恒成立, 2n 5 2n ,则 n 对任意的 n N*恒成立，
3 3
2n 5 2n 7 2n 5 2n 7 3C 2n 5 4n 8令 n n , Cn 1 Cn C 3 3n 1 0 ， 为递减数列,则当
n 1
3n 3n 1 3n 1 n
时, Cn
7 7
max ， .3 3
19.【解】(Ⅰ)不妨设 a b 0 ,则 ab
a b
lna lnb a b a b等价于 ，
lna lnb ab b a
a a b a t 1 2lnt t 1
1 (t 1)2
即 ln ,令 t , ,即证 ，令 g(t) 2lnt t , t 1,则 g t (t) 2 0,所以函数
g (t)在
b b a b t t
(1, )上单调递减,所以 g(t) g(1) 0
a b
,所以 ln a a b ,即 ab 成立；
b b a lna lnb
(Ⅱ)(ⅰ)当 a 0时, f x 在 0， 单调递增。当 a 0时, f x 在 a， 单调递增。在 0,a 单调递减
a
(ⅱ)证在边由题 2 ln x1,
a 2 ln x , a 1 1 x x x x 则
x x 2
x x
ln x ln x 即 1 2 2 12 1 x x
1 2 1 2 a ln x ln x
1 2
2 1
2
即 x1x2 a 得证证右边0 x
ae f x f x f ae g x f ae x2 2 1 ，设 f x lnx lna 1 2x1 x1 x e
x 0,a ，即证 h x x ln 2 ln x 1 a 0 ln x 2, lna ln x ln 2 ln x
，e x
h ' x 1 1 0 0 x e ， h x h
e 0
e x 2 ln x
高二数学 2【考试时间:2025年5月8】
射洪中学高2023级高二下学期半期考试
数学试题
命题人: 审题人: 校对:
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题:(本题共8小题共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数 f x x ex的单调递增区间为( ▲ )
A. , 1 B. 1，0 C. , D. 1,
2.等差数列 an 的公差为 2 ,且 a1 a4 a6 10 ,则 a2 a5 a7 ( ▲ )
A.12 B.14 C.16 D.18
3.已知函数 f x ax3 bx在 x 1处取得极大值6 ,则 a b ( ▲ )
A. 8 B.8 C. 12 D.12
4.若函数 f x lnx a 在 2，4 上为增函数,则 a的取值范围为( ▲ )
x2
A. , 2 B. , 2 C. ,8 D. ,8
5.已知 Sn为数列 an 的前 n项和,且, a 2,a 1 ,则 的值为( ▲ )1 n 1 S1 a 2024 n
A.1009 B.1010 C.1011 D.1012
6.四人相约到射洪新时代电影院观看电影《哪吒 2》,恰好买到了四张连号的电影票。若甲、乙两人
必须坐在丙的同一侧,则不同的坐法种数为( ▲ )
A.12 B.16 C. 20 D. 24
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7.若函数 f x x2 ln x在区间 m,m 1 上不单调,则实数m的取值范围为( ▲ )
2 2 2 2
A. 0, B. 1, C. 1,0 D. 0, 2
2
2 2
2
8.程大位(1533 1606 )是明代珠算发明家,徽州人。他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开
平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具。
算盘其形长方,周为木框，内贯直柱，俗称“档”。现有一种算盘(如图1)共三档,自右向左分别表
示个位、十位和百位,档中横以梁,梁上一珠,下拨一珠记作数字5 :梁下五珠,上拨一珠记作数字1。
例如:图 2中算盘表示整数506。如果拨动图1中算盘的3枚算珠,则可以表示不同的三位整数中能被
3整除的个数为 ( ▲ )
A.5 B.7 C.15 D. 26
二 多选题:(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部
选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1 n N * , an 的前 n项和为 Sn ,则( ▲ )
A. a2 3 B. an 1 是等比数列
n
a 2n S 2 2n 1C. n D. n 4
10.下列说法正确的是( ▲ )
A.38 39 40 50 13可表示为 A50
B.若把英文“ hello”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有59种
C.若3个男生与 2个女生排成一排,男、女生都相间的排列种数12
x x 2
D.不等式 A8 6A8 的解集为 7，10
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11. f x ax3对于三次函数 bx2 cx d a 0 ，给出定义: f x 是函数 y f x 的导数, f x 是函
数 f x 的导数,若方程 f x 0有实数解 x0 ,则称 x0，f (x0 ) 为函数 y f x 的“拐点”.某同学经探
究发现:任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心，
3
若函数 f x x ax 1 a R ,则下列说法正确的是( ▲ )
A.当 a 1时,函数 y f x 拐点处的切线方程为 x y 1 0
B.当a 3时,函数 y f x 在区间 m,m 5 内存在最小值,则m的取值范围是 2,1
C.若经过点 1,2 1 2 可以向曲线 y f x 作三条切线,则 a的取值范围是 ，3 3
D.对任意实数 x0 ,直线 y a x x0 f x0 与曲线 y f x 有唯一公共点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若C3n 1 C4n 2 n 24 24 ,则 ▲ 。
13 .已知 f x 2x2 ln 3x ,则 f 1 ▲ 。
14. 3已知函数 f x x 2 2x 1 ,若过点 0,1 的两条互相垂直的直线分别与 f x 的图象交于另
外的点 A,C 和 B,D ,且四边形 ABCD为正方形,则这两条直线的斜率之和为 ▲ 。
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知函数 f x x2 e x。
(Ⅰ)求 f x 的图象在点 0, f 0 处的切线方程；
(Ⅱ)若 g x f x ( f ' x 为函数 f x 的导函数),求 g x 在区间 0,1 上的最大值和最小值。
16.(本小题满分15分)
已知数列 an 中,a 21 2 , Sn为数列 an 的前 n项和, Sn n n。
1
(Ⅰ)求 an 的通项公式；(Ⅱ)若数列 bn 总满足bn 2 b n Tan 1,求数列 n 的前 项和 n 。
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17 .(本小题满分15分）
已知 f x x ln x,g x x 3 ax 2 x 2 .
(Ⅰ)求函数 f x )的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的 x 0, , 2 f x g ' x 2恒成立,求实数 a的取值范围。
18.(本小题满分17分)
n 1 *
已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,a1 2,Sn 1 2Sn 2 ,n N 。
S
(Ⅰ)求证:数列 nn 是等差数列； 2
(Ⅱ)设b
S
nn n , bn 的前 n项和为T3 n；
n
①求Tn； ②若对任意的正整数 n ,不等式6 Tn 2 恒成立,求实数 的取值范围。
19.(本小题满分17分)
a b a b a b
对于正数 a,b ,且 a b ,定义 为 a,b的对数平均值,且 ab ,我们把上述不等
ln a ln b lna lnb 2
式称为对数平均不等式。人工智能DeepSeek 给出了不等式右端的证明：
a
a b 0 a b a b
2 a b 2 1
ln a
a a
(ⅰ)不妨设 ,则 等价于 b,即证: ln ,令 t 1,即
lna lnb 2 a b b a 1 b b
b
t 1 22 t 1 2 t 1 1 4
证: lnt 0 对一切 t 1, 恒成立。记 g t lnt ,则 g t 0，
t 1 t 1 t t 1 2 t t 1 2
所以 g t 在 1, 上单调递增，从而有 g t g 1 0证毕。
a b
(Ⅰ)请参照以上方法证明: ab
lna lnb
a
(Ⅱ)已知函数已知函数 f x ln x。
x
(ⅰ)讨论函数 f x 的单调性；
(ⅱ)若 f x 21 f x2 2 x1 x2 ,证明: a x1x2 ae。
(二○二五年五月印制)
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