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第二章 平面向量及其应用
§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．借助实例理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义．
2．能熟练地运用三角形法则和平行四边形法则作出已知向量的和向量．
3．通过实例理解向量加法的交换和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算. 通过学习向量的加法，重点培养学生的数学抽象和逻辑推理、数学建模素养.
必备知识 探新知
知识点 向量的加法
1．向量加法的定义
求两个向量____的运算，称为向量的加法．
和
2．三角形法则和平行四边形法则
3.|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时|a＋b|＝|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相反时|a＋b|＝||a|－|b||.
关键能力 攻重难
1.(1)如图，已知a，b，求作a＋b.
(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
题型一
向量的加法及几何意义
【分析】 用三角形法则或平行四边形法则画图．
[归纳提升]
归纳提升：
三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．
(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定．
〉对点训练1
2.化简下列各式：
题型二
向量加法运算律的应用
【分析】 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．
[归纳提升]
归纳提升：
向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
〉对点训练2
【答案】 (1)C (2)0
3.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
【分析】 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．
题型三
向量加法的实际应用
[归纳提升]
归纳提升：
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
〉对点训练3
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
课堂检测 固双基
1.若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )
【答案】 B
【解析】 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案．
A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部 D．△ABC的外部
【答案】 D
3．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为( )
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
【答案】 B
【解析】 如图所示，由平行四边形法则作出F1与F2的合力F，由题意可知△OF1F2为正三角形，∴F大小为60 N.
【答案】 0
【解析】 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
5．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．第二章 §2 2.1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b＝，故选A.
2.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．下列说法正确的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a与b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0.
4．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 连接CF，取CF中点O，连接OE，OA.
则＋＋＝(＋)＋＝.
5．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】 B
【解析】 ＋＝，则||＝||＝||，
则△ABC是等边三角形．
二、填空题
6．化简下列各式：
(1)＋＋＝ ；
(2)＋＋＋＝ .
【答案】 (1)0 (2)
【解析】 (1)＋＋＝＋＝0.
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
7．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝ .
【答案】 1
【解析】 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|＋|＝||＝1.
8.如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝ .
【答案】 120°
【解析】 因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
三、解答题
9．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
【解析】 (1)原式＝＋＋＝.
(2)原式＝＋＋＋＝0.
10．如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大．
【解析】 设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0.
因为a，b的合力为c′＝a＋b，所以|c|＝|c′|.
如图在平行四边形OB′C′A′中，
因为⊥，＝，
所以||>||，||>||，
即|a|>|b|，|a|>|c|.故细绳OA受力最大．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
【答案】 A
【解析】 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.
2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 ＋＝.
3．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
【答案】 C
【解析】 由三角形重心性质得＋＋＝0.
4．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是( )
A．＋＋＝ B．＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝0
【答案】 BCD
【解析】 根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念，＋＋＝＋＋＝，故A错误；＋＝，故B正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝＋＝0，故D正确．故选BCD.
二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际 方向前进，速度为 .
【答案】 沿与水流方向成60°的(答案不唯一) 8 km/h
【解析】 ∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
6．在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，向量||＝2，则＝ .
【答案】
【解析】 因为在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，又AB＝AD＝2，所以△ABD为等边三角形，因此BD＝2，连接AC与BD且交于O点，则△ABO为Rt△，且AB＝2，BO＝1，AO⊥BO，所以AO＝＝，所以＝＝|＋|＝||＝.
三、解答题
7.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
【解析】 ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0.
故＋＝＋＋0＝＋.
8.如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小．
【解析】 如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.
∵DE∥AC，AD∥BE，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴＝，＝，
于是a＋b＋c＝＋＋
＝＋＝＋＝＝＋，
∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8.
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