第二章 §6 6.1 2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A． B．
C． D．1
【答案】 B
【解析】 由＝，知＝，即sin B＝，选B.
2．在△ABC中，A＝，B＝，c＝3＋，且b＝( )
A． B．－
C． D．＋
【答案】 D
【解析】 因为A＝，B＝，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin ＝，由正弦定理＝，即＝，解得b＝＋.故选D.
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，B≠C.若cos A＝，a＝1，则＝( )
A． B．
C．2 D．3
【答案】 D
【解析】 由题意知△ABC中，cos A＝，a＝1，故sin A＝＝，故2R＝＝＝3，(R为△ABC外接圆半径)，故＝＝2R＝3，故选D.
4．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】 D
【解析】 由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形，故选D.
5．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B可以为( )
A．60° B．120°
C．150° D．60°或120°
【答案】 D
【解析】 由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵a
6．已知△ABC中，若a＝6，b＝12，A＝60°，则此三角形解的情况为( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不确定
【答案】 C
【解析】 方法一：由正弦定理和已知条件得＝，∴sin B＝.∵>1，∴此三角形无解．方法二：∵a＝6，bsin A＝6，∴a二、填空题
7．在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶，则A＝ .(提示：sin 2A＝2sin Acos A)
【答案】 30°
【解析】 由正弦定理＝知，
＝＝，
所以sin B＝sin A＝sin 2A.
所以cos A＝，因为A为△ABC的内角，
所以A＝30°.
8．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，满足b＝2acos C＝2csin A，则该三角形的形状是_________________.
【答案】 等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理及2acos C＝2csin A，得sin Acos C＝sin Csin A
∵sin A≠0，∴cos C＝sin C，∵cos C≠0，∴tanC＝1
∵C∈(0，π)，∴C＝又b＝2acos C，∴b＝a
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝a2＋(a)2－2a·acos ，即c2＝a2，a＝c，∴A＝C＝，β＝，∴△ABC为等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形．
9．在△ABC中，C＝，a＝1，c＝，则sin A＝ ，△ABC的面积为 .
【答案】
【解析】 由正弦定理＝得sin A＝＝＝.
由a所以S△ABC＝acsin B＝×1××sin＝.
三、解答题
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋c)(sin A－sin C)＝(a－b)sinB．
(1)求角C；
(2)若a＝4，△ABC的面积为，求c.
【解析】 (1)因为(a＋c)(sin A－sin C)＝(a－b)sin B，
由正弦定理得a2－c2＝(a－b)b，
即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝.
因为0(2)因为a＝4，△ABC的面积为，
所以absin C＝，
即×4b×＝，解得b＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋－2×4××＝，所以c＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B B．AC．A≥B D．A，B的大小关系不确定
【答案】 A
【解析】 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.
2．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是( )
A．3 B．2＋
C．3＋ D．4＋
【答案】 C
【解析】 已知sin B＝2sin A，由正弦定理可得，b＝2a，∵c＝，C＝，则由余弦定理可得，cos＝，解得a＝1，b＝2.故△ABC的周长是3＋.
3．(多选)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin A－bsin B＝csin C－bsin C，若b＋c＝4，则a的值可以为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】 AB
【解析】 由三角形三边关系，得到a4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝，c＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C． D．
【答案】 A
【解析】 ∵B＝120°，sin C＝，c＝2，∴由正弦定理＝，可得b＝＝，∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得7＝a2＋4－2×a×2×，可得a2＋2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3(不合题意，舍去)．∴S△ABC＝absin C＝×1××＝.
二、填空题
5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝ .
【答案】 1
【解析】 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1.
6．在△ABC中，A＝，a＝c，则角C的值为 ，＝ .
【答案】 1
【解析】 在△ABC中，A＝，a＝c，由正弦定理可得＝，＝，sin C＝，由于c三、解答题
7．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)b＝3，c＝3，B＝30°.
【解析】 (1)a＝10，b＝20，a20sin 60°＝10，
所以a(2)方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理得sin A＝＝＝1，
∴A＝90°，C＝60°.
故a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°.
方法二：由正弦定理得sin C＝＝＝，
又c>b，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得
a＝＝＝6.
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
故a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°.
8．平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，∠ADC＝120°，AD＝3，sin ∠ECD＝，DE＝，CE＝.
(1)求AE的长；
(2)已知∠ABC＝60°，求△ABE面积的最大值．
【解析】 (1)在△CED中，由正弦定理可得＝，
即＝，所以sin∠CDE＝，
因为CE故∠CDE＝30°，又∠ADC＝120°，
所以∠ADE＝90°，
在直角△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝32＋3＝12，所以AE＝2.
(2)在△ABE中，AE＝2，∠ABC＝60°，
由余弦定理可得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 60°，
即12＝AB2＋BE2－AB·BE，
因为AB2＋BE2≥2AB·BE，
所以AB·BE＋12≥2AB·BE，
即AB·BE≤12，
当且仅当AB＝BE＝2时等号成立，
所以S△ABE＝AB·BEsin 60°＝AB·BE≤3.
所以△ABE面积的最大值为3.
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第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
二、正弦定理
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．通过对任意三角形边长和角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．
2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．
3．熟记并能应用正弦定理的有关变化公式解决三角形中的问题. 通过推导归纳正弦定理，提升逻辑推理，数学运算，数学抽象素养.
必备知识 探新知
知识点1 正弦定理
说明：正弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形．
(2)结构特征：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦．
(3)主要作用：正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题．
正弦
说明：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
关键能力 攻重难
【分析】 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．
题型一
已知两角和一边解三角形
[归纳提升]
归纳提升：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
〉对点训练1
(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
【分析】 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
[归纳提升]
归纳提升：
已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．
(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．
(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．
〉对点训练2
3.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．
题型三
判断三角形的形状
方法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
因为sin C≠0，所以sin Bcos B＝sin Acos A.
所以sin 2B＝sin 2A.所以2B＝2A或2B＋2A＝π，
[归纳提升]
归纳提升：
在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径．由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大．
〉对点训练3
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【分析】 (1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出B.(2)由正弦定理可知c＝2a，再用余弦定理列方程可求得a，c.,
题型四
正、余弦定理的简单综合
〉对点训练4
课堂检测 固双基
【答案】 D
2．已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】 A
【解析】 ∵acos B＝bcos A，∴由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bcos A，∴sin(A－B)＝0，由于－π【答案】 2