综合检测题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．－＝ B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
【答案】 D
【解析】 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.
2．如图，a－b等于( )
A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
【答案】 C
【解析】 a－b＝e1－3e2.
3．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
【答案】 B
【解析】 ＝λ＋－λ，所以－＝λ(－)，＝λ，由λ∈(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段AM上．
4．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于( )
A．1 B．2
C．4 D．1或4
【答案】 C
【解析】 在△ABC中，b＝，c＝，cos B＝，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accos B，即7＝a2＋3－3a，
解得a＝4或a＝－1(舍去)．故a的值为4.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝( )
A．－ B．
C．－2 D．2
【答案】 C
【解析】 a＋λb＝(1,2)＋(－2λ，3λ)
＝(1－2λ，2＋3λ)，
由(a＋λb)⊥c，可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0，解得λ＝－2.
6．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )
A．1 B．2
C． D．
【答案】 D
【解析】 由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，cos C＝＝.∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°.∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝.
7．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且＝，则AD的长为( )
A．4(－1) B．4(＋1)
C．4(3－) D．4(3＋)
【答案】 C
【解析】 由题意知∠BAC＝75°，根据正弦定理，得AB＝＝8(－1)，因为＝，所以BD＝BC.又BC＝8，所以BD＝4(－1)．
在△ABD中，
AD＝
＝4(3－)．故选C.
8．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，AB＝AC＝2，且M为圆O上一点，则·＋·的最大值为( )
A．2 B．5
C．14 D．16
【答案】 C
【解析】 连接OB，OC，OA，因OB＝BA＝AC＝CO＝OA＝2，则四边形ABOC为菱形，△ABO，△ACO为等边三角形．设OA与BC交于点D，则OD＝DA，＋＝，∠BOC＝.则·＋·＝·(＋)＋(＋)·(＋)
＝22＋·＋·(＋)＋·
＝22＋2·＋·＝2·＋8＋2×2×＝2·＋6.
则当M，O，A三点共线时，·最大，为||·||＝4，则·＋·的最大值为14.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9．设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( )
A．0或1 B．2或3
C．4 D．6
【答案】 ABC
【解析】 由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC.
10．已知a＝(2,1)，b＝(－3,1)，e是与b同向的单位向量，则下列结论错误的是( )
A．|b|＝10
B．e＝(－1,0)
C．a与b可以作为一组基底
D．向量a在向量b上的投影向量为－e
【答案】 AB
【解析】 |b|＝＝，A错误；根据题意e＝＝，B错误；∵2×1≠1×(－3)，即a与b不共线，则a与b可以作为一组基底，C正确；a在b方向上的投影向量为(|a|cos 〈a，b〉)e＝e＝e＝－e，D正确．故选AB.
11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A．·＝－1
B．＋＝0
C．|＋＋|＝
D．在上的投影向量的模为
【答案】 BCD
【解析】 由题意可知：E为AB中点，则CE⊥AB，以E为原点，，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，)，D.设O(0，y)(y∈(0，))，＝(1，y)，＝，∥，所以y－＝－y，解得y＝，即O是CE中点，＋＝0，所以B正确；|＋＋|＝|2＋|＝||＝，所以C正确；因为CE⊥AB，所以·＝0，所以A错误；易知＝，＝(1，)，则在方向上的投影向量的模为＝＝，所以D正确．故选BCD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝ .
【答案】
【解析】 由题意，得cos 〈a，c〉＝
＝＝＝.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝ ，c＝ .
【答案】 3
【解析】 由正弦定理，得＝，∴＝，得sin B＝，由余弦定理，得cos A＝＝＝，解得c＝3.
14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围为_________.
【答案】 [0,16]
【解析】 因为正方形ABCD的边长为4，取CD的中点E，连接PE，当P在A点或B点时，||max＝2，当P在弧AB中点时，||min＝2，所以||的取值范围为[2,2]，由于·＝(＋)·(＋)，＝－＝，||＝4，所以·＝2－2＝||2－||2＝||2－4，因为||∈[2,2]，所以||2∈[4,20]，故||2－4∈[0,16]，所以·∈[0,16]，即·的取值范围为[0,16]．故答案为[0,16]．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量a，b满足b＝(1，)，a·b＝4，(a－2b)⊥a.
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|2a－b|的值；
(3)若向量c＝3a－4b，d＝ma＋b，c∥d，求m的值．
【解析】 (1)因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，|a|2＝8，即|a|＝2.
设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)由向量模的计算公式|a|＝，得|2a－b|＝＝＝＝2.
(3)因为c∥d，所以c＝λd，设3a－4b＝λ(ma＋b)，则解得m＝－.
16．(本小题满分15分)如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部(如图所示)，该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度为i＝1∶3，AB＝2 m，AE＝8 m.
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求宣传牌CD的高度．(结果保留根号)
【解析】 (1)由于i＝1∶3，所以BH∶AH＝1∶3，
设BH＝a，∴AH＝3a，则AB＝＝a＝2 a＝2，
所以BH＝2 m.
(2)过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH＝EF＝2，BF＝AH＋AE＝6＋8＝14，
在△ADE中，DE＝AE·tan 60°＝8，
又BF＝CF＝14，∴CD＝CF＋EF－DE＝14＋2－8＝16－8，
故宣传牌CD的高度为(16－8)m，
17．(本小题满分15分)已知平面向量a＝(，－1)，b＝，若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y.
(1)试求函数关系式k＝f(t)；
(2)若t∈(0，＋)时，不等式k≥t2＋mt恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)∵a·b＝x1x2＋y1y2＝×＋(－1)×＝0，∴a⊥b.
∵x⊥y，a＝(，－1)，b＝，x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，∴x·y＝·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＝－4k＋t(t2－3)＝0，∴k＝f(t)＝t(t2－3)，t≠0.
(2)∵t∈(0，＋)时，不等式k≥t2＋mt恒成立，∴t(t2－3)≥t2＋mt，t∈(0，＋)恒成立，
∴(t2－3)≥t＋m，t∈(0，＋)恒成立，即t2－2t－3≥m对t∈(0，＋ )恒成立，
∵当t∈(0，＋)时，y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4≥－4，当且仅当t＝1时等号成立，
∴m≤－4，即实数m的取值范围为(－，－4]．
18．(本小题满分17分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile
【解析】 如图，连接A1B2，
由题意知A2B2＝10 n mile，A1A2＝30×＝10 n mile.
所以A1A2＝A2B2.
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
所以△A1A2B2是等边三角形．
所以A1B2＝A1A2＝10 n mile.
由题意知，A1B1＝20 n mile，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
所以B1B2＝10 n mile.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．
答：乙船每小时航行30 n mile.
19．(本小题满分17分)已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，＝3，AB＝3，AD＝2.
(1)设＝x＋y，求实数x，y的值；
(2)若||＝，求∠BAD；
(3)若·＝2，求·.
【解析】 (1)因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以＝，＝＝，
又＝－＝(＋)－＝＋－＝－＋，
又＝x＋y，
因为，不共线，由平面向量基本定理得x＝－，y＝1.
(2)由(1)知＝－＋，
又||＝，所以|－＋|＝，
平方得2－·＋2＝3，
即1－·＋4＝3，所以·＝3，
所以cos∠BAD＝＝＝，
因为∠BAD∈(0，π)，所以∠BAD＝.
(3)因为＝－＝(＋)－＝＋－＝－＋，
又·＝2，所以·＝2，
即－·＋2＝－·＋4＝2，所以·＝3，
因为＝＋＝＋，＝－，
所以·＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×9－×3＋4＝－1.
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第二章 平面向量及其应用
章末梳理
知识结构 理脉络
考点整合 提技能
题型一
平面向量的线性运算及应用
【答案】 (1)C (2)B
[归纳提升]
归纳提升：
向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则：
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
(2)求解策略：
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．
②字符表示下线性运算的常用技巧：
题型二
向量的数量积
[归纳提升]
归纳提升：
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
题型三
向量在平面几何中的应用
[归纳提升]
归纳提升：
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
题型四
综合利用正、余弦定理解三角形
[归纳提升]
归纳提升：
解三角形常见类型及解法
在三角形的六个元素中要知三(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法见表：
