第四章 §2 2.3
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】 D
【解析】 sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．计算：cos＋sin＝( )
A． B．2
C．2 D．
【答案】 B
【解析】 cos＋sin＝2＝2sin＝2sin＝2.
3．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D．
【答案】 B
【解析】 f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝＝sin∈[－，]．
4．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在区间上的零点之和是( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】 B
【解析】 由题意得f(x)＝2sin，令f(x)＝0，解得2x－＝kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，所以f(x)的零点为x＝＋(k∈Z)．又x∈，令k＝－1，则x＝－，令k＝0，则x＝，所以f(x)在区间上的零点之和为－＋＝－.故选B．
5．函数f(x)＝cos x＋cos的一个单调递增区间为( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 由题可知f(x)＝cos x＋cos＝sin x＋cos x＝sin.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，可得－≤x≤，即函数的一个单调递增区间为，故选A．
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，且S＝(a2＋b2－c2)，则cos A＋cos B的最大值为( )
A． B．1
C． D．2
【答案】 B
【解析】 由余弦定理知：a2＋b2－c2＝2abcos C，由条件：S＝(a2＋b2－c2)，∴absin C＝·2abcos C，即＝tan C＝，C＝，A＋B＝π－C＝π，B＝π－A，∴cos A＋cos B＝cos A＋cos＝cos A＋sin A＝sin，∵0
二、填空题
7．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为_________.
【答案】
【解析】 f(x)＝sin(x＋φ)＝sin(x＋φ)≤.
8．化简：＝_________.
【答案】 1
【解析】 原式＝
＝＝＝1.
9．已知cos＋sin α＝，则cos的值是_________.
【答案】
【解析】 cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，cos α＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝1－cos－cos 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值与最小值．
【解析】 (1)f(x)＝1－cos－cos 2x＝
sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
∴sin∈，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝1－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知向量＝(2，2)，＝(cos α，sin α)，则的模的取值范围是( )
A．[1，3] B．[1，3]
C．[，3] D．[，3]
【答案】 D
【解析】 ＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，
所以||＝＝，所以≤||≤3，所以||∈[，3]．故选D．
2．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是( )
A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5
C．3【答案】 A
【解析】 ∵sin x＋cos x＝cos xcos＋sin xsin＝cos＝4－m，∴cos＝4－m，∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5.
3．(多选)已知函数f(x)＝sin 4x＋cos 4x，则( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在区间上单调递减
D．f(x)的图象关于点对称
【答案】 ACD
【解析】 f(x)＝sin 4x＋cos 4x＝2sin，f(x)的最小正周期为＝，A正确；f＝2sin＝1≠±2，故f(x)的图象不关于直线x＝对称，B错误；当x∈时，4x＋∈，∵y＝sin x在上单调递减，∴f(x)在区间上单调递减，C正确；f＝2sin＝0，故f(x)的图象关于点对称，D正确．故选ACD．
4．(多选)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的可能值为( )
A． B．
C． D．π
【答案】 AB
【解析】 f(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a] ，∴0二、填空题
5．已知△ABC中，∠A＝120°，则sin B＋sin C的最大值为_________.
【答案】 1
【解析】 由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，得sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)．显然当∠B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.
6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，则f(x)的最大值为_________.
【答案】 2
【解析】 f(x)＝cos x＋sin x＝2sin，∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取最大值为2.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.
(1)求f的值；
(2)若α，β∈，f＝，f＝－，求cos(α＋β)的值．
【解析】 (1)因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx，
所以f(x)＝sin.
因为函数f(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝2π，ω＝＝1，
所以f(x)＝sin.
所以f＝sin
＝sincos－cossin＝.
(2)由(1)得f＝sin α＝，
f＝sin(β＋π)＝－sin β＝－，
所以sin β＝.
因为α，β∈，
所以cos α＝＝，cos β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(sin A＋sin B)2＝sin2C＋sin AsinB．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的最大值．
【解析】 (1)因为(sin A＋sin B)2＝sin2C＋sin Asin B，由正弦定理得(a＋b)2＝c2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－，C是三角形内角，则C＝.
(2)由(1)C＝，则0由正弦定理＝＝＝＝4得，
a＝4sin A，b＝4sin B＝4sin，
a＋b＋c＝4sin A＋4sin＋2
＝4sin A＋4＋2＝2sin A＋2cos A＋2＝4sin＋2，
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第四章 三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式
2.3 三角函数的叠加及其应用
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．初步掌握两角和与差的三角函数公式和公式的由来以及公式的正用和逆用．
2．理解辅助角公式的结构形式，并利用公式进行化简. 通过三角函数的叠加，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 辅助角公式
知识点2 常见辅助角结论
关键能力 攻重难
●题型一 化简与求值
1.化简下列各式：
[归纳提升]
归纳提升：
辅助角公式的应用
〉对点训练1
【答案】 C
●题型二 利用辅助角公式研究函数性质
【分析】 由函数的解析式化为y＝Asin(ωθ＋φ)的形式，然后求其最大值和周期．
[归纳提升]
归纳提升：
〉对点训练2
●题型三 辅助角公式的应用
[归纳提升]
归纳提升：
三角函数的叠加在物理知识中有着广泛的应用．几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是化为另一个具有相同频率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅和初相．
〉对点训练3
课堂检测 固双基
1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )
【答案】 B
【答案】 B
4．f(x)＝|sin x－cos x|的最小正周期为_________.
【答案】 π
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．