第四章 §1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A． B．－
C． D．－
【答案】 B
【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.
∵∴sin α＝－.
2．化简的结果为( )
A．sin 220° B．cos 220°
C．－cos 220° D．－sin 220°
【答案】 D
【解析】 ＝|sin 220°|，又220°为第三象限角，所以sin 220°<0，故＝－sin 220°.
3．已知＝－，则＝( )
A． B．－
C．2 D．－2
【答案】 A
【解析】 由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A．
4．若α为第三象限角，则＋ 的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
【答案】 B
【解析】 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴原式＝－－＝－3.
5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】 B
【解析】 (sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．
6．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为( )
A． B．
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，又sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝_________.
【答案】 60°
【解析】 ∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.
8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝_________ .
【答案】
【解析】 由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.
9．若＝1，则tan α的值为_________.
【答案】 3
【解析】 ＝1化为＝1，所以2tanα＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.
三、解答题
10．已知角α满足sin α－cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)若角α是第三象限角，f(α)＝，求f(α)的值．
【解析】 (1)由题意和同角三角函数基本关系式，
有
消去sin α得5cos 2α－cos α－2＝0，解得cos α＝或cos α＝－，由sin α－cos α＝－，两边平方得到sin αcos α>0，∴sin α与cos α同号，所以α为第一或第三象限，
当角α是第一象限角时，cos α＝，sin α＝，tan α＝，
当角α是第三象限角时，cos α＝－，sin α＝－，tan α＝2.
(2)由题意可得f(α)＝＝－cos α，因为角α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知α∈，且sin＝，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】 C
【解析】 已知α∈，且sin＝，则α＋∈，则cos＝－＝－，则sin＝sin ＝cos＝－.故选C．
2．若＝2，则sin θ·cos θ＝( )
A．－ B．
C．± D．
【答案】 D
【解析】 由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝.
3．(多选)下列计算或化简结果正确的是( )
A．＝2
B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2
C．若tan x＝，则＝1
D．若sin α＝，则tan α＝2
【答案】 AB
【解析】 A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定．
4．(多选)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．＝sin α＋cos α
【答案】 BC
【解析】 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，所以A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，所以B，C正确，D错．
二、填空题
5．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝_________，tan α＝_________.
【答案】 －1
【解析】 由题意可得解得sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－1.
6．已知sin α＝sin β，cos α＝cos β，且0<α<π，则α＝_______________.
【答案】 或
【解析】 两式平方相加得sin2α＋3cos 2α＝2sin2β＋2cos 2β＝2，即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，则sin α＝±.因为0<α<π，所以sin α＝，故α＝或.
三、解答题
7．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1.
【解析】 (1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
原式＝tan α＝tan α
＝tan α
＝·＝·＝－1.
(2)证明：·＝·
＝·＝＝＝1.
8．已知sin θ、cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos 2θ的值．
【解析】 (1)因为sin θ、cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根，
由韦达定理得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
由(sin θ＋cos θ)2＝2，则1＋2sin θcos θ＝1＋m＝2，
所以m＝－；满足Δ≥0.
(2)＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝；
(3)因为m＝－，所以sin θ＋cos θ＝①，sin θcos θ＝－，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝＝2，
因为θ∈，所以cos θ>0，sin θ<0，cos θ－sin θ＝②，
所以由①②可得cos θ＝，所以cos 2θ＝.
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第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．同角三角函数基本关系式的推导及应用．
2．同角三角函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论. 通过同角三角函数式的推导及应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 同角三角函数的基本关系式
知识点2 同角三角函数基本关系式的变形公式
sin2α＋cos2α＝1的变形公式有：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
1
正切
关键能力 攻重难
●题型一 利用同角基本关系式求值
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
【分析】 已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
[归纳提升]
〉对点训练1
【答案】 (1)B (2)D
角度2 利用弦切互化求值
(3)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
【分析】 所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就把所求式子用tan α表示，因此可先由已知条件求tan α的值，再求各式的值．
[归纳提升]
归纳提升：
已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式．
〉对点训练2
题型二 三角代数式的化简
3.化简下列各式：
【分析】 (1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．
(2)切化弦，将式子统一成正弦、余弦的表达式，再进一步化简．
[归纳提升]
归纳提升：
三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
〉对点训练3
A．－sin α－cos α－2 B．2－sin α－cos α
C．sin α－cos α D．cos α－sin α
【答案】 A
●题型三 三角恒等式的证明
[归纳提升]
归纳提升：
利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
〉对点训练4
●题型四 sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系及方程思想的运用
sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系：
(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．
(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．
[归纳提升]
归纳提升：
在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sin θ·cos θ，使问题得解．
〉对点训练5
已知sin α＋cos α＝m，求sin3α＋cos3α的值．
课堂检测 固双基
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 C
【答案】 cos 80°
5．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
【证明】 证法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
所以原式成立．
证法二：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α.故左边＝右边．所以原式成立．
证法三：令1－sin α＝x，cos α＝y，则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
故左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．所以原式成立．
