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第四章 三角恒等变换
§3 二倍角的三角函数公式
3.2 半角公式
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．能用二倍角公式推导半角公式．
2．能熟练运用半角公式求值、化简或证明. 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点 半角公式及其变形公式
关键能力 攻重难
●题型一 应用半角公式求值
[归纳提升]
归纳提升：
(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；
(2)代入半角公式计算即可．
〉对点训练1
●题型二 三角恒等式的化简与证明
[归纳提升]
归纳提升：
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
〉对点训练2
●题型三 利用辅助角公式研究函数性质
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[归纳提升]
归纳提升：
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
〉对点训练3
课堂检测 固双基
C．2 D．－2
【答案】 A
【答案】 D
【答案】 C
A．c
C．a【答案】 C第四章 §3 3.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．的值等于( )
A．sin 40° B．cos 40°
C．cos 130° D．±cos 50°
【答案】 A
【解析】 ＝＝＝|cos 130°|＝－cos 130°＝sin 40°，故选A．
2．若sin＝，则cos等于( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】 A
【解析】 cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
3．已知sin θ＝，且<θ<，则cos等于( )
A． B．
C．± D．±
【答案】 A
【解析】 ∵sin θ＝>0且<θ<，∴<θ<π，∴<<，∴cos θ＝－，cos＝＝＝＝.
4．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由＋＝4，得＝4，所以＝4，sin 2θ＝.
5．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于( )
A． B．－
C．－ D．
【答案】 B
【解析】 由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.
6．·等于( )
A．tan α B．tan 2α
C．1 D．
【答案】 B
【解析】 原式＝＝＝＝tan 2α.
二、填空题
7．已知sin θ＝－，3π<θ<，则tan＝_________.
【答案】 －3
【解析】 根据角θ的范围，求出cos θ后代入公式计算，即由sin θ＝－，3π<θ<，得cos θ＝－，从而tan＝＝＝－3.
8．已知cos 2α＝，且<α<π，则tan α＝_________.
【答案】 －
【解析】 ∵<α<π，∴tan α＝－＝－.
9．函数y＝cos x＋cos的最小值是_________，最大值是_________.
【答案】 －
【解析】 y＝cos x＋cos xcos－sin xsin＝cos x－sin x
＝＝cos，
当cos＝－1时，ymin＝－.
当cos＝1时，ymax＝.
三、解答题
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos与tan的值．
【解析】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<，所以cos＝＝＝.
方法一：由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.
方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得
sin(α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A． B．
C． D．[0，1]
【答案】 C
【解析】 cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋cos·cos
＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)
＝1＋cos·cos(A－B)
＝1－cos(A－B)．
∵cos(A－B)∈[－1，1]，∴cos2A＋cos2B∈.
2．若<θ<π，则－＝( )
A．2sin－cos B．cos－2sin
C．cos D．－cos
【答案】 D
【解析】 ∵<θ<π，∴<<，∴sin>cos>0.∵1－sin θ＝sin2＋cos2－2sincos＝2，(1－cos θ)＝sin2，∴－＝－＝－sin＝－cos.
3．(多选)下列各式中，值为的是( )
A． B．tan 15°cos215°
C．cos2－sin2 D．
【答案】 AC
【解析】 A符合，原式＝×＝tan 45°＝；B不符合，原式＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝；C符合，原式＝·cos＝；D不符合，原式＝×＝tan 60°＝，故选AC．
4．(多选)在△ABC中，若tan＝sin C，则下列结论正确的是( )
A．＝1 B．0C．sin2A＋cos2B＝1 D．cos2A＋cos2B＝sin2C
【答案】 BD
【解析】 由tan ＝sin C tan＝＝＝2sin cos ，因为0<<，所以cos ≠0，所以1＝2sin2 1－2sin2＝0 cos C＝0 C＝90°，所以tan B＝tan＝，＝tan2A不一定为1，A错误；因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin(A＋45°)，0°二、填空题
5．已知tan＝，则cos α＝_________.
【答案】
【解析】 ∵tan＝±，∴tan2＝.∴＝，解得cos α＝.
6．设0<θ<，且sin＝，则tan θ等于_________.
【答案】
【解析】 ∵0<θ<，sin＝，∴cos＝＝.∴tan＝＝，tan θ＝＝＝·(x＋1)＝.
7．2＋2sin2的值等于_________.
【答案】 2
【解析】 原式＝1＋sin α＋2·
＝1＋sin α＋1－sin α＝2.
三、解答题
8．已知在△ABC中，sin A(sin B＋cos B)－sin C＝0，sin B＋cos 2C＝0，求角A，B，C的大小．
【解析】 由sin A(sin B＋cos B)－sin C＝0，得
sin Asin B＋sin Acos B－sin(A＋B)＝0，
∴sin Asin B＋sin Acos B－sin Acos B－cos Asin B＝0，
∴sin B(sin A－cos A)＝0，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴sin A＝cos A，
∵A∈(0，π)，∴A＝，从而B＋C＝.
由sin B＋cos 2C＝0，得sin B＋cos＝0，
∴sin B－sin 2B＝0，sin B－2sin Bcos B＝0，
∴cos B＝，∴B＝，∴C＝.
于是A＝，B＝，C＝.
9．已知函数f(x)＝2sin cos＋1，g(x)＝sin 2x.
(1)求函数f(x)的对称轴；
(2)解不等式f(x)≥1；
(3)若mf(x)≤g(x)对任意的x∈恒成立，求m的取值范围．
【解析】 (1)f(x)＝2sin ＋1＝2sin cos ＋1－2sin2
＝sin x＋cos x＝sin，由x＋＝＋kπ(k∈Z)可得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以，函数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)由f(x)＝sin≥1可得sin≥，所以，2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以，不等式f(x)≥1的解集为(k∈Z)．
(3)由mf(x)≤g(x)得m(sin x＋cos x)≤sin 2x，
因为x∈可得≤x＋≤，则≤sin≤1，则1≤sin≤，
令t＝sin x＋cos x＝sin∈，因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝1＋sin 2x，所以，sin 2x＝t2－1，所以，m≤＝t－，t∈，因为函数y＝t、y＝－在上单调递增，所以，函数y＝t－在上为增函数，所以，m≤min＝1－1＝0，即m≤0.
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