第五章 §1 1.1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( )
A．－2 B．1
C．2 D．1或－2
【答案】 A
【解析】 由题意知：解得a＝－2，故选A．
2．在下列命题中，正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 A
【解析】 对于两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误．设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误．③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误．故选A．
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0，当b＝0时，a－bi不是纯虚数，又∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
【答案】 C
【解析】 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1，故选C．
5．z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数，若z1＝z2，则m的值为( )
A．4 B．－1
C．6 D．0
【答案】 B
【解析】 由题意可知m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，所以解得所以m＝－1.
6．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(其中e是自然对数的底，i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，则e eq \s\up10(i)所表示的复数z＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
【答案】 C
【解析】 因为eix＝cos x＋isin x，所以z＝e eq \s\up10(i)＝cos ＋isin ＝－＋i.故选C．
二、填空题
7．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝_________.
【答案】 1
【解析】 ∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴解得a＝1.故答案为1.
8．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_________.
【答案】 2
【解析】 ∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，故a＝2.
9．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝_________，n＝_________.
【答案】 2 ±2
【解析】 由复数相等的充要条件有
三、解答题
10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解析】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
B 组·素养提升
一、选择题
1．设复数z＝sin＋2i是纯虚线，则θ可以为( )
A． B．π
C． D．
【答案】 C
【解析】 由题意得sin＝0，当θ＝，，时不合要求，当θ＝时，sin＝sin(506π)＝0.故选C．
2．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为( )
A．0 B．－1
C．－ D．
【答案】 A
【解析】 由z1>z2，得
即解得a＝0.
3．(多选)有下列四个命题，其中正确的是( )
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】 ABC
【解析】 经逐一检验知①②③正确，④中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选ABC．
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，(m，λ，θ∈R)，且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A． B．
C． D．[1，7]
【答案】 B
【解析】 复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，(m，λ，θ∈R)，且z1＝z2，所以则λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin 2θ－3sin θ＝42－，因为θ∈R，所以sin θ∈[－1，1]，当sin θ＝时，λmin＝－，当λ＝－1时，λmax＝7，所以λ的取值范围是.故选B．
二、填空题
5．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为_________.
【答案】 4
【解析】 ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴解得：x＝4.
6．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于_________.
【答案】 3－i
【解析】 由题意，n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i.
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
【解析】 由题意，得
∴∴当m＝3时，原不等式成立．
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
【解析】 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
得得x＝－1，y＝2.
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第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．
2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．
3．理解复数的代数表示法．
4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题. 通过本节的学习，培养学生获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系及培养数学抽象等素养.
必备知识 探新知
知识点1 复数的概念与分类
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)(如图所示)
2．复数的分类
实数(b＝0)
知识点2 复数相等与数集之间的关系
1．两个复数相等
两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即：a＋bi＝c＋di，当且仅当__________________.
2．数集之间的关系(如图所示)
a＝c且b＝d
关键能力 攻重难
●题型一 复数的概念
1.(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_________；
(3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集在复数集中的补集是虚数集．
【解析】 (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
[归纳提升]
归纳提升：
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
〉对点训练1
给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是_________.
【答案】 ③
【解析】 ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．
●题型二 复数的分类及其应用
(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？
【分析】 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件．
[归纳提升]
归纳提升：
利用复数的分类求参数的方法及注意事项．
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.
〉对点训练2
实数m取何值时，复平面内表示复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋5m＋6)i的点．
(1)是实数；(2)是纯虚数．
【解析】 (1)z＝(m2－m－6)＋(m2＋5m＋6)i是实数，则m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2或m＝－3.
(2)z＝(m2－m－6)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，
●题型三 复数相等的条件
3.已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
【分析】 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
【解析】 设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i，
整理得(3x－10)＋i＝bi－3i，
[归纳提升]
归纳提升：
一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．
〉对点训练3
(1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
(2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为________.
【答案】 (1)C (2)－1
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【答案】 C
2．若复数z＝a2－4＋(a－2)i为纯虚数，则实数a的值为( )
A．2 B．2或－2
C．－2 D．－4
【答案】 C
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于_________.
【答案】 －3
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
【解析】 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
