第五章 §3
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．10＝( )
A．i B．－i
C．＋i D．－i
【答案】 A
【解析】 10＝10＝10(1＋i)10，
由于(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝32i，
所以10(1＋i)10＝10·32i＝i.故选A．
2．设复数z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是( )
A．r>0，θ∈[0，2π) B．r≥0，θ∈(0，2π)
C．r∈R，θ∈(－π，π) D．r≥0，θ∈[0，2π)
【答案】 D
【解析】 由复数三角形式的特征知，r≥0，0≤θ<2π.故选D．
3．复数－2辐角的主值是( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 方法一：∵－2
＝2，
∴辐角的主值为，故选C．
方法二：复数对应点在第三象限，
∴辐角主值是第三象限角．
4．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为( )
A．2＋cos＋isin B．2
C．2 D．2
【答案】 D
【解析】 因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝，
从而可知2i＝2.
5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是( )
A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°
C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°
【答案】 B
【解析】 令z＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式为z＝cos 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos 160°＋isin 160°，故选B．
6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是( )
A．1 B．3
C．5 D．7
【答案】 C
【解析】 因为z＝sin－icos＝cos－isin＝cos＋isin，
则＝cos＋isin，
所以＝cos＋isin＝zn＝cos＋isin，
由此得＝2kπ－(k∈Z)．
所以n＝6k－1，k∈Z，n∈N，故n的最小值为5.
二、填空题
7．设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为_________.
【答案】 2
【解析】 根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(－i)(cos 30°＋isin 30°)＝(－i)＝2.
8．计算下列式子，写出其结果的代数形式：5·2＝_________.
【答案】 ＋i
【解析】 5·2＝10
＝10＝＋i.
9．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝_________ .
【答案】 ＋i
【解析】 (cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
三、解答题
10．把下列复数表示成三角形式．
(1)5；
(2)i；
(3)＋i；
(4)－1－i；
(5)3－3i；
(6)－4＋3i.
【解析】 (1)5＝5(cos 0＋isin 0)．
(2)i＝cos＋isin.
(3)＋i＝cos＋isin.
(4)－1－i＝2＝2.
(5)3－3i＝6＝6.
(6)－4＋3i＝5＝5(cos θ＋isin θ).
B 组·素养提升
一、选择题
1．设复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，则tan(α＋β)等于( )
A． B．－
C．－1 D．1
【答案】 D
【解析】 因为复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝1.
2．向量，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是( )
A．负实数
B．纯虚数
C．正实数
D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
【答案】 B
【解析】 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，由于⊥，
所以＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
＝[cos(±90°)＋isin(±90°)]
＝±i，即为纯虚数．故选B．
3．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( )
A．z＝2
B．z＝2
C．z＝2
D．z＝2
【答案】 AD
【解析】 z＝3＋i
＝2
＝2
＝2，
故选AD．
4．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A．|z2|＝|z|2
B．当r＝1，θ＝时，z3＝1
C．当r＝1，θ＝时，＝－i
D．当r＝1，θ＝，且n为偶数时，复数zn为纯虚数
【答案】 AC
【解析】 z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，故|z2|＝＝＝a2＋b2，又因为|z|2＝()2＝a2＋b2，所以|z2|＝|z|2，选项A正确；当r＝1，θ＝时，由棣莫弗定理得，z3＝3＝cos π＋isin π＝－1，所以选项B错误；当r＝1，θ＝时，由棣莫弗定理得，z＝cos ＋isin ＝＋i，所以＝－i，所以选项C正确；当r＝1，θ＝时，由棣莫弗定理得，zn＝n＝cos ＋isin ，当n＝4时，z4＝cos π＋isin π＝－1，此时不为纯虚数，所以当n为偶数时，复数zn不一定为纯虚数，所以选项D错误，故选AC．
二、填空题
5．＝_________ .
【答案】 2－2i
【解析】 ＝
＝4＝4＝2－2i.
6．任意复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)都可以z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r＝(0≤θ<π)，该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数z＝，则z的辐角主值为_________.
【答案】
【解析】 z＝＝＝＝－＋i＝cos ＋isin ，所以辐角主值为.
三、解答题
7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.
【解析】 设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，z3＝cos γ＋isin γ，则由z2＋iz3－i＝0，
可得
利用cos2β＋sin2β＝1，解得
所以，z3＝.
当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1；
当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1.
8．计算的值．
【解析】
＝
＝
＝＝2
＝1＋i.
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第五章 复数
*§3 复数的三角表示
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系．
2．会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角．
3．掌握复数三角形式的乘、除及乘方运算. 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，理解复数三角形式的乘、除、乘方运算，培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象、数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 复数的三角形式
(1)模与辐角
rcos θ
rsin θ
(2)复数的三角形式
任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，
其中r＝__________，cos θ＝______，sin θ＝______.
这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式．
当z＝r(cos θ＋isin θ)≠0时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差______的整数倍．
2π
知识点2 复数的相等
将满足条件__________的辐角值，称为辐角的主值，记作______，即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定．因此，两个非零复数相等当且仅当它们的_____与______________分别相等．
0≤θ<2π
arg z
模
辐角的主值
任意的
知识点3 复数三角形式的乘法
将复数z1，z2分别用三角形式表示为z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)．
则：r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isinθ2)＝_______________________ _________.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的______，积的辐角等于它们的辐角的______.
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1
＋θ2)]
积
和
知识点4 复数乘法的几何意义
θ2
r2
复数
z1，z2的乘积
知识点5 复数三角形式的除法
模
辐角
辐角
关键能力 攻重难
题型一 复数的代数形式化为三角形式
1.将下列复数代数式化成三角形式：
【分析】 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式．
[归纳提升]
归纳提升：
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求得复数的三角形式．
〉对点训练1
把下列复数表示成三角形式．
(2)由a＝0，b＝－4<0，知
●题型二 将复数的三角形式化为代数形式
2.将下列复数表示成代数形式：
【分析】 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可．
【解析】 (1)9(cos π＋isin π)＝－9.
[归纳提升]
归纳提升：
将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A．
〉对点训练2
【答案】 1－i
●题型三 复数三角形式的乘法运算
3.计算：
【分析】 按照复数三角形式的乘法法则进行．
[归纳提升]
归纳提升：
直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加．
〉对点训练3
【答案】 2i
●题型四 复数三角形式的除法运算
【分析】 根据复数三角形式的除法法则进行．
[归纳提升]
归纳提升：
直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减．
〉对点训练4
课堂检测 固双基
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 D
