第六章 §3 3.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
【答案】 D
【解析】 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
【答案】 B
【解析】 设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．
3．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
【答案】 D
【解析】 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
【答案】 D
【解析】 如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．
5．异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
【答案】 D
【解析】 若c与a，b都不相交，∵c与a都在α内，
∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本事实4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BD的中点，点F为B1C1的中点，则直线BF与D1E所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 如图，取A1D1的中点G，AD的中点H，
连接AG，D1H，HE，GF，则易得AH∥D1G，AH＝D1G，则四边形AGD1H是平行四边形，所以AG∥D1H，
因为AB∥A1B1，AB＝A1B1，GF∥A1B1，GF＝A1B1，
所以AB∥GF，AB＝GF，所以四边形GABF为平行四边形，所以AG∥BF，所以BF∥D1H，
所以∠HD1E即为直线BF与D1E所成的角(或其补角)．
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则HE＝AB＝1，D1E＝＝＝，
D1H＝＝＝，
所以HD＋HE2＝D1E2，所以HE⊥D1H，所以sin∠HD1E＝＝＝.故选A．
二、填空题
7．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为__________.
【答案】 异面或相交
【解析】 假设l∥b，又l∥a，根据基本事实4，可得a∥b，这与a与b异面直线相矛盾，故假设不成立，所以l与b异面或相交．
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为__________.
【答案】 60°
【解析】 依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为__________.(填序号)
【答案】 ①③
【解析】 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【解析】 (1)因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，
又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．若两直线无公共点，则两直线平行
B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
【答案】 B
【解析】 对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
【答案】 A
【解析】 如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A．
3．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果图示面为里面，将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有( )
A．AB与CD B．AB与GH
C．EF与GH D．EF与CD
【答案】 ABC
【解析】 将平面图形还原成正方体后如图所示，其中AB与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面．
4．(多选)已知α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C β
C．若直线a α，直线b β，则a与b为异面直线
D．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c异面
【答案】 AB
【解析】 若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈α∩β＝l，A正确；若C∈β，又A∈β，B∈β，则α和β重合，不成立，B正确；直线a α，直线b β，则a与b为异面直线或a∥b或a，b相交，C错误；若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c异面或a，c相交或a，c平行，D错误；故选AB.
二、填空题
5．在四棱锥P－ABCD中E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝__________.
【答案】 2
【解析】 由题意知EF綊AC，GH綊AC，
故EF綊GH，故GH＝2.
6．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值是__________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是__________.
【答案】
【解析】 因为AA1∥DD1，所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，
在Rt△D1DB中，sin∠DD1B＝＝＝.
因为AD∥BC，所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，
连接D1C，在△D1BC中，
因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，所以D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2，
所以∠D1CB＝90°，
所以sin∠D1BC＝＝＝，
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
三、解答题
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点．求证：
(1)CE、D1F、DA三线共点；
(2)直线BC和直线D1F是异面直线．
【证明】 (1)分别延长D1F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA 面ABCD，
∴P∈面ABCD.
∵F是AA1的中点，FA∥D1D，∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，∴CP，AB的交点为线段AB的中点，即为E，
∴CE，D1F，DA三线共点于P.
(2)假如直线BC和直线D1F不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC α，D1F α，
由于在正方体中AD∥BC，BC α，AD α，
因此AD∥α，又因为AD 平面ADD1A1，且平面ADD1A1∩α＝D1F，
故AD∥D1F，在正方形ADD1A1中，显然AD，D1F不平行，故矛盾，
因此假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
【解析】 如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E.连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
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第六章 立体几何初步
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
(基本事实4、定理)
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解基本事实4和等角定理．
2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行、异面的位置关系．
3．会求异面直线所成的角. 通过本节的学习，培养学生利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的素养.
必备知识 探新知
知识点1 基本事实4
内容：平行于__________直线的两条直线互相平行．
知识点2 空间两条直线的位置关系
1．共面(异面)直线
同一条
2．画法
为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图所示．
知识点3 等角定理及应用
1．等角定理
定理：如果空间中两个角的两条边分别____________，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的________________的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)．
(2)范围：记异面直线a与b所成的角为θ，则________________.
(3)特殊情况：当θ＝________时，a与b互相垂直，记作：________.
对应平行
不大于90°
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
关键能力 攻重难
●题型一 直线与直线位置关系的判断
1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是__________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是__________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是__________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是__________.
【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
【解析】 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C．
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
[归纳提升]
归纳提升：
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
〉对点训练1
正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】 C
【解析】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
●题型二 基本事实4的应用
2.如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【证明】 如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.
因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，
所以C1Q綊FD.又B1E綊C1Q，所以B1E綊FD，故四边形B1EDF为平行四边形．
[归纳提升]
归纳提升：
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
〉对点训练2
如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．
【证明】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，
所以EG綊A1B1.
又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1，
从而四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1E綊C1G.
因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点，
所以C1F綊BG，从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BF綊C1G，又D1E綊C1G，所以D1E綊BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．
●题型三 等角定理的应用
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点．求证：
(1)EF綊E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【证明】 (1)如图，连接BD、B1D1，在△ABD中，
因为E、F分别为AB、AD的中点，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綊DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD綊B1D1，
所以EF綊E1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接F1M、BM，则MF1綊B1C1.
又B1C1綊BC，所以MF1綊BC，
所以四边形BMF1C为平行四边形，
所以BM∥CF1.
所以A1M綊BE，
所以四边形BMA1E为平行四边形，
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
所以∠EA1F＝∠E1CF1.
[归纳提升]
归纳提升：
求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
〉对点训练3
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC．
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
●题型四 异面直线所成的角
【解析】 如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG.
∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．
∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.
∴∠EGF＝90°，故AD与BC所成角为90°.
[归纳提升]
归纳提升：
求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
〉对点训练4
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角．
【解析】 连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：
根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)．因为BC1＝A1C1＝A1B，所以△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°.
课堂检测 固双基
1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
【答案】 D
【解析】 直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面．
2．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【答案】 B
【解析】 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3．若直线a 平面α，则下列结论中成立的个数是( )
①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；
③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 A
【解析】 ∵直线a 平面α，∴直线a与平面α可能相交或平行．若a与α平行，则α内与a平行的直线有无数条；若a与α相交，则α内的直线可以与a相交，也可以与a异面．故①②③④都不正确．
【答案】 A
5．如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是__________.
【答案】 ②④
【解析】 ①中GH与MN平行，③中GM∥HN, 所以GH与MN共面，②④中GH与MN为异面直线．
