(共38张PPT)
第六章 立体几何初步
§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线与平面平行的位置关系．
2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系. 通过本节的学习，培养学生掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物的素养.
必备知识 探新知
知识点1 直线与平面平行的性质定理
文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________平行．
符号表示：l∥α，l β，α∩β＝a l∥a.
图形表示(如图所示)
作用：证明线线平行
交线
知识点2 直线与平面平行的判定定理
文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线________，那么该直线与此平面平行．
符号表示：l α，a α，且l∥a l∥α.
图形表示(如图所示)
作用：证明直线与平面平行．
平行
关键能力 攻重难
●题型一 线面平行的性质定理的应用
1.一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
【解析】 (1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，
则PD，PF，DE，EF即为应画的线．
(2)因为P为VA中点，F为AB中点，所以PF∥VB，同理DE∥VB，所以PF∥DE，所以P，D，E，F，四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF.
[归纳提升]
归纳提升：
关于线面平行性质定理的应用
(1)如果题目中存在线面平行的条件，寻找或作出交线是前提，也是关键．
(2)对应画线问题，要根据线面平行，确定出平行的直线后画出．
〉对点训练1
(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于__________.
(1)题图
(2)如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上．求证：四边形MNPQ是平行四边形．
(2)题图
(2)证明：∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．
●题型二 线面平行的判定定理的应用
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
【证明】证法一：如图(1)，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连接EF，
则EF 平面AA1B1B，
又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF.
∵MN 平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.
证法二：如图(2)，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，
则B1P 平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP，
∴MN∥B1P.
∵MN 平面AA1B1B，B1P 平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
[归纳提升]
归纳提升：
利用直线与平面的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等解题．
〉对点训练2
(1)在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________.
(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．求证：CE∥平面PAD.
【答案】 (1)平面ABD与平面ABC (2)见解析
【解析】 (1)如图所示，取CD的中点E.连接AE，BE，
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.
又因为MN 平面ABD，MN 平面ABC，
AB在平面ABD内，AB在平面ABC内，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．
(2)证明：取PA的中点H，连接EH，DH(图略)．
因为E为PB的中点，
又因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以EH∥CD，EH＝CD，
所以四边形DCEH是平行四边形．
所以CE∥DH，又CE 平面PAD，DH 平面PAD，所以CE∥平面PAD.
●题型三 线面平行的综合问题
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
而AP 平面BMD，OM 平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
又∵PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
又PA 平面PAD，GH 平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
[归纳提升]
归纳提升：
直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．
〉对点训练3
(1)如图1所示，若在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件__________时，SC∥平面EBD.
(1)题图
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H.求证：AB∥GH.
(2)题图
【解析】 (1)如图，当E为SA的中点时，连接AC，
设AC与BD的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．又E是SA的中点，所以OE是△SAC的中位线，所以OE∥SC．因为SC 平面EBD，OE 平面EBD，所以SC∥平面EBD.
(2)证明：∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB.
又AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
又AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
课堂检测 固双基
1．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．BC α
【答案】 A
【解析】 在△ABC中，∵AD∶DB＝AE∶EC，
∴BC∥DE.∵BC α，DE α，∴BC∥α.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1B1中点，下列说法正确的是( )
A．BC1∥平面D1MC
B．C1D1∥平面ACM
C．CM∥平面A1BD
D．B1C∥平面D1MB
【答案】 D
【解析】 如图1，取BB1的中点N，连接MN，NC，A1B，又M为A1B1中点，则MN∥A1B，根据长方体的对称性可知A1B∥D1C，所以MN∥D1C，M，N，C，D1四点共面，直线BC1与NC相交，所以BC1与平面MNCD1相交，所以选项A错误；
如图2，取B1C1的中点E，由选项A同理可证，ME∥AC，M，E，C，A四点共面，在平面A1B1C1D1内，直线D1C1与ME相交，所以C1D1与平面MACE相交，所以选项B错误；如图3，在平面A1DCB1内，直线A1D与CM相交，所以CM与平面A1BD相交，所以选项C错误；如图4，取DC的中点F，连接D1F，BF，MF，由长方体的对称性，BF∥D1M，D1，F，B，M四点共面，在平面A1DCB1内，直线MF∥B1C，B1C 平面D1MB，MF 平面D1MB，所以B1C∥平面D1MB，选项D正确．故选D.
3．点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．MN 平面PCB1 D．以上三种情形都有可能
【答案】 A
【解析】 如图，∵M、N分别为A1A和A1B1中点，∴MN∥AB1，又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三点共线，∴AB1 平面PB1C，∵MN 平面PB1C，∴MN∥平面PB1C．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为__________.
【答案】 平行
【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A綊C1C．所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以A1C1∥AC．又因为AC 平面AEC，A1C1 平面AEC，且A1C1∥AC，所以A1C1∥平面ACE.
5．如图，三棱柱ABC－A′B′C′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
【证明】 连接AB′，AC′，则点M为AB′的中点．
又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.
又MN 平面A′ACC′，AC′ 平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.第六章 §4 4.1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．若l∥α，m α，则l与m的关系是( )
A．l∥m B．l与m异面
C．l与m相交 D．l与m无公共点
【答案】 D
【解析】 l与α无公共点，∴l与m无公共点．
2．下列结论：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确结论的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】 B
【解析】 ①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
【答案】 B
【解析】 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF 平面BCD，BD 平面BCD，∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG，故选B.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【答案】 A
【解析】 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
5．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
【答案】 B
【解析】 ∵EF 平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC．
6．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G、H分别为SB、BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
【答案】 B
【解析】 ∵GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.
二、填空题
7．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__________.
【答案】 平行
【解析】 ∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN 平面ADE，DE 平面ADE，∴MN∥平面ADE.
8．已知直线b，平面α，有以下条件：
①b与α内一条直线平行；
②b与α内所有直线都没有公共点；
③b与α无公共点；
④b不在α内，且与α内的一条直线平行．
其中能推出b∥α的条件有__________.(把你认为正确的序号都填上)
【答案】 ②③④
【解析】 ①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________.
【答案】 平行
【解析】 连接A1C1，∵A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形，∴AC∥A1C1且A1C1 平行A1B1C1D1，AC 平面A1B1C1D1，∴AC∥平面A1B1C1D1.又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1.
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.
【证明】 如图所示，连接SB.
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
【答案】 BCD
【解析】 B选项中，AB∥MQ，且AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选BCD.
2．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列结论：
① m∥β；② n∥β；③ m，n异面．
其中错误的结论有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】 C
【解析】 ∵α∥β，∴α与β没有公共点．又∵m α，∴m与β没有公共点，∴m∥β，故①正确，②③错误．
3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
【答案】 B
【解析】 ∵在 AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN 平面ABC，AB 平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B.
二、填空题
4．如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝__________.
【答案】 m∶n
【解析】 ∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.同理，EH＝FG＝n，又∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.
5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件__________时，A1P∥平面BCD.
【答案】 P是CC1中点(答案不唯一)
【解析】 如图，取CC1中点P，连接A1P.∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P是CC1中点时，A1P∥CD.∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，∴A1P∥平面BCD.
三、解答题
6．如图，在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，得AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
因为OH 平面FGH，BD 平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
7．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C．
【证明】 由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.
又A1D 平面A1DFE，B1C 平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C 平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．
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