(共32张PPT)
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．借助生活中的实物进行演示，理解柱、锥、台的侧面展开，理解面积的求法．
2．掌握柱、锥、台的表面积的求法. 通过本节的学习，培养学生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.
必备知识 探新知
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
(1)圆柱的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是矩形．如图1：
圆柱的侧面积和表面积公式：S圆柱侧＝___________，S表面积＝S圆柱侧＋2S底面积＝_____________.
图1
2πrl
2πrl＋2πr2
(2)圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是扇形．如图2：
圆锥的侧面积和表面积公式：S圆锥侧＝__________，S表面积＝S圆锥侧＋S底面积＝___________.
图2
πrl
πrl＋πr2
(3)圆台的上底面半径为r1，下底面半径为r2，母线长为l，侧面展开图是扇环．如图3：
圆台的侧面积和表面积公式：S圆台侧＝____________，S表面积＝S圆台侧＋S上底面积＋S下底面积＝________________________.
图3
π(r1＋r2)l
知识点2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积
(1)直棱柱的底面周长为c，高为h.直棱柱的侧面展开图是一些矩形．如图1：
直棱柱的侧面积和表面积公式：S直棱柱侧＝_______，S表面积＝S直棱柱侧＋2S底面积．
图1
ch
(2)正棱锥的底面周长为c，斜高为h′.正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角形．如图2：
正棱锥的侧面积和表面积公式：S正棱锥侧＝_______，S表面积＝S正棱锥侧＋S底面积．
图2
(3)正棱台的上底面周长为c1，下底面周长为c2，斜高为h′.正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．如图3：
正棱台的侧面积和表面积公式：S正棱台侧＝_______________，S表面积＝S正棱台侧＋S上底面积＋S下底面积.
图3
关键能力 攻重难
●题型一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为__________.
【答案】 (1)B (2)2π (3)168π
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
[归纳提升]
归纳提升：
求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键．
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法．
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程．
〉对点训练1
(1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__________.
(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为__________.
(3)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.
【答案】 (1)7 (2)4πS (3)1
【解析】 (1)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
(2)设圆柱的底面半径为R，
●题型二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
2.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
【分析】 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长．
【解析】 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
[归纳提升]
归纳提升：
棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
〉对点训练2
已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
【解析】 ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形．
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
●题型三 柱、锥、台的侧面展开与表面积的实际应用
3.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
【解析】 因为圆柱形铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示．
[归纳提升]
归纳提升：
最短路线的求解思路
求几何体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题，求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现．
〉对点训练3
用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
课堂检测 固双基
1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．2π B．π
C．2 D．1
【答案】 A
【解析】 本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面展开图是长宽分别为1,2π的矩形，面积为S＝2π.
2．已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的全面积为( )
【答案】 A
3．若正四棱台的上、下底面边长分别为1,2，斜高为3，则该正四棱台的侧面积的和为( )
A．5 B．7
C．18 D．36
【答案】 C
4．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是__________.
5．已知一块正方形薄铁片的边长为8 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？第六章 §6 6.1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( )
A．1∶2 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶4
【答案】 B
【解析】 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，∴S侧面积∶S表面积＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝2∶3，故选B.
2．棱长为3的正方体的表面积为( )
A．27 B．64
C．54 D．36
【答案】 C
【解析】 正方体的表面积为S＝6×32＝54.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
【答案】 C
【解析】 设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l＝(r＋R)，又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，∴l2＝16，∴l＝4.
4．设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【答案】 B
【解析】 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则有可得从而该圆锥的侧面积为πl2＝π·4r2＝20.
5．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
【答案】 B
【解析】 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.
6．已知底面半径为3的圆锥SO，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
【答案】 C
【解析】 如图作出圆锥的轴截面SAB，依题意OB＝OA＝3，OD＝OC＝1，SB＝6，所以SO＝＝3，
易知△BDF∽△BOS，则＝，所以DF＝2，
即圆锥的内接圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
所以圆柱的侧面积S＝2πrh＝2×1×2π＝4π.
故选C．
二、填空题
7．如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为__________.
【答案】 24＋2
【解析】 该三棱柱的表面积为2×＋3×(4×2)＝24＋2.
8．(2024·全国甲卷改编)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的高之比为__________.
【答案】
【解析】
由题可得，圆台甲的高
h甲＝＝(r2－r1)，
h乙＝＝2(r2－r1)，
所以＝.
9．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ __________cm.
【答案】 3
【解析】 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.
三、解答题
10．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
【解析】 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )
A．80 B．240
C．320 D．640
【答案】 B
【解析】 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为＝8.∴等腰梯形的面积为×(4＋16)×8＝80，∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240.故选B.
2．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120° B．150°
C．180° D．240°
【答案】 C
【解析】 设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，∴l＝2r，∴θ＝＝π.
3．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是( )
A．32π2＋8π B．32π2＋32π
C．32π2＋64π D．64π
【答案】 AB
【解析】 当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，底面圆的半径为r＝2，两底面面积为2πr2＝8π，所以圆柱的表面积为32π2＋8π；当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，底面圆的半径为r＝4，两底面面积为2πr2＝32π，所以圆柱的表面积为32π2＋32π.
4．柷(zhù)，是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎(木棒)撞击其内壁发声，表示乐曲将开始．如图，某柷(含底座)高60 cm，上口正方形边长70 cm，下口正方形边长54 cm，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4 cm，高为16 cm的正四棱柱，则该柷(含底座)的侧面积约为(≈2.236)( )
A．12960 cm2 B．14803 cm2
C．16800 cm2 D．18240 cm2
【答案】 B
【解析】 如图正四棱台中，连接AC，A1C1，过点A、C分别作AE⊥A1C1、CF⊥A1C1，交A1C1于点E、F，依题意AB＝54 cm，A1B1＝70 cm，AE＝CF＝60－16＝44 cm，则A1E＝＝8 cm，所以AA1＝＝ cm，所以正四棱台的斜高为＝20 cm，所以正四棱台的侧面积S1＝4××20＝4960≈11090.56cm2，又正四棱柱的侧面积S2＝4×(54＋4)×16＝3712 cm2，所以该柷(含底座)的侧面积约为11 090.56＋3 712≈14 802.56≈14 803 cm2.故选B.
二、填空题
5．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，其侧面积为__________cm2，全面积为__________cm2.
【答案】 32 48
【解析】 如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
所以斜高h′＝PE＝＝＝4(cm)．
所以S正四棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)，
S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．
6．已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为__________.
【答案】 (6＋4)π
【解析】 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴×AC2＝2，
解得AC＝2，
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
∴圆锥底面的半径r＝OC＝ACcos 30°＝2×＝，则该圆锥的表面积为π×()2＋π××2＝6π＋4π＝(6＋4)π.
三、解答题
7．已知正三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.求该三棱锥的表面积．
【解析】 如图所示，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，
有VD＝＝＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以，三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
8．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
【解析】 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
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