(共38张PPT)
第六章 立体几何初步
§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1.理解空间中直线与平面垂直的位置关系．
2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面垂直的位置关系．
3．掌握直线与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理．
4．会用直线与平面垂直的性质定理，判定定理解决相关的问题．
5．会求简单的直线与平面所成的角以及点到平面的距离. 通过本节的学习，学会有逻辑地思考问题，增强学生运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观的素养.
必备知识 探新知
知识点1 直线与平面垂直的定义
文字语言 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足
符号语言 任意a α，都有l⊥a l⊥α
图形语言
知识点2 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 a⊥α，b⊥α a∥b
图形语言
平行
知识点3 直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．
知识点4 直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面α________，但不与这个平面________，这条直线称为这个平面的斜线
斜足 斜线与平面的__________称为斜足
投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作________，过__________和__________的直线AO称为斜线在这个平面上的投影
相交
垂直
交点A
垂线
垂足O
斜足A
直线与
平面所
成的角 平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们所成的角是________的角
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则____________________
直角
0°
0°≤θ≤90°
知识点5 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的________________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，__________＝A l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b
关键能力 攻重难
●题型一 直线与平面垂直的正确理解
1.(1)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
(2)(多选)已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是( )
(3)下列命题中，正确的序号是__________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
【答案】 (1)B (2)BC (3)④⑤
【解析】 (1)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．
(2)A中n，α可能平行或n在平面α内；BC正确；D两直线m，n平行或异面．
(3)当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确，故填④⑤.
[归纳提升]
归纳提升：
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直 线面垂直．
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直 线线垂直．
〉对点训练1
(1)如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；
②梯形的两边；
③圆的两条直径；
④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直的序号有( )
A．①③ B．①②
C．②④ D．①④
(2)下列说法正确的有__________(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
【答案】 (1)A (2)②
【解析】 (1)三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
(2)因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．
由线面垂直的定义可得，②正确．
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．
如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
●题型二 线与面垂直的判定与性质的综合
2.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
【证明】 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
[归纳提升]
归纳提升：
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
〉对点训练2
本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
【证明】 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
●题型三 直线与平面所成的角
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
【分析】 (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
[归纳提升]
归纳提升：
求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.
〉对点训练3
如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
【解析】 由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC．
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
课堂检测 固双基
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
【答案】 A
【解析】 ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
【答案】 B
【解析】 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m α或m⊥α或m与α斜交，即③错误．
3．若a，b表示直线，α表示平面，下列推论中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α，则a⊥b；
②a⊥α，a⊥b，则b∥α；
③a∥α，a⊥b，则b⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
【答案】 A
【解析】 对于①，当a⊥α，b∥α时，a，b相交垂直或异面垂直，故①正确；对于②，当a⊥α，a⊥b时，b∥α或b α，故②错误；对于③，当a∥α，a⊥b时，b与α平行或相交或b α，故③错误．故选A．
4．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m,4 m,1 m，则P与墙角B的距离为_________m.
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
【证明】 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC．
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．第六章 §5 5.1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两条直线互相平行
C．垂直于同一平面的两个平面互相平行
D．平行于同一平面的两条直线互相平行
【答案】 B
【解析】 A中两直线可相交、异面、平行，故A错误；B中l⊥α，m⊥α则l∥m，正确；C中两平面可平行、相交，故C错误；D中两直线可平行、相交、异面，故D错误．
2．直线a与直线b垂直，b平行于平面α，则a与α的位置关系是( )
A．a⊥α B．a∥α
C．a α或a∥α D．不确定
【答案】 D
【解析】 当b∥α时，可存在直线a α，a⊥α，a∥α，故关系不确定．
3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )
A．心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】 C
【解析】 ∵PC⊥PA，PC⊥PB，
PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB.
又∵AB 平面PAB，∴AB⊥PC．
∵PH⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴AB⊥PH，又∵PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.
又∵CH 平面PCH，∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．
4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，m∥α，则l∥m
B．若l∥m，l∥α，则m∥α
C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
D．若l⊥α，m∥α，则l⊥m
【答案】 D
【解析】 如图所示，正方体ABCD－EFGH，若平面ABCD为α，EF为直线l，FG为直线m，显然l∥α，m∥α，而l∩m＝F，即A错误；若平面ABCD为α，EF为直线l，DC为直线m，显然l∥m，l∥α，而m α，即B错误；若平面ABCD为α，EA为直线l，DC为直线m，显然l⊥m，l⊥α，而m α，即C错误；过m作面β∥α，由面面平行与线面垂直的性质可知l⊥β，而m β，故l⊥m，即D正确．故选D.
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 连接A1C1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin ∠AC1A1＝＝.
6．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
【答案】 B
【解析】 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B.
二、填空题
7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有__________个．
【答案】 4
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．
∴△PAB、△PAC为直角三角形．
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥AC，BC⊥PC．
∴△ABC、△PBC为直角三角形．
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为__________.
【答案】
【解析】 如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan∠FEB＝.
9．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.
【答案】 6
【解析】 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.
三、解答题
10．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
【证明】 (1)∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，
∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC．
(3)∵AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，
∴PC⊥平面AEF.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
【答案】 A
【解析】 若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确．
因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC．
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.
2．(多选)如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是( )
A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF
【答案】 BCD
【解析】 ∵六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，∴AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；∵DF⊥AF，DF⊥PA，又AF∩PA＝A，∴DF⊥平面PAF，故B正确；由正六边形的性质可知，CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；∵CF与AD不垂直，∴CF⊥平面PAD不正确．故选BCD.
3．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
【答案】 ABC
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，
又PA＝AB，D是PB的中点，
∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；
由AD⊥平面PBC，∴C正确．
由题意知PB与AC不垂直，所以PB与平面ADC不垂直，D错误．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6
C．8 D．8
【答案】 C
【解析】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，所以BC1＝2，从而求得CC1＝2，所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8，故选C．
二、填空题
5．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的__________.(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)
【答案】 外心
【解析】 P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__________.
【答案】 45°
【解析】 如图，设C在平面α内的射影为O点，
连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，∴CM＝，CO＝.∴sin∠CMO＝＝，∴∠CMO＝45°.
三、解答题
7．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
【解析】 当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
连接A1B、CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，
又D1E 面A1BCD1，
∴AB1⊥D1E.
又DD1⊥平面BD，
∴AF⊥DD1.
∵F为DC中点，E为BC中点，四边形ABCD为正方形，
∴△DEC≌△AFD，∴∠1＝∠3，
又∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠3＋∠2＝90°，
∴AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥D1E.∴D1E⊥平面AB1F.
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
8．如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，DE⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD，且DE＝EF＝AB.
(1)求证：BF∥平面AEC；
(2)求证：DF⊥平面AEC．
【证明】 (1)如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令AB＝.
则DE＝EF＝1.∵四边形ABCD为正方形，
∴BD＝AB＝2＝2BO.
∵EF∥平面ABCD，且平面ABCD∩平面BDEF＝BD，EF 面BDEF，
∴EF∥BD，∴EF∥OB，EF＝OB，即四边形BOEF为平行四边形，
∴OE∥BF.又OE 平面AEC，BF 平面AEC，
∴BF∥平面AEC．
(2)连接OF.∵EF∥DO，且EF＝DO，DE＝EF，
∴四边形ODEF为菱形．
∵DE⊥平面ABCD，∴四边形ODEF为正方形，
∴DF⊥OE.
又四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴DE⊥AC．
而BD∩DE＝D，且BD 平面BDEF，DE 平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF.
∵DF 平面BDEF，∴AC⊥DF.
又OE∩AC＝O，OE，AC 平面AEC，
∴DF⊥平面AEC．
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