(共43张PPT)
第六章 立体几何初步
§5 垂直关系
5.2 平面与平面垂直
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．
2．理解两平面垂直的定义．
3．掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用．
4．掌握平面与平面垂直的判定定理．
5．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化. 通过本节的学习，培养学生的几何直观能力，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，提升在直观感知，操作确认的基础上归纳、概括结论的素养.
必备知识 探新知
知识点1 二面角
有关概念 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为__________.
从一条直线出发的______________所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的______，这两个半平面称为二面角的______.
符号语言 二面角α－AB－β或α－l－β
图形语言
半平面
两个半平面
棱
面
二面角的
平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于______的两条射线，这两条射线所成的______称为二面角的平面角．平面角是直角的二面角称为直二面角
符号语言 ∠AOB是二面角α－l－β的平面角
图形语言
棱
角
知识点2 平面与平面垂直的定义
文字语言
(定义) 两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直
符号语言 __________
图形语言 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边________.如图所示
直二面角
α⊥β
垂直
知识点3 平面与平面垂直的性质
文字语言
(定义) 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号语言 α⊥β，α∩β＝MN，AB β，AB⊥MN于点B AB⊥α
图形语言
知识点4 平面与平面垂直的判定
文字语言(定义) 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言 l α，l⊥β α⊥β
图形语言
关键能力 攻重难
●题型一 求二面角的大小
1.四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．
【分析】 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．
【解析】 (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，
所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌ △PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE.
所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，
因为∠BEO∈(0°，90°)，
所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.
所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.
[归纳提升]
归纳提升：
1．求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
〉对点训练1
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
【解析】 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，
●题型二 平面与平面垂直的性质及应用
2.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
【证明】 (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
[归纳提升]
归纳提升：
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直．
②直线在其中一个平面内．
③直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
〉对点训练2
如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
【证明】 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD.
则AB∥EF.
∵AB 平面ABC，EF 平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC 平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD 平面ABD，∴BC⊥AD.
∵AB⊥AD，BC，AB 平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，又AC 平面ABC，∴AD⊥AC．
●题型三 平面与平面垂直的判定
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD.
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.
【分析】 (1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论．(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论．
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABC．
因为PD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.
同时，AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
[归纳提升]
归纳提升：
证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角．
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
(3)性质法：利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
〉对点训练3
如图所示，在四面体A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
【证明】 证法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC均是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面 SBC．
证法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以△ASB和△ASC均是等边三角形，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面 SBC．
又因为 AD 平面ABC，所以平面 ABC⊥平面SBC．
课堂检测 固双基
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】 D
2．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】 C
【解析】 因为BA⊥平面ADD′A′，又AD，AD′ 平面ADD′A′，所以AD′⊥AB，AD⊥AB，所以∠D′AD即为二面角D′－AB－D的平面角，因为∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小是45°.故选C．
3．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论
正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】 C
【解析】 ∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE ⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C．
4．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
【答案】C
【解析】经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C.
5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
求证：BC⊥AC．
【证明】 如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC 平面PBC，∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵AC 平面PAC，∴BC⊥AC．第六章 §5 5.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是( )
A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l b⊥β
B．α⊥β，α∩β＝l，b α b⊥β
C．α⊥β，b α，b⊥l b⊥β
D．α⊥β，α∩β＝l，b α，b⊥l b⊥β
【答案】 D
【解析】 根据面面垂直的性质定理知，D正确．
2．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【答案】 C
【解析】 可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF 平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．
3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF 平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
【答案】 D
【解析】 由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1，相交且垂直．
4．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
【答案】 B
【解析】 ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，PD 平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC．
5．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】 D
【解析】 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，
∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1上的动点，且EH∥FG，则必有( )
A．BD1⊥EH
B．AD∥FG
C．平面BB1D1D⊥平面EFGH
D．平面A1BCD1∥平面EFGH
【答案】 B
【解析】 若点E与A1重合，点H与点D1重合，则BD1与EH的夹角便是BD1与A1D1的夹角，显然BD1与A1D1的夹角不是，所以BD1⊥EH错误，A错误；当FG与B1C1重合时，由AD∥B1C1可得AD∥FG，当FG与B1C1不重合时，因为EH∥FG，EH 平面A1B1C1D1，FG 平面A1B1C1D1，所以FG∥平面A1B1C1D1，FG 平面BCC1B1，平面BCC1B1∩平面A1B1C1D1＝B1C1，所以FG∥B1C1，又AD∥B1C1，所以AD∥FG，B正确；当平面EFGH与平面BCC1B1重合时，平面BB1D1D与平面BCC1B1不垂直，C错误；当FG与BC重合时，平面A1BCD1与平面EFGH相交，D错误．故选B.
二、填空题
7．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．
【答案】 3
【解析】 ∵AB⊥平面BCD，且AB 平面ABC和AB 平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC．
∵CD 平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ACD.
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
8．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝__________.
【答案】
【解析】 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.
9．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的高为3，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为__________.
【答案】 60°
【解析】 设正四棱锥为S－ABCD，
如图所示，高为h，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，
∴a2＝12.
设O为S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．
tan∠SEO＝＝＝，
∴∠SEO＝60°.
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.
三、解答题
10．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA．
【证明】 (1)取EC的中点F，连接DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC．易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE＝DA．
(2)取AC的中点N，连接MN，BN，则MN綊CF.
∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，
∴BN⊥平面ECA．
又∵BN 平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ECA．
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
【答案】 C
【解析】 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知B、D错，C正确．
2．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
【答案】 A
【解析】 连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A．
3．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论错误的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【答案】 ABC
【解析】 由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC．又AB 平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．则A，B，C均错．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN⊥BC
B．MN与BC所成的角为45°
C．BC⊥平面VAC
D．平面VAC⊥平面VBC
【答案】 ACD
【解析】 选项A：AB是⊙O的直径，则CA⊥CB，又M，N分别为VA，VC的中点，则MN∥AC，则MN⊥CB.判断正确；选项B：由MN⊥CB可得MN与BC所成的角为90°.判断错误；选项C：VA垂直于⊙O所在的平面，则VA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，则VA⊥BC，又CA⊥CB，VA∩CA＝A，VA，CA 平面VAC，则CB⊥平面VAC．判断正确；选项D：由CB⊥平面VAC，CB 平面VBC，可得平面VAC⊥平面VBC．判断正确．故选ACD.
二、填空题
5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P－AB－C的大小为__________.
【答案】 60°
【解析】 取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)
【答案】 BM⊥PC(其他合理即可)
【解析】 ∵四边形ABCD的边长相等，
∴四边形ABCD为菱形．∵AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．
∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.
又∵PC 平面PCD，
∴平面PCD⊥平面BDM.
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
【证明】 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，
同理BM＝＝，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，
从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
8．如图，在圆柱OO1中，OO1＝2，A为圆O上一定点，B为圆O上异于点A的一动点，OA＝2，过点O作平面ABO1的垂线，垂足为C点．
(1)若OA⊥OB，求证：BC⊥O1A．
(2)若△AOB为等边三角形，求二面角A－O1B－O的余弦值．
【解析】 (1)证明：由圆柱的性质得：OO1⊥OB，OA⊥OB，
因为OA∩OO1＝O，所以OB⊥平面OO1A，
因为O1A 平面OO1A，所以OB⊥O1A，
因为OC⊥平面ABO1，O1A 平面ABO1，所以OC⊥O1A，
又因为OC∩OB＝O，所以O1A⊥平面BOC，
因为BC 平面BOC，所以BC⊥O1A．
(2)过点A作AM⊥OB垂足为M，过M作MN⊥O1B于N，连接AN，
由已知O1O⊥平面ABO，O1O 平面BO1O
所以平面BO1O⊥平面ABO，平面BO1O∩平面ABO＝OB，
所以AM⊥BO1，AM∩MN＝M，所以BO1⊥平面AMN，
所以BO1⊥AN，所以∠ANM为二面角A－O1B－O的平面角，
又因为△AOB为等边三角形，AO＝2，
所以AM＝3，在直角三角形BO1O中，BO1＝＝4，
△BMN～△BO1O，所以＝，所以MN＝，
在直角三角形AMN中，AN＝＝，
所以cos∠ANM＝＝.
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