第六章 §4 4.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是( )
A．AC∥截面BA1C1
B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内
D．以上答案都错误
【答案】 A
【解析】 ∵AC∥A1C1，又∵AC 面BA1C1，∴AC∥面BA1C1.
2．已知直线l、m，平面α、β，下列结论正确的是( )
A．l∥β，l α α∥β
B．l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
【答案】 D
【解析】 如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB 平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF 平面BC1，B1C1 平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD 平面AC，B1C1 平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
3．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
【答案】 B
【解析】 ∵A1B1∥AB，AB 平面ABC，A1B1 平面ABC，∴A1B1∥平面ABC．又A1B1 平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB.
4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【答案】 C
【解析】 如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形，∴应选C．
5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面为( )
A．三角形 B．五边形
C．平行四边形 D．等腰梯形
【答案】 D
【解析】 根据题意，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，且EF＝B1D1＝BD，故BDFE在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥A1B1∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE 平面BDFE，AM 平面BDFE，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面α截该正方体所得截面为梯形BDFE；又由梯形BDFE中，BE＝DF＝＝，即平面α截该正方体所得截面为等腰梯形，故选D.
6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5
B．3∶8
C．4∶9
D．4∶25
【答案】 D
【解析】 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
二、填空题
7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__________(填“平行”或“相交”)．
【答案】 平行
【解析】 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝__________.
【答案】
【解析】 ∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
9．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝__________.
【答案】
【解析】 ∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，
∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝，则EG＝＝＝.
三、解答题
10．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.
【证明】 因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
B 组·素养提升
一、选择题
1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出五个结论．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥γ，b∥γ a∥b；
③α∥c，β∥c α∥β；④α∥γ，β∥γ α∥β；
⑤α∥c，a∥c α∥a.
其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
【答案】 C
【解析】 ①平行公理．②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．④面面平行传递性．⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．故①④正确．
2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，所以梯形的高为，所以梯形的面积为(＋2)×＝.
3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是( )
A．0 B．2
C．4 D．6
【答案】 D
【解析】 连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG 平面EFGH，EH 平面EFGH，AB′ 平面AB′D′，AD′ 平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D.
4．(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确的是( )
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD
D．平面PAD∥平面PAB
【答案】 ABC
【解析】 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.故选ABC．
二、填空题
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.
【答案】 点M在FH上
【解析】 ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
又平面FHN∩平面EFGH＝FH，
∴当M∈FH时，MN 平面FHN，
∴MN∥平面B1BDD1.
6．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝__________，ED与AF相交于点H，则GH＝__________.
【答案】 1
【解析】 因为ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，且AB＝CD.
又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，
所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝.
三、解答题
7．如图所示，P为 ABCD所在平面外一点，点M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论．
【证明】 (1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD.又因为AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
(2)MN∥平面PAD.
证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE、AE，所以NE∥CD，NE＝CD.
而CD綊AB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，
所以MN∥AE.又AE 平面PAD，MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
8．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝2，D是AB的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1DC；
(2)求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
【解析】 (1)证明：连接AC1，交A1C于O，连接OD，则O为AC1的中点，
因为O，D分别是AC1，AB的中点，
∴OD∥BC1，∵OD 平面A1DC，BC1 平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC；
(2)由(1)得：OD∥BC1，
∴∠DOC(或其补角)就是异面直线BC1与A1C所成的角，
∵三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1＝2，
∴OC＝，CD＝，BC1＝＝＝2，
∴OD＝BC1＝，
由余弦定理得：cos∠DOC＝＝＝，
故异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为.
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第六章 立体几何初步
§4 平行关系
4.2 平面与平面平行
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面平行的位置关系．
2．掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平行的位置关系. 通过本节的学习，培养学生学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力的素养.
必备知识 探新知
知识点1 平面与平面平行的性质定理
文字叙述：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条交线平行．
符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
图形表示(如图所示)．
作用：证明两直线平行．
相交
知识点2 平面与平面平行的判定定理
文字叙述：如果一个平面内的两条____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
符号表示：
a α，b α，a∩b＝A，a∥β，b∥β α∥β.
图形表示(如图所示)．
作用：证明平面与平面平行．
相交直线
关键能力 攻重难
●题型一 面面平行的性质定理的应用
1．如图，已知平面α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
【解析】 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.
[归纳提升]
归纳提升：
1．应用平面与平面平行性质定理的步骤
2．关于平行平面分线段
类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理．
〉对点训练1
如图，已知α∥β，点P是平面，α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝ 3 cm，求PD的长；
(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．
【解析】 (1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，
(3)同(1)得AC∥BD，
所以△PAC∽△PBD.
●题型二 面面平行的判定定理的应用
2．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．
求证：平面MNQ∥平面PBC．
【证明】 因为四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，
点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
所以N是AC的中点，
所以MN∥PC，
又因为PC 平面PBC，MN 平面PBC，
所以MN∥平面PBC．
因为M，Q分别是PA，PD的中点，
所以MQ∥AD∥BC，
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC．
因为MQ 平面MNQ，MN 平面MNQ，
MQ∩MN＝M，所以平面MNQ∥平面PBC．
[归纳提升]
归纳提升：
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
〉对点训练2
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．
求证：平面A1EB∥平面ADC1.
【证明】 由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D 平面ADC1，EB 平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
如图，连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，
又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1，
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，且A1E∩EB＝E，
得平面A1EB∥平面ADC1.
●题型三 面面平行性质定理与判定定理的综合应用
3．如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
【证明】 如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，
连接MP，PN，BE，ED，AC．
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC．
则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC．因为α∥β，所以AC∥DE.
又因为P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE.
因为PN 平面α，DE 平面α，所以PN∥平面α.
又因为M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE.又因为MP 平面α，BE 平面α，
所以MP∥α.因为MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥平面α.
又因为MN 平面MPN，所以MN∥平面α.
[归纳提升]
归纳提升：
空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
〉对点训练3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
【解析】 (1)证明：如图所示．
连接AC，CD1，因为P，Q分别是AD1，AC的中点，
所以PQ∥CD1，
又因为PQ 平面DCC1D1，CD1 平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，B1D1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，因为FE1∩E1E＝E1，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又因为EF 平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
课堂检测 固双基
1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
【答案】 C
【解析】 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多．
2．下列结论中，错误的是( )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
【答案】 A
【解析】 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.
3．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l α，m β，则“α∥β”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 ①若α∥β，且l α，m β，l，m可能平行，
可能异面，故“α∥β”是“l∥m”的不充分条件；②若l∥m，α，β可能平行，可能相交．故则“α∥β”是“l∥m”的既不充分也不必要条件．故选D.
4．已知异面直线l、m，且l∥平面α，m 平面α，l 平面β，α∩β＝n，则直线m、n的位置关系是__________.
【答案】 相交
【解析】 由于l∥平面α，l 平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l、m异面，则直线m、n相交．
5．如图所示，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
【证明】 ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．
