(共26张PPT)
第六章 立体几何初步
章末梳理
知识结构 理脉络
考点整合 提技能
●题型一 空间几何体的结构特征、直观图
1.(1)下列说法正确的是( )
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
【解析】 (1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，这些面所围成的几何体叫棱柱，故A错误；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，故B正确，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱延长不相交于一点，则不是棱台，故C错误，D错误．
[归纳提升]
归纳提升：
1．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．
2．解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
3．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
●题型二 空间几何体的表面积与体积
2.如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
【解析】 由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面，
S半球＝8π(cm2)，S圆台侧＝35π(cm2)，S圆台底＝25π(cm2)，
故所求几何体的表面积为68π cm2.
[归纳提升]
归纳提升：
1．空间几何体的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
2．空间几何体体积问题常见类型
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
●题型三 空间中的平行关系
3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥ PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：
如图连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
[归纳提升]
归纳提升：
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
●题型四 空间中的垂直关系
4.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BF 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
[归纳提升]
归纳提升：
垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
●题型五 空间中的角的求法
5.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥ PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
(2)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，所以PD⊥平面PBC．
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC．
[归纳提升]
归纳提升：
1．空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．
2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
4．常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．
总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．综合检测题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )
A．64π cm2 B．36π cm2
C．64π cm2或36π cm2 D．48π cm2
【答案】 C
【解析】 分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确．
2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
【答案】 B
【解析】 由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
【答案】 D
【解析】 连接DC1，可知MN是△C1DB的中位线，所以MN∥BD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行．
4．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH(或其补角)为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝＝，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝，∴cos ∠AFH＝.
5．(2024·全国高考甲卷文)设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β＝m.下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β，则m∥n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是( )
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
【答案】 A
【解析】 对①，当n α，因为m∥n，m β，则n∥β，当n β，因为m∥n，m α，则n∥α，当n既不在α也不在β内，因为m∥n，m α，m β，则n∥α且n∥β，故①正确；对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t，因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β，因为s 平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；对④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误；综上只有①③正确．故选A．
6．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字．通高24 cm，口长13.5 cm，口宽12 cm，底长12.5 cm，底宽10.5 cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8 cm，下部分看作台体，则该文物的体积约为(参考数据：≈11.5，≈12.7)( )
A．2 774.9 cm3 B．871.3 cm3
C．1 735.3 cm3 D．7 460.8 cm3
【答案】 A
【解析】 因为V台＝(S上＋S下＋)h
＝(162＋131.25＋)×16＝2 342.9 cm3，
V锥＝Sh＝×162×8＝432 cm3，所以V＝V台＋V锥＝2 774.9 cm3.故选A．
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A． B．16π
C．9π D．
【答案】 A
【解析】 如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O′.∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，∴AO′＝.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A．
8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】 C
【解析】 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9．下列命题为真命题的是( )
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
【答案】 BD
【解析】 A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b α，c α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD.
10．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是( )
A．l＝r1＋r2 B．R＝
C．＝ D．的最大值为
【答案】 ABC
【解析】 由切线长定理易得l＝r1＋r2，A正确；由勾股定理知(2R)2＝(r1＋r2)2－(r1－r2)2＝4r1r2，解得R＝，B正确；因为＝＝＝，＝＝＝，所以＝，C正确；因为＝＝≤，当且仅当r1＝r2时，等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D错误．故选ABC．
11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【答案】 BC
【解析】 取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A选项错误；∵A1G∥D1F，A1G 平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．故选BC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为__________厘米．
【答案】 12
【解析】 V＝Sh＝πr2h＝πR3，R＝＝12(厘米)．
13．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b α，a⊥b，则α⊥β；②若a α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是__________.
【答案】 ②④
【解析】 对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．
14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，则PA＝__________，PA与平面PBC所成角的正弦值为__________.
【答案】 2
【解析】 如图所示，连接AC，过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴PC⊥AH，PC⊥AC，
又PC∩BC＝C，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，
又AH⊥BC，∴H为BC中点，AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
【解析】 不会溢出杯子．理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．因为V半球16．(本小题满分15分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
【证明】 (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB.
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，
所以AB⊥平面AB1C．
又因为AB 平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.
17．(本小题满分15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC＝45°，AC＝.
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)若PD＝2，BD＝2，求四棱锥E－ABCD的体积．
【解析】 (1)证明：设AC∩BD＝F，连接EF.
∵PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PD⊥CD.
∵CD⊥PA，PA∩PD＝P，
∴CD⊥平面PAD.
∵AD 平面PAD，
∴CD⊥AD.
∵∠DAC＝45°，∴DA＝DC．
∵DB平分∠ADC，∴F为AC的中点．
∵E为PC的中点，∴EF为△CPA的中位线，∴EF∥PA．
又EF 平面BDE，PA 平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)由(1)知DB⊥AC，将底面四边形ABCD的面积记为S，则S＝S△ADC＋S△ABC＝××＋××＝2.
∵点E为线段PC的中点，
∴V四棱锥E－ABCD＝S×PD＝×2××2＝.
18．(本小题满分17分)在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC．
(1)求证：BD⊥平面SAC；
(2)求二面角E－BD－C的大小．
【解析】 (1)证明：如图，
∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，
∴BE⊥SC．又DE∩BE＝E，
根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，
∵BD 平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，∴SA⊥BD.
又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC．
(2)由(1)知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC．
在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，
设SA＝AB＝1，则SB＝.
由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，
∴BC⊥平面SAB，SB 平面SAB，∴BC⊥SB.
在Rt△SBC中，SB＝BC＝，∠SBC＝90°，则SC＝2.
在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.
∴cos ∠ASC＝＝，
∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
19．(本小题满分17分)已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为
1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：平面AEC⊥平面BDE；
(2)求点F到平面ABE的距离．
【解析】 (1)证明：∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE 平面EDAF.
平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，∴DE⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴DE⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵DE、BD 平面BDE，DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE，
∵AC 平面ACE，∴平面AEC⊥平面BDE.
(2)过点F作FG⊥AE于点G，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
AB 平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF，又FG 平面ADEF，所以AB⊥FG，
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以FG⊥平面ABE，
所以线段FG的长即为点F到平面ABE的距离，
AF＝1，AE＝，
S△AEF＝×1×1＝，S△ABE＝×1×＝，
由VB－AEF＝VF－ABE，得S△ABE·FG＝S△AEF·AB，即FG＝，
所以FG＝，
即点F到平面ABE的距离为.
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