第六章 §6 6.3
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为( )
A．8∶27 B．2∶3
C．4∶9 D．2∶9
【答案】 C
【解析】 设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝.则两个球的表面积之比为＝2＝.
2．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )
A．6∶5 B．5∶4
C．4∶3 D．3∶2
【答案】 D
【解析】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6πR2∶4πR2＝3∶2.
3．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为( )
A．27π B．π
C．36π D．π
【答案】 A
【解析】 S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3，∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π.
4．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
【答案】 B
【解析】 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，图略．在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
5．球面上四点P，A，B，C，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为( )
A．2πa2 B．3πa2
C．4πa2 D．6πa2
【答案】 B
【解析】 可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．∴有a＝2R，∴R＝a，∴S＝4πR2＝3πa2.
二、填空题
6．一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为__________.
【答案】
【解析】 由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.
7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为__________.
【答案】 2πa2
【解析】 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径r＝a，则表面积为4πr2＝4π×2＝2πa2.
8．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为__________.
【答案】 π
【解析】 本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.
三、解答题
9．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
【解析】 (1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，
由△OCD∽△ACO1得＝.
∴＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．把一个铁制的底面半径为4，侧面积为π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为( )
A．16π B．12π
C．24π D．9π
【答案】 A
【解析】 设实心圆柱的高为h，因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为2π×4×h＝π，解得h＝，则圆柱的体积为V＝π×42×＝π，设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝2，因此，该铁球的表面积为4πR2＝4π×22＝16π.故选A．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
【答案】 A
【解析】 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．
3．如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为( )
A．7π cm2
B．8π cm2
C．9π cm2
D．11π cm2
【答案】 C
【解析】 由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2 cm，圆柱的高为3 cm，故圆柱一个底面的面积为π×2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为×4×π×2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．
4．(多选)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则对半球的说法正确的是( )
A．半径是3 B．体积为18π
C．表面积为27π D．表面积为18π
【答案】 ABC
【解析】 设球的半径为R，则××(2R)2×R＝18，解得R＝3，故半球的体积为×π×33＝18π.半球的表面积为S＝×4π×32＋π×32＝27π.故选ABC．
二、填空题
5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________.
【答案】
【解析】 本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．
依据题意画出示意图：
设球半径R，圆锥底面半径r，则
πr2＝·4πR2，
即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.
所以，高的比为.
6．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________，该三棱锥的体积的最大值为__________.
【答案】 5π
【解析】 因为在三棱锥A－BCD中AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以AC＝＝，
取AC中点O，连接OB，OD，
则OA＝OB＝OC＝OD＝，
所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，球半径r＝，所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积S＝4πr2＝4×π×＝5π.
当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥A－BCD的体积最大，设D到平面ABC的距离为h，
则×AD×DC＝×AC×h，
解得h＝＝＝.
所以该三棱锥的体积最大值为：
V＝×S△ABC×h＝××AB×BC×h
＝××1×2×＝.
三、解答题
7．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．
【解析】 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，
∴R＝a，r＝a，
∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，
S3＝6π2＝6π·a2＝a2，
∴S2又6a2>3a2＝a2，即S1>S3.
∴S1，S2，S3的大小关系是S28．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
【解析】 如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.在Rt△AOB中，
AB＝1，BO＝×＝，
所以AO＝＝.
设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝－R，O1B＝R，BO＝，
在Rt△O1OB中，O1B2＝OB2＋OO，
即R2＝2＋2，解得R＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝.
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第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.3 球的表面积和体积
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解球的体积、表面积的推导过程．
2．能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题．
3．能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何体问题. 通过本节的学习，培养学生借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化；利用图形描述、分析数学问题的素养.
必备知识 探新知
知识点1 与球有关的概念
概念 解释
大圆 球面被经过________的平面截得的圆称为球的大圆
小圆 球面被不经过________的平面截得的圆称为球的小圆
直线与球相切 直线与球有唯一________时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．
过球外一点的所有切线的切线长都________.
球心
球心
交点
相等
知识点2 球的表面积、体积公式
关键能力 攻重难
●题型一 球的表面积
1.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，试求球的表面积．
【分析】 求球的表面积或体积只需要求出球的半径，要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
【解析】 ①当球心在两个截面同侧时，如图，设OD＝x，由题意知π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．
设球半径为R，则依题意，得
(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.
∴R＝25，故S球＝4πR2＝2 500π(cm2)．
②当球心在两个截面之间时，如图．
设OD＝xcm，则OC＝(9－x)cm，
由题意得π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20 cm.
设球半径为R，则依题意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，故此情况不可能．
综上可知，所求球的表面积为2 500π cm2.
[归纳提升]
归纳提升：
常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积．轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件．
〉对点训练1
三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍
【答案】 C
●题型二 球的体积
2.一种空心钢球的质量为142 g，外径是5.0 cm，求它的内径(钢的密度是7.9 g/cm3)．
【解析】 设空心钢球的内径为2x cm，那么钢球质量为
由计算器得x≈2.24，∴2x≈4.5(cm)．
∴空心钢球的内径约为4.5 cm.
[归纳提升]
归纳提升：
计算球的体积或体积的简单应用，都需要认真解决半径问题．
〉对点训练2
一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面距离为4 cm，则球的体积为__________cm3.
【解析】 如图所示，由已知：O1A＝3，OO1＝4，
●题型三 球的组合体
【分析】 要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
【解析】 ∵底面是正六边形，周长为3，
[归纳提升]
归纳提升：
与球有关的组合体问题，通常有两种情况：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．
〉对点训练3
设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
【答案】 B
●题型四 几何直观与空间想象能力——切与接
常见的切与接问题：
1．球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．
2．多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．
3．球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．
4.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
【分析】 有关球的内切和外接问题，作出轴截面研究．
【解析】 设正方体的棱长为a，这三个球的半径分别为r1，r2，r3，球的表面积分别为S1，S2，S3.作出截面图，分别求出三个球的半径．
[归纳提升]
归纳提升：
常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
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1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为( )
A．2π B．4π
C．8π D．16π
【答案】 B
【解析】 ∵球的直径为2，∴球的半径为1，∴球的表面积S＝4πR2＝4π.
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
【答案】 C
4．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_______倍，表面积变为原来的__________倍．
【答案】 8 4
5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
