第六章 §6 6.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为( )
A．a∶b B．b∶a
C．a3∶b3 D．b3∶a3
【答案】 B
【解析】 以a为轴的几何体的体积为，以b为轴的几何体的体积为，∴体积比为b∶a.
2．圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是( )
A． B．2π
C．4π D．6π
【答案】 A
【解析】 V圆锥＝×π×12×2＝.
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( )
A．18＋6 B．6＋2
C．24 D．18
【答案】 B
【解析】 V棱台＝×3×(2＋4＋)＝6＋2.
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A．3 B．
C．1 D．
【答案】 C
【解析】 本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．由条件知底面B1DC1的面积为侧面B1BCC1面积的一半，即为，而高为底面等边三角形的高，为，∴VA－B1DC1＝××＝1.
5．(2024·全国高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
【答案】 B
【解析】 设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×即2＝，
故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B.
6．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1∶V2＝( )
A．7∶5 B．6∶5
C．8∶3 D．4∶3
【答案】 A
【解析】 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，
所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.所以V1∶V2＝7∶5.
二、填空题
7．正方体的棱长都增加1 cm，它的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长是__________cm.
【答案】 1
【解析】 设正方体的棱长为x cm，则(x＋1)3＝8x3，解得x＝1.
8．(2024·全国高考甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为__________.
【答案】
【解析】 由题可得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r1－r2)，
h乙＝＝2(r1－r2)，
所以＝＝＝＝.
9．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__________.
【答案】
【解析】 如图所示，则母线PA＝2，设圆锥底面半径为r，则有2πr＝×2π×2，则r＝1，则圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积是×12×＝.
三、解答题
10．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积．
【解析】 (1)证明：连接OC，
∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，
∴QB⊥平面SOC．
∵OH 平面SOC，∴QB⊥OH.
又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.
(2)连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，∴AB＝＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2.
∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B.
2．三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( )
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2
C．1∶2∶4 D．1∶4∶4
【答案】 C
【解析】 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh，
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－＝Sh.
∴体积比为1∶2∶4.∴应选C．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
【答案】 B
【解析】 设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，解得r＝，所以米堆的体积为×π×2×5≈，故堆放的米约为÷1.62≈22(斛)，故选B.
4．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．异面直线B1C与A1C1所成角为45°
C．三棱锥P－A1DC1的体积为定值
D．平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1
【答案】 ACD
【解析】 如图，连接B1D1，易知A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，则A1C1⊥BD1，同理DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
∵A1B1∥CD，且A1B1＝CD，∴四边形DA1B1C为平行四边形，
则B1C∥A1D，则∠DA1C1为异面直线B1C与A1C1所成角，为60°，故B错误；
∵B1C∥A1D，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，
∴B1C∥平面A1C1D.
可得P到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥P－A1DC1的体积为定值，故C正确；
∵A1C1∥平面ABCD，A1C1 平面A1C1D，
由直线与平面平行的性质可得，平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1，故D正确．
二、填空题
5．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是__________.
【答案】 10
【解析】 设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
∴VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10.
6．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.
【答案】 0.6
【解析】 因为圆锥形铅锤的体积为×π×2×20＝60π(cm3)，
设水面下降的高度为xcm，则这部分水的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)．
所以有60π＝100πx，
解此方程得x＝0.6.
三、解答题
7．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积．
【解析】 如图所示，在四棱锥V－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为，可得OC＝1.
设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心．
∴O1M＝OC＝，O1O＝VO.
∵VO＝＝2，∴O1O＝1.
可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×2×1＝.
8．如图，已知四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，O、M分别是CD、PC的中点，PO⊥底面ABCD，且PO＝OD＝DA＝AB＝BC．
(1)证明：PA∥平面OBM；
(2)若PO＝1，求三棱锥M－PAB的体积．
【解析】 (1)证明：连接AC交BO于点N，连接MN，OA．
∵AB∥CD，OC＝OD＝AB，∴四边形ABCO为平行四边形，∴N是CA的中点；
∵△CAP中，M是CP的中点，∴MN∥PA；∵PA 平面OBM，MN 平面OBM，
∴PA∥平面OBM.
(2)连接MA，AC，
由△OBC中，OB＝AD＝BC＝CO＝1，
得∠BCO＝60°，∴∠ABC＝120°，
∴△ABC的面积S△ABC＝BA·BC·sin∠ABC＝；
又PO⊥平面ABCD，PO＝1，
∴三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝×S△ABC×1＝××1＝；
∵M是PC的中点，
∴VM－ABC＝VP－ABC＝，
∴VM－PAB＝VP－MAB＝VP－ABC－VM－ABC＝－＝.
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第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.2 柱、锥、台的体积
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．掌握柱、锥、台的体积计算公式．
2．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积. 通过本节的学习，培养学生借助空间形式认识事物的位置关系，利用图形描述、分析数学问题，培养转化与化归与空间想象等素养.
必备知识 探新知
知识点 柱、锥、台的体积公式
1．棱柱和圆柱的体积
棱柱和圆柱的体积的计算公式：V柱体＝________.其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
特别地，V圆柱＝πr2h(r是圆柱的底面半径，h是圆柱的高)．
2．棱锥和圆锥的体积
棱锥和圆锥的体积的计算公式：V锥体＝__________.其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
Sh
3．棱台和圆台的体积
棱台和圆台的体积的计算公式：
V台体＝________________________.S上，S下分别为棱台的上、下底
面面积，h为棱台的高．特别地，V圆台＝______________________(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．
关键能力 攻重难
●题型一 圆柱、圆锥、圆台的体积
(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π
B．6π
C．20π
D．10π
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是__________.
【解析】 (1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
(3)设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，
∴l＝2，
[归纳提升]
归纳提升：
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．一些不规则几何体体积可以利用割补法．
〉对点训练1
(1)已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为( )
(2)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是__________.
【答案】 (1)B (2)12π
●题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
2.(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( )
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
【分析】 利用体积公式计算求解．
【答案】 (1)D (2)见解析
(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．
〉对点训练2
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为__________.
●题型三 柱、锥、台体积的实际应用
3.如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．
(1)求出此圆锥的侧面积；
(2)用x表示此圆柱的侧面积表达式；
(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
所以圆柱的侧面积为
S圆柱侧＝2πrx＝2π(2－x)x＝－2πx2＋4πx(0＜x＜2)．
(3)S圆柱侧＝－2πx2＋4πx＝2π[－(x－1)2＋1]，0＜x＜2；
当x＝1时，S圆柱侧取得最大值为2π，此时r＝1，圆柱的体积为
V圆柱＝πr2x＝π·12·1＝π.
[归纳提升]
归纳提升：
求与最值有关的体积和表面积，要将体积或表面积表示成相关量的函数，利用函数的最值确定取值，进而求最值.
〉对点训练3
如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是__________cm3.
课堂检测 固双基
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
C．16 D．96
【答案】 B
【解析】 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64.
2．将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )
【答案】 B
3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为__________.
4．已知圆台的母线长为13 cm，两底面面积分别为4π cm2和49π cm2，则该圆台的体积为__________.
【答案】 268π cm3
【解析】 如图所示，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，
由上、下底面面积分别为4π cm2,49π cm2得，
上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝7 cm，
又因为腰长为13 cm，
5．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积．
【解析】 ∵VM是棱锥的高，
∴VM⊥MC．
在Rt△VMC中，
∴AC＝2MC＝6(cm)．
在Rt△ABC中，
