北师大版（2024）数学七下第三章 概率初步 单元测试A卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024九上·增城期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．负数大于正数
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．通常加热到时，水沸腾
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，符合题意；
B为不可能事件，不符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为必然事件，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据事件的可能性大小逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025九下·深圳开学考）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率
根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据可知：随机投放一个点落在“心形线”内部的频率稳定在0.50左右
随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为0.50
故答案为：B.
【分析】根据随机投放一个点落在“心形线”内部的频率稳定在0.50左右，则随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为0.50。
3．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（ ）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，
∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 .
故答案为：B.
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.
4．（2025九上·镇海区期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵分别是矩形的两边上的点，，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，
∴，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：C．
【分析】根据阴影部分面积是矩形面积的一半解题即可．
5．（2024九上·顺德期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为，
故答案为：A．
【分析】由树状图得到所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，然后根据概率公式计算解题
6．（2025九下·佛山模拟）甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在的范围内取整数可以为，，，，，
∴甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，共有种结果，
其中的情况有：，，，，，，，，，，共10种，
∴满足的概率为，
故答案为：B．
【分析】由题意可得共有种结果，再求出的情况，最后再由概率公式计算即可求出答案.
7．（2023九上·鼓楼期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下，
∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意；
、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意；
、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据折线统计图可得实验的频率稳定在和之间，即可得到概率逐项判断解题．
8．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 550 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中错误的是（ )
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68
D．如果转动转盘3 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、∵转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，∴A不正确，符合题意；
B、∵大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，∴B正确，不符合题意；
C、∵由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，∴C正确，不符合题意；
D、∵指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据表格中数据并利用频率的定义逐项分析判断即可.
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023七下·文山期末）“任意打开七年级数学课本，正好是第35页”，这个事件是 事件．（填“随机”或“必然”）
【答案】随机
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】任意打开七年级数学课本，可能翻到11页，28页，35页，49页等等，所以正好是第35页是随机事件。
故填：随机
【分析】结果已经预先知道，是事件发生的必然性；随机性，结果至少有2个，是哪一个事先并不知道。
10．（2025九上·钱塘期末）某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为，
故答案为：．
【分析】利用概率公式计算解题．
11．（2025九上·江北期末）某学习小组做＂用频率估计概率＂的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色，蓝色小球共 60 个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制＂摸出球为红色＂的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为 个．
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为
所以袋中红色球的个数为 (个)。
故答案为： 20.
【分析】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，再乘以球的总个数即可.
12．（2024九上·南山期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约 条．
【答案】1000
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得：，
解得，
经检验，为原方程的解，
所以估计鱼塘中约有1000条鱼，
故答案为：1000．
【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，解方程即可求出答案.
13．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题14分，共61分）
14． 请举出一些事件，它们发生的概率都是
【答案】解：事件1：一个袋子中装有3个白球和1个红球，这些球除颜色外完全相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到白球的概率为．
事件2：在标有数字1，2，3，4的四张卡片中任意抽取一张，则抽到的卡片上的数字是质数的概率为．(答案不唯一)
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】根据等可能事件的概率结合题意写出事件，进而即可求解。
15． 如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”。小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格(图中黑框所围区域，设为A区域)中埋藏着3颗“地雷”。为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上
【答案】解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为，
在A区域外点击的话，点击到地雷的概率为 ，
∵ =＞ ，
∴为了尽可能不踩中地雷，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】根据等可能事件的概率结合题意得到在A区域点击的话，点击到地雷的概率为，在A区域外点击的话，点击到地雷的概率为 ，进而比较大小，从而即可求解。
16． 小明所在的班有40名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作。请你设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同。
【答案】解：在一个盒子中放入40个大小、质地完全一样的乒乓球，其中有1个是黄色的，其余均是白色的，然后每位同学随机从其中拿出一个，则拿到黄色乒乓球的同学为家长会做准备，则每人被选中的概率均为
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】根据等可能事件的概率结合题意用摸球游戏进行设计，进而即可求解。
17．
（1）一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少
摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P(摸到红球) 。
红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码， 1号球(红色)、2号球(红色)、3号球(白色)、4号球(白色)、5号球( 白色)，摸出每一个球的可能性相同，共有5种等可能的结果。摸到红球可能出现的结果为摸出1号球或2号球，共有2种等可能的结果。所以，P(摸到红球) 。
你认为小明和小颖谁说的有道理
（2）小明和小颖一起做游戏。在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗 在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的 与同伴进行交流。
【答案】（1）解：我认为小颖的说法有道理，因为如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；
（2）解：不公平，
∵摸到红球的概率为：；摸到白球的概率为：，
∴，游戏对双方不公平.
在一个双人游戏中，判断游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即双方取胜的概率是否相等.
【知识点】游戏公平性；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据等可能事件的概率结合题意即可求解；
（2）根据题意求出摸到红球的概率为：；摸到白球的概率为：，进而即可判断游戏的公平性。
18．（2025九下·中山开学考）九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人．
（1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是 ；
（2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的情况，其中选中结果中包含甲同学的有6种，
∴甲同学被选中的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：从4名同学中任选1人，则甲同学被选中的概率是，
故答案为：；
【分析】本题考查简单的概率计算、画树状图法或列表法求概率，正确画树状图得到所有等可能的结果数是解答的关键．
（1）解：从甲、乙、丙、丁4名同学中任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的情况，分别为甲乙、甲丙、甲丁、乙甲、乙丙、乙丁、丙甲、丙乙、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙，其中甲同学被选中的结果有6种，
∴甲同学被选中的概率为．
19．（2025九下·东莞开学考）2024年2月27日，第31届中国兰花博览会在云南省维西傈僳族自治县开幕.开幕式当天，数千盆或端庄俊秀、或淡雅高洁的珍品兰花竞相绽放，吸引了不少市民及兰花爱好者前来赏兰、品兰、购兰，小智和小刚二人都想去这次博览会开开眼界，但只有一张门票，所以二人决定通过抽卡游戏确定谁去参会.在一个不透明的盒子中装四张完全相同的卡片，把它们分别标号为1，2，3，4.小智先随机取出一张卡片记录下号码后不放回，小刚再随机取出一张卡片记录下号码，然后比较两人各自记录下的号码，谁的号码大就由谁去参会.
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两人取卡的所有可能出现的结果总数；
（2）请通过计算判断这个游戏是否公平，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意列表如下：
小刚 小智 1 2 3 4
1
2
3
4
如表所示，两人取卡共12种等可能出现的结果
（2）解：由（1）中表可知，共有12种等可能的结果，其中小智的号码大于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，
∴概率；
同理，小智的号码小于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，∴概率；
∵，∴这个游戏是公平的
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）列出表格，即可求出所有等可能的结果，
（2）求出小智的号码大于小刚的号码的结果，小智的号码小于小刚的号码的结果，求出对应概率，再比较大小即可求出答案.
20．（2022·济宁模拟）2021年12月9日，“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：；B组：；C组：；D组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，表示“C”的扇形圆心角的度数是 ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若规定学生竞赛成绩为优秀，则估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是 ．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（）的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？
【答案】（1）144°
（2）解：在（1）中已求得A组人数6人，D组人数为12人，
则频数分布直方图如下：
（3）480（人）
（4）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)参加竞赛总人数为：18÷30%=60（人），
A组人数为：60×10%=6（人），
则D组人数为：60-18-24-6=12（人），
即扇形统计图中C组的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：；
(3)估计全校竞赛成绩达到优秀的人数为：（人），
即全校估计达到优秀的人数为480（人），
故答案为：480（人）；
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用“C”的人数除以总人数并乘以360°可得答案；
（2）利用总人数求出“A”和“D”的人数并作出条形统计图即可；
（3）先求出“成绩”的百分比，再乘以800可得答案；
（4）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
1 / 1北师大版（2024）数学七下第三章 概率初步 单元测试A卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024九上·增城期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．负数大于正数
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．通常加热到时，水沸腾
2．（2025九下·深圳开学考）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率
根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（ ）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
4．（2025九上·镇海区期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·顺德期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·佛山模拟）甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·鼓楼期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
8．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 550 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中错误的是（ )
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68
D．如果转动转盘3 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023七下·文山期末）“任意打开七年级数学课本，正好是第35页”，这个事件是 事件．（填“随机”或“必然”）
10．（2025九上·钱塘期末）某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为 ．
11．（2025九上·江北期末）某学习小组做＂用频率估计概率＂的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色，蓝色小球共 60 个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制＂摸出球为红色＂的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为 个．
12．（2024九上·南山期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约 条．
13．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题14分，共61分）
14． 请举出一些事件，它们发生的概率都是
15． 如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”。小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格(图中黑框所围区域，设为A区域)中埋藏着3颗“地雷”。为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上
16． 小明所在的班有40名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作。请你设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同。
17．
（1）一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少
摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P(摸到红球) 。
红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码， 1号球(红色)、2号球(红色)、3号球(白色)、4号球(白色)、5号球( 白色)，摸出每一个球的可能性相同，共有5种等可能的结果。摸到红球可能出现的结果为摸出1号球或2号球，共有2种等可能的结果。所以，P(摸到红球) 。
你认为小明和小颖谁说的有道理
（2）小明和小颖一起做游戏。在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗 在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的 与同伴进行交流。
18．（2025九下·中山开学考）九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人．
（1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是 ；
（2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中的概率．
19．（2025九下·东莞开学考）2024年2月27日，第31届中国兰花博览会在云南省维西傈僳族自治县开幕.开幕式当天，数千盆或端庄俊秀、或淡雅高洁的珍品兰花竞相绽放，吸引了不少市民及兰花爱好者前来赏兰、品兰、购兰，小智和小刚二人都想去这次博览会开开眼界，但只有一张门票，所以二人决定通过抽卡游戏确定谁去参会.在一个不透明的盒子中装四张完全相同的卡片，把它们分别标号为1，2，3，4.小智先随机取出一张卡片记录下号码后不放回，小刚再随机取出一张卡片记录下号码，然后比较两人各自记录下的号码，谁的号码大就由谁去参会.
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两人取卡的所有可能出现的结果总数；
（2）请通过计算判断这个游戏是否公平，并说明理由.
20．（2022·济宁模拟）2021年12月9日，“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：；B组：；C组：；D组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，表示“C”的扇形圆心角的度数是 ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若规定学生竞赛成绩为优秀，则估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是 ．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（）的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，符合题意；
B为不可能事件，不符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为必然事件，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据事件的可能性大小逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据可知：随机投放一个点落在“心形线”内部的频率稳定在0.50左右
随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为0.50
故答案为：B.
【分析】根据随机投放一个点落在“心形线”内部的频率稳定在0.50左右，则随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为0.50。
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，
∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 .
故答案为：B.
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.
4．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵分别是矩形的两边上的点，，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，
∴，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：C．
【分析】根据阴影部分面积是矩形面积的一半解题即可．
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为，
故答案为：A．
【分析】由树状图得到所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，然后根据概率公式计算解题
6．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在的范围内取整数可以为，，，，，
∴甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，共有种结果，
其中的情况有：，，，，，，，，，，共10种，
∴满足的概率为，
故答案为：B．
【分析】由题意可得共有种结果，再求出的情况，最后再由概率公式计算即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下，
∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意；
、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意；
、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据折线统计图可得实验的频率稳定在和之间，即可得到概率逐项判断解题．
8．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、∵转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，∴A不正确，符合题意；
B、∵大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，∴B正确，不符合题意；
C、∵由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，∴C正确，不符合题意；
D、∵指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据表格中数据并利用频率的定义逐项分析判断即可.
9．【答案】随机
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】任意打开七年级数学课本，可能翻到11页，28页，35页，49页等等，所以正好是第35页是随机事件。
故填：随机
【分析】结果已经预先知道，是事件发生的必然性；随机性，结果至少有2个，是哪一个事先并不知道。
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为，
故答案为：．
【分析】利用概率公式计算解题．
11．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为
所以袋中红色球的个数为 (个)。
故答案为： 20.
【分析】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，再乘以球的总个数即可.
12．【答案】1000
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得：，
解得，
经检验，为原方程的解，
所以估计鱼塘中约有1000条鱼，
故答案为：1000．
【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
14．【答案】解：事件1：一个袋子中装有3个白球和1个红球，这些球除颜色外完全相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到白球的概率为．
事件2：在标有数字1，2，3，4的四张卡片中任意抽取一张，则抽到的卡片上的数字是质数的概率为．(答案不唯一)
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】根据等可能事件的概率结合题意写出事件，进而即可求解。
15．【答案】解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为，
在A区域外点击的话，点击到地雷的概率为 ，
∵ =＞ ，
∴为了尽可能不踩中地雷，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】根据等可能事件的概率结合题意得到在A区域点击的话，点击到地雷的概率为，在A区域外点击的话，点击到地雷的概率为 ，进而比较大小，从而即可求解。
16．【答案】解：在一个盒子中放入40个大小、质地完全一样的乒乓球，其中有1个是黄色的，其余均是白色的，然后每位同学随机从其中拿出一个，则拿到黄色乒乓球的同学为家长会做准备，则每人被选中的概率均为
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】根据等可能事件的概率结合题意用摸球游戏进行设计，进而即可求解。
17．【答案】（1）解：我认为小颖的说法有道理，因为如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；
（2）解：不公平，
∵摸到红球的概率为：；摸到白球的概率为：，
∴，游戏对双方不公平.
在一个双人游戏中，判断游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即双方取胜的概率是否相等.
【知识点】游戏公平性；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据等可能事件的概率结合题意即可求解；
（2）根据题意求出摸到红球的概率为：；摸到白球的概率为：，进而即可判断游戏的公平性。
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的情况，其中选中结果中包含甲同学的有6种，
∴甲同学被选中的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：从4名同学中任选1人，则甲同学被选中的概率是，
故答案为：；
【分析】本题考查简单的概率计算、画树状图法或列表法求概率，正确画树状图得到所有等可能的结果数是解答的关键．
（1）解：从甲、乙、丙、丁4名同学中任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的情况，分别为甲乙、甲丙、甲丁、乙甲、乙丙、乙丁、丙甲、丙乙、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙，其中甲同学被选中的结果有6种，
∴甲同学被选中的概率为．
19．【答案】（1）解：由题意列表如下：
小刚 小智 1 2 3 4
1
2
3
4
如表所示，两人取卡共12种等可能出现的结果
（2）解：由（1）中表可知，共有12种等可能的结果，其中小智的号码大于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，
∴概率；
同理，小智的号码小于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，∴概率；
∵，∴这个游戏是公平的
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）列出表格，即可求出所有等可能的结果，
（2）求出小智的号码大于小刚的号码的结果，小智的号码小于小刚的号码的结果，求出对应概率，再比较大小即可求出答案.
20．【答案】（1）144°
（2）解：在（1）中已求得A组人数6人，D组人数为12人，
则频数分布直方图如下：
（3）480（人）
（4）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)参加竞赛总人数为：18÷30%=60（人），
A组人数为：60×10%=6（人），
则D组人数为：60-18-24-6=12（人），
即扇形统计图中C组的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：；
(3)估计全校竞赛成绩达到优秀的人数为：（人），
即全校估计达到优秀的人数为480（人），
故答案为：480（人）；
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用“C”的人数除以总人数并乘以360°可得答案；
（2）利用总人数求出“A”和“D”的人数并作出条形统计图即可；
（3）先求出“成绩”的百分比，再乘以800可得答案；
（4）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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