北师大版（2024）初中数学七下第四章 三角形 单元测试A卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八上·诸暨期末）一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本三角形的初步知识单元复习课（1）） 如图，△ABC的边BC上的高是( )
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
4．（2023八上·海淀期末）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2024八上·武威期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·高州期末）在中，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·当阳期末）如图，，点C，E，C，F在同一直线上，下列结论中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024八上·望城期末）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·苍南期末）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是 .
10．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本三角形的初步知识单元复习课（1）） 一个三角形的三边为3，5，x，另一个三角形的三边为y，3，6，如果这两个三角形全等，那么x+y= .
11．（2024八上·永吉期末）无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，我国某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有 ．
12．（2023八上·岳麓月考）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是 ．
13．（2024八上·武威期末）如图，，，，则 ．
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题12分，共61分）
14．（2024八上·当阳期末）如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．
15．（2024八上·吉林高新技术产业开发期末）如图，，，求证：．
16．（2024七下·福田期中）作图并证明：如图，请用尺规在线段下方作一点P，使得平分角，且．（保留作图痕迹，不写作法）；连接，求证：平分．
17．（2024八上·永吉期末）如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为．
（1）求证：．
（2）求的长．
18．（2025九下·金华月考）如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
（1）画出△ABC的重心P.
（2）在已知网格中找出所有格点D，使点△BCD与△ABC的面积相等．
19．（2024八上·高州期末）如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件：
①；②；③；④.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
解：我写的真命题是：
已知：____________________________________________；
求证：___________.（注：不能只填序号）
证明如下：
20．（2024七上·吉林期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为．
（1）判断与的数量关系，并证明；
（2）求两次摆动中点B和C的高度差的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长为，
∵一个三角形的两边长分别为和，
∴，即，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”解题即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：依题意，三角形露出的部分为钝角，∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形
故选：A．
【分析】三角形按角可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，当有一个角为钝角时是钝角三角形，当有一个角为直角时是直角三角形，当三个角都为锐角时是锐角三角形。
3．【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解： △ABC的边BC上的高是 CF
故答案为：A
【分析】根据三角形高线的定义逐项分析判断可得答案。
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴只有D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：选项中只有选项A是三角形，故具有稳定性．
故答案为：A．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和列出算式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
∵，
∴，
综上可知，不正确，
故答案为：D
【分析】根据全等三角形性质可得，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在△ABO和△DCO中，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据SAS证明两三角形全等即可解题．
9．【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由题意知
（1）假设3为底边的长度。等腰三角形的两腰相等，设腰的长度为x。
∴2x + 3 = 15，解得x = 6。
∴三边长度为6、6、3，
6+6=12＞3，因此可以构成等腰三角形。
（2）假设3为腰的长度。设底边的长度为y，
∴3 + 3 + y = 15，解得y = 9
∴三边长度为3、3、9，
∵3+3=6＜9，
∴不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此不能构成三角形。
综上所述，等腰三角形的腰长为6。
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。已知等腰三角形的周长和其中一边的长度，但未明确该边是底边还是腰，因此需要分情况讨论。同时，还需要考虑是否能构成三角形，即满足三角形的三边关系。
10．【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：因为两个三角形全等， 所以 x=6，y=5，则 x+y= 11。
故答案为：11
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得 x=6，y=5，则 x+y= 11。
11．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，，
则，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定.根据，的中点为O，利用中点的定值可得：，，再根据对顶角相等可得：，再利用全等三角形的判定方法可得出结论．
13．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据全等三角形性质即可求出答案.
14．【答案】解：∵，
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，根据对顶角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】证明：，
，即：，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
16．【答案】解：如图，作，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点P，则点P即为所求．
证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，以及三角形全等的判定和性质，作，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点P，得到点P，根据SAS，证得，得出，结合角平分线的定义，即可证得结论.
17．【答案】（1）证明：∵，
，
，
在与中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，，再求出CE和CD的值，最后计算求解即可。
（1）证明：∵，
，
，
在与中，
，
∴，
（2）解：∵
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
18．【答案】（1）解：如图所示：根据格点的特点作出AB和AC边的中线，交点即为重心P.
（2）解：取AC中点D，点D即为所求作的点.
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的重心即三角形各边中线的交点，据此画图即可.
（2）根据三角形的面积计算公式，(1)当点△BCD与△ABC的面积相等时，点D为AC的中点，连接AD即可.
19．【答案】解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
求证：AB∥DE．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF，
∴BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF．
∴ AB∥DE.
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
求证：AC=DF．
证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF.在△ABC和△DEF中
∵BE=CF，∴BC=EF.
又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
20．【答案】（1）解：．理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴两次摆动中点B和C的高度差的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直结合题意等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明（AAS）得到；
（2）根据题意得到，再根据三角形全等的性质得到，进而进行线段的运算即可求解。
（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴两次摆动中点B和C的高度差的长为．
1 / 1北师大版（2024）初中数学七下第四章 三角形 单元测试A卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八上·诸暨期末）一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长为，
∵一个三角形的两边长分别为和，
∴，即，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”解题即可．
2．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：依题意，三角形露出的部分为钝角，∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形
故选：A．
【分析】三角形按角可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，当有一个角为钝角时是钝角三角形，当有一个角为直角时是直角三角形，当三个角都为锐角时是锐角三角形。
3．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本三角形的初步知识单元复习课（1）） 如图，△ABC的边BC上的高是( )
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解： △ABC的边BC上的高是 CF
故答案为：A
【分析】根据三角形高线的定义逐项分析判断可得答案。
4．（2023八上·海淀期末）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴只有D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
5．（2024八上·武威期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：选项中只有选项A是三角形，故具有稳定性．
故答案为：A．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
6．（2024八上·高州期末）在中，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和列出算式求解即可.
7．（2024八上·当阳期末）如图，，点C，E，C，F在同一直线上，下列结论中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
∵，
∴，
综上可知，不正确，
故答案为：D
【分析】根据全等三角形性质可得，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2024八上·望城期末）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在△ABO和△DCO中，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据SAS证明两三角形全等即可解题．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·苍南期末）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是 .
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由题意知
（1）假设3为底边的长度。等腰三角形的两腰相等，设腰的长度为x。
∴2x + 3 = 15，解得x = 6。
∴三边长度为6、6、3，
6+6=12＞3，因此可以构成等腰三角形。
（2）假设3为腰的长度。设底边的长度为y，
∴3 + 3 + y = 15，解得y = 9
∴三边长度为3、3、9，
∵3+3=6＜9，
∴不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此不能构成三角形。
综上所述，等腰三角形的腰长为6。
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。已知等腰三角形的周长和其中一边的长度，但未明确该边是底边还是腰，因此需要分情况讨论。同时，还需要考虑是否能构成三角形，即满足三角形的三边关系。
10．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本三角形的初步知识单元复习课（1）） 一个三角形的三边为3，5，x，另一个三角形的三边为y，3，6，如果这两个三角形全等，那么x+y= .
【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：因为两个三角形全等， 所以 x=6，y=5，则 x+y= 11。
故答案为：11
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得 x=6，y=5，则 x+y= 11。
11．（2024八上·永吉期末）无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，我国某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有 ．
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性的性质求解即可。
12．（2023八上·岳麓月考）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，，
则，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定.根据，的中点为O，利用中点的定值可得：，，再根据对顶角相等可得：，再利用全等三角形的判定方法可得出结论．
13．（2024八上·武威期末）如图，，，，则 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据全等三角形性质即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题12分，共61分）
14．（2024八上·当阳期末）如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，根据对顶角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．（2024八上·吉林高新技术产业开发期末）如图，，，求证：．
【答案】证明：，
，即：，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
16．（2024七下·福田期中）作图并证明：如图，请用尺规在线段下方作一点P，使得平分角，且．（保留作图痕迹，不写作法）；连接，求证：平分．
【答案】解：如图，作，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点P，则点P即为所求．
证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，以及三角形全等的判定和性质，作，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点P，得到点P，根据SAS，证得，得出，结合角平分线的定义，即可证得结论.
17．（2024八上·永吉期末）如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
在与中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，，再求出CE和CD的值，最后计算求解即可。
（1）证明：∵，
，
，
在与中，
，
∴，
（2）解：∵
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
18．（2025九下·金华月考）如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
（1）画出△ABC的重心P.
（2）在已知网格中找出所有格点D，使点△BCD与△ABC的面积相等．
【答案】（1）解：如图所示：根据格点的特点作出AB和AC边的中线，交点即为重心P.
（2）解：取AC中点D，点D即为所求作的点.
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的重心即三角形各边中线的交点，据此画图即可.
（2）根据三角形的面积计算公式，(1)当点△BCD与△ABC的面积相等时，点D为AC的中点，连接AD即可.
19．（2024八上·高州期末）如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件：
①；②；③；④.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
解：我写的真命题是：
已知：____________________________________________；
求证：___________.（注：不能只填序号）
证明如下：
【答案】解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
求证：AB∥DE．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF，
∴BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF．
∴ AB∥DE.
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
求证：AC=DF．
证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF.在△ABC和△DEF中
∵BE=CF，∴BC=EF.
又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
20．（2024七上·吉林期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为．
（1）判断与的数量关系，并证明；
（2）求两次摆动中点B和C的高度差的长．
【答案】（1）解：．理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴两次摆动中点B和C的高度差的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直结合题意等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明（AAS）得到；
（2）根据题意得到，再根据三角形全等的性质得到，进而进行线段的运算即可求解。
（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴两次摆动中点B和C的高度差的长为．
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