北师大版（2024）初中数学七下第四章 三角形 单元测试B卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2021七下·杨浦期中）如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）
A．9厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．2厘米
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系可得：8﹣6＜a＜8+6，
解得：2＜a＜14．
故第三边不可能是2，
故答案为：D．
【分析】设第三边为a，根据三角形三边的关系可得2＜a＜14，再求解即可。
2．（2025七下·浙江月考）若一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（ ）
A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形
C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据 一个三角形的三边长是连续偶数 ，可将三边长可以表示为：（n为偶数）
（1）若三角形为锐角三角形，据此可得：所有内角都小于90°。进而可得：最长边n+2的平方应小于另外两边平方和，即 ，所以
所以，即，解得：
这样的n的偶数有无数个，据此可知这样的锐角三角形有无数个，C和D错误；
（2）若三角形为钝角三角形，据此可得：有一个内角大于90°。进而可得：最长边n+2的平方应大于另外两边平方和，即 ，所以
所以，即，解得：
所以
当时，三角形的三边为：，不满足三角形三边的关系，舍去.
当时，三角形的三边为：，满足三角形三边的关系，故这样的钝角三角形有1个，A正确，B错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角形三边的关系，三角形的分类.：根据 一个三角形的三边长是连续偶数 ，可将三边长可以表示为：（n为偶数），根据锐角三角形的性质可得：最长边n+2的平方应小于另外两边平方和，根据钝角三角形的性质可得：最长边n+2的平方应大于另外两边平方和，据此可列出不等式，，解不等式可求出n的取值范围，据此可确定n的值，确定三角形的个数.
3．（2025八上·丽水期末）如图，，，添加下列哪一个条件可以推证≌（ ）
A． B． C．AC∥DF D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，
，
又，
添加条件，不能判断，故选项A不符合题意；
添加条件，不能判断，故选项B不符合题意；
添加条件，可以得到，不能判断，故选项C不符合题意；
添加条件，可以得到，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题目中的条件，可以得到，，根据三角形全等的条件，可以添加第三边相等或两边夹角相等的条件推证≌，对四个选项逐一判断即可.
4．（2025八上·丽水期末）在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，，
又，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和是，已知三角形的两个内角即可求出第三个内角.
5．（2025八下·余姚开学考）如图，已知，点在边上，与相交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴ BC=EB，故B不符合题意；
∴ ∠A=∠D，
∵ ∠AFE+∠A=∠ABC，
∴ ∠AFE+∠D=90°，故C不符合题意；
∵ ∠A+∠BED=90°，
∴ ∠D+∠BED=90°，
∴ ∠DBE=90°，
∴ ∠C=∠DBE=90°，故D不符合题意；
AF=FD无法证明，故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质可得BC=EB， ∠A=∠D， ∠C=∠DBE，根据∠A+∠BED=90°和三角形的内角和定理，即可求得.
6．（2024七下·深圳期中）如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接，
，
，
∴，
设，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
．
故选：C．
【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，根据，求出，设，求得，进而求得，结合，即可得到答案.
7．（2022八上·石家庄月考）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A． B．4 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①若，则，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若，则，
所以．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可
8．（2021七下·垦利期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②符合题意；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①符合题意；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
所以两个三角形的面积相等，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④符合题意；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③不符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②符合题意；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，故①符合题意；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，故④符合题意；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得出AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③不符合题意；即可得出结论。
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·拱墅期末）在中，已知是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）。
【答案】锐角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵
，
即最大角的度数，
是锐角三角形，
故答案为：锐角.
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠C的度数，从而判断出三角形的形状.
10．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：连接AC，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，则∠EAB=(3x)°，∠ECD=(3y)°，由角的构成得∠FAB=(2x)°，∠FCD=(2y)°，由二直线平行，同旁内角互补及角的构成得，，再由三角形的内角和定理推出，，则，从而代入即可求出答案.
11．（2025八上·温州期中）如图，AE=AC，BC=DE，若添加一个条件可得△ABC≌△ADE，则添加的条件可以是 .（写出一个满足条件的答案）
【答案】AB=AD（或∠C=∠E）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AE=AC，BC=DE，
要使 △ABC≌△ADE，可以根据SSS增加条件AB=AD，
或者根据SAS增加条件∠C=∠E，
故答案为：AB=AD（或∠C=∠E）.
【分析】结合三角形全等的判定SAS，SSS增加条件即可.
12．（2025八上·温州期中） 如图， A D 是 的中线， C E 是 的中线， D F 是 的中线， 若 ，则 等于 。
【答案】16
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ D F 是 的中线， ，
∴，
同理可得，
故答案为：16.
【分析】根据中线分三角形成两个面积相等的三角形可得结果.
13．（2024七下·福田期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ．
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G，
∵BD⊥AB，
∴∠ABC+∠DBG=90°，
∵∠BDG+∠DBG=90°，
∴∠ABC=∠BDG，
在△ABC和△BDG中，
，
∴△ABC≌△BDG（AAS)
∴AC=BG
在△ECF和△EGD中，
，
∴△ECF≌△EGD（AAS)
∴EG=CE=BC=3，
∴AC=BG=BC+CE+EG=6+3+3=12.
故答案为：12．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，能够过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G构成全等三角形是解题的关键；利用AAS证明出△ABC≌△BDG和△ECF≌△EGD，然后利用对应边相等求出AC.
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题12分，共61分）
14．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本特殊三角形单元复习课(1)） 如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连结PC，求△PBC的面积.
【答案】解：延长AP交BC于D
BP平分∠ABC
AP⊥BP于点P
PB=PB
AP=PD
△ABC的面积为6cm2
cm2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长AP交BC于D，证明，根据全等三角形性质可得AP=PD，得出
，则。
15．（2024八上·青龙期中）如图，已知：，求证：．
【答案】证明：在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.根据，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可证明结论．
16．如图，直角三角尺DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF。
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由。
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数。
【答案】（1）解：∠EOF=∠EOB，
理由如下：
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠EOB=180°-∠DOE=90°。
∵OD 平分∠AOF，
∴∠AOD=∠FOD，
∴∠FOD+∠EOB=90°。
∵∠FOD+∠EOF =90°，
∴∠EOF=∠EOB
（2）解：设
∵OD 平分∠AOF， 所以∠DOF=x°，
∵∠DOE=90°， ∴，
OF平分∠AOE， ∴∠EOF=∠AOF，
即： ，
解得：x=30，
∴=60°
【知识点】补角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由题意得∠AOD+∠EOB=90°，由角平分线的定义得∠AOD=∠FOD， 然后根据等角的余角相等，即可得到答案；
（2）设，则 ∠DOF=x°，，由∠EOF=∠AOF列出方程，计算求解即可.
17．（2024八上·乐昌期中）如图，在中，．
（1）求证：．
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意可得：，再根据， 利用垂直的定义可得：，再根据AC=DE，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得：，再根据，利用等量替换可证明结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
18．（2024八上·凉州期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
∴，
.
（2）解：由（1）得，
，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，再计算求解即可。
（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：由（1）得，
，
，，
．
19．（2024八上·武威期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度．
【答案】解：点是、的中点，
，，
在和中，
，
，
．
即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据中点得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到．
20．（2025八下·泸县开学考）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．
【答案】（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明∶ ∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解∶ 在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明∶ ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解∶ 在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
1 / 1北师大版（2024）初中数学七下第四章 三角形 单元测试B卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2021七下·杨浦期中）如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）
A．9厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．2厘米
2．（2025七下·浙江月考）若一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（ ）
A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形
C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形
3．（2025八上·丽水期末）如图，，，添加下列哪一个条件可以推证≌（ ）
A． B． C．AC∥DF D．
4．（2025八上·丽水期末）在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·余姚开学考）如图，已知，点在边上，与相交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·深圳期中）如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．（2022八上·石家庄月考）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A． B．4 C．3 D．5
8．（2021七下·垦利期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·拱墅期末）在中，已知是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）。
10．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，，若，则 ．
11．（2025八上·温州期中）如图，AE=AC，BC=DE，若添加一个条件可得△ABC≌△ADE，则添加的条件可以是 .（写出一个满足条件的答案）
12．（2025八上·温州期中） 如图， A D 是 的中线， C E 是 的中线， D F 是 的中线， 若 ，则 等于 。
13．（2024七下·福田期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ．
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题12分，共61分）
14．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本特殊三角形单元复习课(1)） 如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连结PC，求△PBC的面积.
15．（2024八上·青龙期中）如图，已知：，求证：．
16．如图，直角三角尺DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF。
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由。
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数。
17．（2024八上·乐昌期中）如图，在中，．
（1）求证：．
（2）求证：．
18．（2024八上·凉州期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（2024八上·武威期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度．
20．（2025八下·泸县开学考）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系可得：8﹣6＜a＜8+6，
解得：2＜a＜14．
故第三边不可能是2，
故答案为：D．
【分析】设第三边为a，根据三角形三边的关系可得2＜a＜14，再求解即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据 一个三角形的三边长是连续偶数 ，可将三边长可以表示为：（n为偶数）
（1）若三角形为锐角三角形，据此可得：所有内角都小于90°。进而可得：最长边n+2的平方应小于另外两边平方和，即 ，所以
所以，即，解得：
这样的n的偶数有无数个，据此可知这样的锐角三角形有无数个，C和D错误；
（2）若三角形为钝角三角形，据此可得：有一个内角大于90°。进而可得：最长边n+2的平方应大于另外两边平方和，即 ，所以
所以，即，解得：
所以
当时，三角形的三边为：，不满足三角形三边的关系，舍去.
当时，三角形的三边为：，满足三角形三边的关系，故这样的钝角三角形有1个，A正确，B错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角形三边的关系，三角形的分类.：根据 一个三角形的三边长是连续偶数 ，可将三边长可以表示为：（n为偶数），根据锐角三角形的性质可得：最长边n+2的平方应小于另外两边平方和，根据钝角三角形的性质可得：最长边n+2的平方应大于另外两边平方和，据此可列出不等式，，解不等式可求出n的取值范围，据此可确定n的值，确定三角形的个数.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，
，
又，
添加条件，不能判断，故选项A不符合题意；
添加条件，不能判断，故选项B不符合题意；
添加条件，可以得到，不能判断，故选项C不符合题意；
添加条件，可以得到，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题目中的条件，可以得到，，根据三角形全等的条件，可以添加第三边相等或两边夹角相等的条件推证≌，对四个选项逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，，
又，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和是，已知三角形的两个内角即可求出第三个内角.
5．【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴ BC=EB，故B不符合题意；
∴ ∠A=∠D，
∵ ∠AFE+∠A=∠ABC，
∴ ∠AFE+∠D=90°，故C不符合题意；
∵ ∠A+∠BED=90°，
∴ ∠D+∠BED=90°，
∴ ∠DBE=90°，
∴ ∠C=∠DBE=90°，故D不符合题意；
AF=FD无法证明，故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质可得BC=EB， ∠A=∠D， ∠C=∠DBE，根据∠A+∠BED=90°和三角形的内角和定理，即可求得.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接，
，
，
∴，
设，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
．
故选：C．
【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，根据，求出，设，求得，进而求得，结合，即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①若，则，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若，则，
所以．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②符合题意；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①符合题意；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
所以两个三角形的面积相等，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④符合题意；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③不符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②符合题意；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，故①符合题意；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，故④符合题意；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得出AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③不符合题意；即可得出结论。
9．【答案】锐角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵
，
即最大角的度数，
是锐角三角形，
故答案为：锐角.
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠C的度数，从而判断出三角形的形状.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：连接AC，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，则∠EAB=(3x)°，∠ECD=(3y)°，由角的构成得∠FAB=(2x)°，∠FCD=(2y)°，由二直线平行，同旁内角互补及角的构成得，，再由三角形的内角和定理推出，，则，从而代入即可求出答案.
11．【答案】AB=AD（或∠C=∠E）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AE=AC，BC=DE，
要使 △ABC≌△ADE，可以根据SSS增加条件AB=AD，
或者根据SAS增加条件∠C=∠E，
故答案为：AB=AD（或∠C=∠E）.
【分析】结合三角形全等的判定SAS，SSS增加条件即可.
12．【答案】16
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ D F 是 的中线， ，
∴，
同理可得，
故答案为：16.
【分析】根据中线分三角形成两个面积相等的三角形可得结果.
13．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G，
∵BD⊥AB，
∴∠ABC+∠DBG=90°，
∵∠BDG+∠DBG=90°，
∴∠ABC=∠BDG，
在△ABC和△BDG中，
，
∴△ABC≌△BDG（AAS)
∴AC=BG
在△ECF和△EGD中，
，
∴△ECF≌△EGD（AAS)
∴EG=CE=BC=3，
∴AC=BG=BC+CE+EG=6+3+3=12.
故答案为：12．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，能够过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G构成全等三角形是解题的关键；利用AAS证明出△ABC≌△BDG和△ECF≌△EGD，然后利用对应边相等求出AC.
14．【答案】解：延长AP交BC于D
BP平分∠ABC
AP⊥BP于点P
PB=PB
AP=PD
△ABC的面积为6cm2
cm2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长AP交BC于D，证明，根据全等三角形性质可得AP=PD，得出
，则。
15．【答案】证明：在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.根据，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可证明结论．
16．【答案】（1）解：∠EOF=∠EOB，
理由如下：
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠EOB=180°-∠DOE=90°。
∵OD 平分∠AOF，
∴∠AOD=∠FOD，
∴∠FOD+∠EOB=90°。
∵∠FOD+∠EOF =90°，
∴∠EOF=∠EOB
（2）解：设
∵OD 平分∠AOF， 所以∠DOF=x°，
∵∠DOE=90°， ∴，
OF平分∠AOE， ∴∠EOF=∠AOF，
即： ，
解得：x=30，
∴=60°
【知识点】补角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由题意得∠AOD+∠EOB=90°，由角平分线的定义得∠AOD=∠FOD， 然后根据等角的余角相等，即可得到答案；
（2）设，则 ∠DOF=x°，，由∠EOF=∠AOF列出方程，计算求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意可得：，再根据， 利用垂直的定义可得：，再根据AC=DE，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得：，再根据，利用等量替换可证明结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
∴，
.
（2）解：由（1）得，
，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，再计算求解即可。
（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：由（1）得，
，
，，
．
19．【答案】解：点是、的中点，
，，
在和中，
，
，
．
即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据中点得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到．
20．【答案】（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明∶ ∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解∶ 在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明∶ ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解∶ 在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
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