北师大版（2024）初中数学七下第四章 三角形 单元测试C卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八下·余姚开学考）下列各组数中，不能构成三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，2 C．5，7，12 D．10，11，12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A 5+12＞13，能构成三角形，故A不符合题意；
B 1+2＞2，能构成三角形，故B不符合题意；
C 5+7=12，不能构成三角形，故C符合题意；
D 10+11＞12，能构成三角形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可求得.
2．（2025八下·泸县开学考）如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定，则添加的这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意，已知AE=DE，∠AEB=∠DEC，
∴只需添加对顶角的邻边，即EB=EC（由AC=DB可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可.
3．（2024七下·罗湖期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）
A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性
【解析】【解答】解：对于A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意；
对于B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意；
对于C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意；
对于D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意；
故选：D．
【分析】由数学原理及其原因逐一判断，即两点定线及其应用判断A，三角形稳定性及其应用判断B，垂线段最短判断C，全等三角形的判定及其应用判断D.
4．（2016八上·青海期中）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
5．（2022八上·江油月考）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A=30°，∠C=70°，则∠CEB=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△CAD≌△CBE，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠A=30°，然后在△CEB中，根据内角和定理计算即可.
6．（2024八上·洪山期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：延长交于点，作与点，如图所示，
，是的角平分线
，
在和中
，
，，，
故答案为：C．
【分析】延长交于点，作与点，根据角平分线定义可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得BF=2，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2024八上·长春期末）如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得，，，
，
．
故答案为：B．
【分析】先利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证出，最后利用三角形的面积公式及正方形的面积公式求出即可．
8．（2023七下·香坊期末）如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵是角平分线 .
∴.
又∵于点.
∴.
∴.
∴BF=EF，AB=AE.故①正确.
又∵.
∴AE=CE.
∵.
∴∠G=∠AFE=90°.
∴.
∴AF=CG，故②正确.
在中，， .
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD，故③正确.
∠AEB=∠ADB=60°，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 只需证； ② 只需证； ③ 只需证∠DAC=∠ACD； ④ 求出其角度即可.
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023八下·睢宁期末）如图，在中，E是的中点，点D在上，且，与交于点F，若，则的面积为 ．
【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：设的面积为a，
∵E是AC的中点，
∴
∵BD=2CD，
∴BC=3CD，
∴
，
∵，
∴，
解得a=12，
即 的面积为 12.
故答案为：12.
【分析】设的面积为a，根据三角形中线的性质易得，即可求得，进而可得，计算可求解.
10．（2021七下·洪山期末）如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设
平分
，
平分
在 中
，
即
解得
故答案为：
【分析】设，可求出，，从而得出，利用三角形内角和求出∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=，根据补角的性质可得，据此建立方程求出α，由于=2α，从而得出结论.
11．一副三角板按如图方式放置， 有下列结论： ①； ②若 ， 则 ；③若 ， 必有 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有 .
【答案】①③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴①正确；
∵BC∥AD，
∴∠4=∠D=30°，∠3=∠B=45°，
∴∠4≠∠3，
∴②错误；
∵∠2=15°，
∴∠3=75°。
∵∠3+∠D=∠4+∠B，∠D=30°，∠B=45°，
∴∠4=60°，
∴∠4=2∠D，
∴③正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠CAD=∠1+∠2+∠3=150°，
∵∠D=30°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC∥DE。
∴④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①由已知∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，可得∠1=∠3.所以可以知道①正确；
②若BC∥AD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。可以知道∠4=∠D=30°，∠3=∠B=45°，所以∠4≠∠3，所以可以知道②错误；
③当∠2=15°时，可以知道∠3=75°。由三角形内角和是180°，对顶角相等。可以知道∠3+∠D=∠4+∠B，由已知∠D=30°，∠B=45°，所以可得∠4=60°，所以可以得到∠4=2∠D，所以③正确；
④当∠2=30°时，由∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°可以得到：∠1=∠3=60°。因为∠CAD=∠1+∠2+∠3，所以∠CAD=150°。因为∠D=30°，可以得到∠CAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到AC∥DE。所以④正确.
12．如图， 已知 ， 过点 分别作直线 ， 且 ， ． 给出以下结论：① ； ②； ③ 平分 ． 其中正确的结论有
【答案】①②
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：，
故①正确， 符合题意．
故②正确，符合题意．
的大小随 的大小变化而变化．
固定， 不一定平分 ．
故③错误， 不符合题意．
综上，符合题意的结论有①②．
【分析】①根据 得（两直线平行，同旁内角互补），然后结合Rt△ACB内角的度数，推算出；②证明与均等于90°-∠1，得出 ；③没有足够条件论证③的正确性，因为的大小随 的大小变化而变化.
13．（2023八上·新昌月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 秒．
【答案】2或6或16
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题12分，第20题11分，共61分）
14．（2024七下·桥西期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
15．（2025七上·东营期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，的面积为2，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据是的中线，得到，由“”证得，从而得到，即可得证；
（2）根据，求得，由是的中线，得到，再由，得到，进而计算，即可得到答案．
（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
16．（2024八上·镇雄县期末）如图，在中，线段是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
【答案】（1）解：是边上的高，，，
．
∴．
又是边上的中线，
．
（2）解：∵ 线段是边上的高 ，∠C=60°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-60°=30°
，，
．
又为∠BAC的平分线，
．
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）结合已知条件以及三角形的面积公式先求得出，进而根据三角形的中线的性质求出BD的长；
（2）根据三角形内角和定理求得∠EAC和，进而根据角平分线的性质可得，根据，即可求出的度数．
（1）解：是边上的高，，，
．
，
解得．
又是边上的中线，
．
（2），，
．
又为角平分线，
．
又，
，．
17．（2024八上·海珠期中）如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，，，垂足分别为E，F，与相等吗？为什么？
【答案】解：，理由如下：
∵两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，
∴
∴
∵，，
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质.先根据以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，据此可得：根据平行线的性质：两直线平行内错角相等可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论．
18．（2024八上·斗门期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．
方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离
问：（1）方案1是否可行？并说明理由；
（2）方案2是否可行？并说明理由；
（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条 也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．
【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE；
（3）AB∥DE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
故答案为：AB∥DE．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.
（1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE．
19．（2024七上·榆树期末）如图①，点G是边上的一点，且平分．
（1）求证：；
（2）如图②，点E、F分别在图①中射线上运动，且，点F在点G左侧，连结，其它条件不变．求证：；
（3）如图③，图②中的点F在点G右侧时，设，直接用含的代数式表示的度数 ；
（4）在图②或图③的射线下方有一点H，连结，且平分，若，直接写出的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）
（4）或
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
当点F在点G左侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴；
当点F在点G右侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
综上所述，的度数为或；
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据平行线的判定（内错角）结合题意即可求解；
（2）根据平行线的性质（同旁内角）得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定（同旁内角）即可求解；
（3）先根据平行线的性质得到，进而结合题意进行角的运算得到，根据平行线的性质得到，再进行角的运算即可求解；
（4）先根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，进而分类讨论：当点F在点G左侧时，当点F在点G右侧时，根据题意进行角的运算即可求解。
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
当点F在点G左侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴；
当点F在点G右侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
故答案为：或．
20．（2024八上·长春高新技术产业开发期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）【感知】
当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
（2）【探究】
当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
【答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
（1）DE＝AD＋BE
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【分析】（1）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°， 再根据角之间的关系可得 ∠DAC=∠BCE， 由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB（AAS），则AD=CE，CD=BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据角之间的关系可得∠CAD＝∠BCE，由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB，则CE＝AD， CD＝BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°，再根据角之间的关系可 ∠ACD=∠EBC，由全等三角形判定定理可得 △ADC≌△CEB（AAS）， 则 AD=CE，CD=BE， 再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1北师大版（2024）初中数学七下第四章 三角形 单元测试C卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八下·余姚开学考）下列各组数中，不能构成三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，2 C．5，7，12 D．10，11，12
2．（2025八下·泸县开学考）如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定，则添加的这个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·罗湖期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）
A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法
4．（2016八上·青海期中）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
5．（2022八上·江油月考）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A=30°，∠C=70°，则∠CEB=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（2024八上·洪山期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2024八上·长春期末）如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·香坊期末）如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023八下·睢宁期末）如图，在中，E是的中点，点D在上，且，与交于点F，若，则的面积为 ．
10．（2021七下·洪山期末）如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 .
11．一副三角板按如图方式放置， 有下列结论： ①； ②若 ， 则 ；③若 ， 必有 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有 .
12．如图， 已知 ， 过点 分别作直线 ， 且 ， ． 给出以下结论：① ； ②； ③ 平分 ． 其中正确的结论有
13．（2023八上·新昌月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 秒．
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题12分，第20题11分，共61分）
14．（2024七下·桥西期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
15．（2025七上·东营期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，的面积为2，求的面积．
16．（2024八上·镇雄县期末）如图，在中，线段是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
17．（2024八上·海珠期中）如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，，，垂足分别为E，F，与相等吗？为什么？
18．（2024八上·斗门期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．
方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离
问：（1）方案1是否可行？并说明理由；
（2）方案2是否可行？并说明理由；
（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条 也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．
19．（2024七上·榆树期末）如图①，点G是边上的一点，且平分．
（1）求证：；
（2）如图②，点E、F分别在图①中射线上运动，且，点F在点G左侧，连结，其它条件不变．求证：；
（3）如图③，图②中的点F在点G右侧时，设，直接用含的代数式表示的度数 ；
（4）在图②或图③的射线下方有一点H，连结，且平分，若，直接写出的度数．
20．（2024八上·长春高新技术产业开发期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）【感知】
当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
（2）【探究】
当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A 5+12＞13，能构成三角形，故A不符合题意；
B 1+2＞2，能构成三角形，故B不符合题意；
C 5+7=12，不能构成三角形，故C符合题意；
D 10+11＞12，能构成三角形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可求得.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意，已知AE=DE，∠AEB=∠DEC，
∴只需添加对顶角的邻边，即EB=EC（由AC=DB可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可.
3．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性
【解析】【解答】解：对于A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意；
对于B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意；
对于C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意；
对于D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意；
故选：D．
【分析】由数学原理及其原因逐一判断，即两点定线及其应用判断A，三角形稳定性及其应用判断B，垂线段最短判断C，全等三角形的判定及其应用判断D.
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△CAD≌△CBE，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠A=30°，然后在△CEB中，根据内角和定理计算即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：延长交于点，作与点，如图所示，
，是的角平分线
，
在和中
，
，，，
故答案为：C．
【分析】延长交于点，作与点，根据角平分线定义可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得BF=2，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得，，，
，
．
故答案为：B．
【分析】先利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证出，最后利用三角形的面积公式及正方形的面积公式求出即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵是角平分线 .
∴.
又∵于点.
∴.
∴.
∴BF=EF，AB=AE.故①正确.
又∵.
∴AE=CE.
∵.
∴∠G=∠AFE=90°.
∴.
∴AF=CG，故②正确.
在中，， .
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD，故③正确.
∠AEB=∠ADB=60°，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 只需证； ② 只需证； ③ 只需证∠DAC=∠ACD； ④ 求出其角度即可.
9．【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：设的面积为a，
∵E是AC的中点，
∴
∵BD=2CD，
∴BC=3CD，
∴
，
∵，
∴，
解得a=12，
即 的面积为 12.
故答案为：12.
【分析】设的面积为a，根据三角形中线的性质易得，即可求得，进而可得，计算可求解.
10．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设
平分
，
平分
在 中
，
即
解得
故答案为：
【分析】设，可求出，，从而得出，利用三角形内角和求出∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=，根据补角的性质可得，据此建立方程求出α，由于=2α，从而得出结论.
11．【答案】①③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴①正确；
∵BC∥AD，
∴∠4=∠D=30°，∠3=∠B=45°，
∴∠4≠∠3，
∴②错误；
∵∠2=15°，
∴∠3=75°。
∵∠3+∠D=∠4+∠B，∠D=30°，∠B=45°，
∴∠4=60°，
∴∠4=2∠D，
∴③正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠CAD=∠1+∠2+∠3=150°，
∵∠D=30°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC∥DE。
∴④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①由已知∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，可得∠1=∠3.所以可以知道①正确；
②若BC∥AD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。可以知道∠4=∠D=30°，∠3=∠B=45°，所以∠4≠∠3，所以可以知道②错误；
③当∠2=15°时，可以知道∠3=75°。由三角形内角和是180°，对顶角相等。可以知道∠3+∠D=∠4+∠B，由已知∠D=30°，∠B=45°，所以可得∠4=60°，所以可以得到∠4=2∠D，所以③正确；
④当∠2=30°时，由∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°可以得到：∠1=∠3=60°。因为∠CAD=∠1+∠2+∠3，所以∠CAD=150°。因为∠D=30°，可以得到∠CAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到AC∥DE。所以④正确.
12．【答案】①②
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：，
故①正确， 符合题意．
故②正确，符合题意．
的大小随 的大小变化而变化．
固定， 不一定平分 ．
故③错误， 不符合题意．
综上，符合题意的结论有①②．
【分析】①根据 得（两直线平行，同旁内角互补），然后结合Rt△ACB内角的度数，推算出；②证明与均等于90°-∠1，得出 ；③没有足够条件论证③的正确性，因为的大小随 的大小变化而变化.
13．【答案】2或6或16
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
14．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据是的中线，得到，由“”证得，从而得到，即可得证；
（2）根据，求得，由是的中线，得到，再由，得到，进而计算，即可得到答案．
（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
16．【答案】（1）解：是边上的高，，，
．
∴．
又是边上的中线，
．
（2）解：∵ 线段是边上的高 ，∠C=60°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-60°=30°
，，
．
又为∠BAC的平分线，
．
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）结合已知条件以及三角形的面积公式先求得出，进而根据三角形的中线的性质求出BD的长；
（2）根据三角形内角和定理求得∠EAC和，进而根据角平分线的性质可得，根据，即可求出的度数．
（1）解：是边上的高，，，
．
，
解得．
又是边上的中线，
．
（2），，
．
又为角平分线，
．
又，
，．
17．【答案】解：，理由如下：
∵两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，
∴
∴
∵，，
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质.先根据以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，据此可得：根据平行线的性质：两直线平行内错角相等可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论．
18．【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE；
（3）AB∥DE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
故答案为：AB∥DE．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.
（1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE．
19．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）
（4）或
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
当点F在点G左侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴；
当点F在点G右侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
综上所述，的度数为或；
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据平行线的判定（内错角）结合题意即可求解；
（2）根据平行线的性质（同旁内角）得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定（同旁内角）即可求解；
（3）先根据平行线的性质得到，进而结合题意进行角的运算得到，根据平行线的性质得到，再进行角的运算即可求解；
（4）先根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，进而分类讨论：当点F在点G左侧时，当点F在点G右侧时，根据题意进行角的运算即可求解。
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
当点F在点G左侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴；
当点F在点G右侧时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
故答案为：或．
20．【答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
（1）DE＝AD＋BE
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【分析】（1）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°， 再根据角之间的关系可得 ∠DAC=∠BCE， 由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB（AAS），则AD=CE，CD=BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据角之间的关系可得∠CAD＝∠BCE，由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB，则CE＝AD， CD＝BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°，再根据角之间的关系可 ∠ACD=∠EBC，由全等三角形判定定理可得 △ADC≌△CEB（AAS）， 则 AD=CE，CD=BE， 再根据边之间的关系即可求出答案.
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