北师大版（2024）数学七下第五章 图形的轴对称 单元测试B卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·镇海区模拟）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·安州模拟）将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳模拟）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
4．（2025七下·长沙月考）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·东莞期中）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
7．（2024八上·松原期末）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023八上·石首期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是 ．
10．（2021·内江）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 .
11．（2025·湖南模拟）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，交于点，则 ．
12．（2025·衢江模拟）如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为 °．（请用含的代数式表示）
13．（2017·济宁模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题10分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题10分，共61分）
14．（2024八下·宝安月考）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，，表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．
15．（2025八上·海曙期末）如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：垂直平分．
16．（2025八下·内江开学考）如图，在中，，，D是BC边上的一个动点（其中），以AD为直角边作，其中，且，DE交AC于点F，过点A作于点G并延长交BC于点H．
（1）求证：；
（2）探索BD、CH、DH的数量关系，并说明理由；
（3）求证：当时，．
17．（2025八下·青田开学考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）直线l把线段______；
（3）求的面积；
（4）在直线l上找一点P，使得的长最小．
18．（2025·富阳模拟）如图1，在中，是的平分线．用尺规作是边AB上一点．
小明：如图2．以为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则.
小丽：以点为圆心，CD长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）给出小明作法中的证明．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
19．（2023·枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： ， ．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
20．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
（1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”)
①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；（ ）
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；（ ）
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；（ ）
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．（ ）
（2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB
（3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB=8，AD=10．请利用备用图求AE的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，此选项符合题意；
B、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；剪纸问题
【解析】【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在垂直于斜边的位置上剪菱形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且菱形关于对角线对称，故A、B、D选项不符合题意，只有C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】由于每次折叠都是沿对角线进行的，且在垂直于斜边的位置上剪菱形，剪切后的菱形小洞会在展开后形成对称的图案，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；全等三角形的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、∵三角形的三条高不一定都在三角形内，∴A错误；
B、∵所有的等边三角形不都是全等三角形，∴B错误．
C、∵等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，∴C错误；
D、∵如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用三角形高线、中线、角平分线的定义；全等三角形的判定方法；轴对称图形的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的概念，可求出∠BEG的度数，利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠EGD的度数.
5．【答案】B
【知识点】垂线的概念；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：
∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
∴OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，
∵ 点，分别是底边，的中点，
∴OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF.
故选项C结论正确，不符合题意；
，
，
，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故结论A正确，不符合题意；
B.不一定等于，故选项B结论不正确，符合题意.
D.同“OB⊥OD”的方法，可证得：OA⊥OC，
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOD+∠BOC=180°.
故选项D结论正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A.由对称的性质得OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，由等腰三角形“三线合一”的性质OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，即可判断选项C；由垂线的定义可得∠BOE+∠BOF=90°，等量代换即可得∠BOD=90°，可判断A；不一定等于，可判断B；证明∠AOC=∠BOD=90°，相加即可得到结论并判断D.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当 的内角为这个等腰三角形的顶角时，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为 ；
②当 的内角为这个等腰三角形的底角时，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为 ，顶角为 ，
综上，另外两个内角的度数分别是 或 .
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 的内角为顶角和 的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得
∴，
∴；
故答案为：C
【分析】根据题意等边三角形的性质结合角的运算得到，则，进而即可求出∠3.
8．【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
9．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分类讨论：
当腰是4时，三边分别是4、4、9，根据三角形三边关系定理不能组成三角形；
当腰是9时，三边是4、9、9，能构成三角形，∴该三角形的周长为：4+9+9=22.
故答案为：22.
【分析】由等腰三角形性质可知不同腰长组成三角形的周长不同，所以需分情况讨论：当腰是4时，当腰是9时，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】轴对称图形；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，
根据概率公式， （轴对称图形） .
故答案为： .
【分析】利用轴对称图形的定义可知卡片中，轴对称图形有4个，一共有5张图片，再利用概率公式可求解.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AC，
又∵
故答案为：
【分析】由作图可知，MN垂直平分AC，得出 再根据等腰三角形的性质即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形内角和定理得，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】设，由等边对等角得∠B=，在△ABC中，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
13．【答案】2
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中，
DE= = =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．
14．【答案】解：如图点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，到点M、N得距离相等的点一定在线段MN的垂直平分线上；根据角平分线的性质定理，到OA、OB距离相等的点一定在OA与OB夹角的角平分线上，故利用尺规作图法，作出线段MN的垂直平分线与∠AOB或∠AOB邻补角的角平分线，两线的交点就是仓库P修建的位置.
15．【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接、；
在与中，
，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴垂直平分．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可．
（2）连接、，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，再根据三线合一得到结论即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接、；
在与中，
，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴垂直平分．
16．【答案】（1）解：∵，∴，
在和中，
，
∴
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，过点F作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据“”可证；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可得；
（3）过点F作于N，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可得．
（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）如图，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
17．【答案】（1）解：取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，
得到即为所求作．
（2）垂直平分；
（3）由图可得：．（割补法）故答案为：3.
（4）连接交l于点P，点P即为所求作．
∵点C、关于直线l对称，
∴，
∴得，最小，
故答案为：连接交l于点P，点P即为所求作．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握轴对称性质，割补法求三角形面积，轴对称路径最短，是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，即得；
（2）对称轴垂直平分对称点所连直线，根据点C、关于直线l对称，得直线l垂直平分；
（3）的矩形面积减去周围3个三角形的面积即得；
（4）根据点C、关于直线l对称，得，得，最小，
（1）取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，
得到即为所求作．
（2）∵点C、关于直线l对称，
∴直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分．
（3）．
（4）连接交l于点P，点P即为所求作．
18．【答案】（1）证明：如图所示，设AD交CE于点O.
平分
（2）答：无法证明，理由如下：
如图所示，连接DE.
平分
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，虽然有
但不存在“SSA”这一证明方法
无法证明
综上所述，小丽的作法不能保证.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用小明的作法，可利用角平分线的概念结合“”来证明，进而利用全等的性质结合邻补角的概念求得AD与CE的夹角为，即有；
（2）小丽的作法不正确，因为即使DC＝DE，但利用已知条件无法证明、和，即不能求得AD与CE的夹角为.
19．【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形；且面积相等
（2）解：如图：
【知识点】轴对称图形；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）根据图象直接可得结论；
（2）根据轴对称图形的定义作出图象即可。
20．【答案】（1）解：①错误②正确③正确④正确
（2）解：如图2所示，点E、F即为所求；
（3）解：连接EF，如图3所示：
四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，
由作图可知，CF=CB=10，
设，则，
是BF的垂直平分线，
在Rt中，由勾股定理得：，解得：，
即AE的长为3．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；×，
故答案为：×；
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；√，
故答案为：√；
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；√，
故答案为：√；
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．√，
故答案为：√；
【分析】（1）根据顶针点的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据题意作图即可求出答案.
（3）连接EF，根据矩形性质可得BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，再根据勾股定理可得DF=10，再根据边之间的关系可得AF=4，设，则，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1北师大版（2024）数学七下第五章 图形的轴对称 单元测试B卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·镇海区模拟）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，此选项符合题意；
B、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·安州模拟）将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；剪纸问题
【解析】【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在垂直于斜边的位置上剪菱形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且菱形关于对角线对称，故A、B、D选项不符合题意，只有C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】由于每次折叠都是沿对角线进行的，且在垂直于斜边的位置上剪菱形，剪切后的菱形小洞会在展开后形成对称的图案，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·深圳模拟）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；全等三角形的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、∵三角形的三条高不一定都在三角形内，∴A错误；
B、∵所有的等边三角形不都是全等三角形，∴B错误．
C、∵等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，∴C错误；
D、∵如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用三角形高线、中线、角平分线的定义；全等三角形的判定方法；轴对称图形的性质逐项分析判断即可.
4．（2025七下·长沙月考）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的概念，可求出∠BEG的度数，利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠EGD的度数.
5．（2024八上·东莞期中）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：
∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
∴OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，
∵ 点，分别是底边，的中点，
∴OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF.
故选项C结论正确，不符合题意；
，
，
，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故结论A正确，不符合题意；
B.不一定等于，故选项B结论不正确，符合题意.
D.同“OB⊥OD”的方法，可证得：OA⊥OC，
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOD+∠BOC=180°.
故选项D结论正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A.由对称的性质得OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，由等腰三角形“三线合一”的性质OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，即可判断选项C；由垂线的定义可得∠BOE+∠BOF=90°，等量代换即可得∠BOD=90°，可判断A；不一定等于，可判断B；证明∠AOC=∠BOD=90°，相加即可得到结论并判断D.
6．（2020·青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当 的内角为这个等腰三角形的顶角时，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为 ；
②当 的内角为这个等腰三角形的底角时，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为 ，顶角为 ，
综上，另外两个内角的度数分别是 或 .
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 的内角为顶角和 的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得.
7．（2024八上·松原期末）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得
∴，
∴；
故答案为：C
【分析】根据题意等边三角形的性质结合角的运算得到，则，进而即可求出∠3.
8．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023八上·石首期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是 ．
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分类讨论：
当腰是4时，三边分别是4、4、9，根据三角形三边关系定理不能组成三角形；
当腰是9时，三边是4、9、9，能构成三角形，∴该三角形的周长为：4+9+9=22.
故答案为：22.
【分析】由等腰三角形性质可知不同腰长组成三角形的周长不同，所以需分情况讨论：当腰是4时，当腰是9时，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可求出答案.
10．（2021·内江）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 .
【答案】
【知识点】轴对称图形；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，
根据概率公式， （轴对称图形） .
故答案为： .
【分析】利用轴对称图形的定义可知卡片中，轴对称图形有4个，一共有5张图片，再利用概率公式可求解.
11．（2025·湖南模拟）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，交于点，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AC，
又∵
故答案为：
【分析】由作图可知，MN垂直平分AC，得出 再根据等腰三角形的性质即可求解.
12．（2025·衢江模拟）如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为 °．（请用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形内角和定理得，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】设，由等边对等角得∠B=，在△ABC中，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
13．（2017·济宁模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中，
DE= = =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题10分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题10分，共61分）
14．（2024八下·宝安月考）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，，表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．
【答案】解：如图点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，到点M、N得距离相等的点一定在线段MN的垂直平分线上；根据角平分线的性质定理，到OA、OB距离相等的点一定在OA与OB夹角的角平分线上，故利用尺规作图法，作出线段MN的垂直平分线与∠AOB或∠AOB邻补角的角平分线，两线的交点就是仓库P修建的位置.
15．（2025八上·海曙期末）如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接、；
在与中，
，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴垂直平分．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可．
（2）连接、，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，再根据三线合一得到结论即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接、；
在与中，
，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴垂直平分．
16．（2025八下·内江开学考）如图，在中，，，D是BC边上的一个动点（其中），以AD为直角边作，其中，且，DE交AC于点F，过点A作于点G并延长交BC于点H．
（1）求证：；
（2）探索BD、CH、DH的数量关系，并说明理由；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）解：∵，∴，
在和中，
，
∴
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，过点F作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据“”可证；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可得；
（3）过点F作于N，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可得．
（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）如图，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
17．（2025八下·青田开学考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）直线l把线段______；
（3）求的面积；
（4）在直线l上找一点P，使得的长最小．
【答案】（1）解：取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，
得到即为所求作．
（2）垂直平分；
（3）由图可得：．（割补法）故答案为：3.
（4）连接交l于点P，点P即为所求作．
∵点C、关于直线l对称，
∴，
∴得，最小，
故答案为：连接交l于点P，点P即为所求作．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握轴对称性质，割补法求三角形面积，轴对称路径最短，是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，即得；
（2）对称轴垂直平分对称点所连直线，根据点C、关于直线l对称，得直线l垂直平分；
（3）的矩形面积减去周围3个三角形的面积即得；
（4）根据点C、关于直线l对称，得，得，最小，
（1）取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，
得到即为所求作．
（2）∵点C、关于直线l对称，
∴直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分．
（3）．
（4）连接交l于点P，点P即为所求作．
18．（2025·富阳模拟）如图1，在中，是的平分线．用尺规作是边AB上一点．
小明：如图2．以为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则.
小丽：以点为圆心，CD长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）给出小明作法中的证明．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：如图所示，设AD交CE于点O.
平分
（2）答：无法证明，理由如下：
如图所示，连接DE.
平分
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，虽然有
但不存在“SSA”这一证明方法
无法证明
综上所述，小丽的作法不能保证.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用小明的作法，可利用角平分线的概念结合“”来证明，进而利用全等的性质结合邻补角的概念求得AD与CE的夹角为，即有；
（2）小丽的作法不正确，因为即使DC＝DE，但利用已知条件无法证明、和，即不能求得AD与CE的夹角为.
19．（2023·枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： ， ．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形；且面积相等
（2）解：如图：
【知识点】轴对称图形；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）根据图象直接可得结论；
（2）根据轴对称图形的定义作出图象即可。
20．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
（1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”)
①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；（ ）
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；（ ）
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；（ ）
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．（ ）
（2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB（3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB=8，AD=10．请利用备用图求AE的长度．
【答案】（1）解：①错误②正确③正确④正确
（2）解：如图2所示，点E、F即为所求；
（3）解：连接EF，如图3所示：
四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，
由作图可知，CF=CB=10，
设，则，
是BF的垂直平分线，
在Rt中，由勾股定理得：，解得：，
即AE的长为3．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；×，
故答案为：×；
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；√，
故答案为：√；
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；√，
故答案为：√；
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．√，
故答案为：√；
【分析】（1）根据顶针点的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据题意作图即可求出答案.
（3）连接EF，根据矩形性质可得BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，再根据勾股定理可得DF=10，再根据边之间的关系可得AF=4，设，则，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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