北师大版（2024）数学七下第五章 图形的轴对称 单元测试C卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·深圳模拟）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·钦州模拟）下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图形的是（ ）
A．惊蛰 B．立春
C．雨水 D．芒种
3．（2024九上·锦江期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形以此类推，第个黄金三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.57
5．（2024八下·高州月考）如图所示，点A坐标为(-3，0) 点B坐标为(1，4)，在y轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足此条件的点C最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
6．（2019八上·融安期中）在平面直角坐标系中，已知M(0，6)，△MON为等腰三角形且面积为9，满足条件的N点有（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．10个
7．（2023八上·宣恩期中）如图，在中，，．点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
8．（2024七下·惠来期末）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024八上·巴南月考）如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则 ，的面积为 ．
10．（2024八上·曾都期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为 度．
11．（2024八上·斗门期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
12．（2024八上·宁明期末）如图， 等边△ABC的周长为 12cm， BD为AC边上的中线，动点P， Q分别在线段BC， BD上运动， 连接 CQ， PQ， 当BP的长为 cm时， 线段CQ+PQ的和最小.
13．（2023八上·绍兴月考）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1 S2+S3．（填“＞“＜”或“＝”）
三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题9分，第17题10分，第18题9分，第19题12分，第20题6分，共61分）
14．（2025八下·南海月考）如图，在中，，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，相交点于，，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（Ⅰ）的条件下，连接，若的周长是19，求的长和的度数．
15．（2025九下·浙江模拟）如图，7×7的的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（不可以增加网格，找到一个即可）；
图1
（2）在图2中作出∠BAC的角平分线.
图2
16．（2024八上·遵义期末）如图，在边长为1的正方形网格中，是关于直线l的对称图形．
（1）连接，，求四边形的面积；
（2）在直线l对上找一个点P，使最短．
17．（2024八上·余杭月考）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；
②如图2，、如果∠BAD＝40°，则∠EDC＝ °．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
18．（2024七下·朝阳期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点P，使得．
19．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为 ．
（3）【拓展应用】
“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
20．（2022八下·吐鲁番期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：点P是三角形的两条高的交点
B：点P是两个角平分线的交点
C：点P是两条边的垂直平分线的交点
D：点P是两条中线的交点
∵点到三角形三个顶点的距离
∴点P是边的垂直平分线的交点
故答案为：C
【分析】根据垂直平分线的性质即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】
本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的定义是解题关键.
轴对称图形是指在平面内，如果一个图形沿一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，通过对每个选项中图案是否符合此定义进行判断.
选项A：惊蛰图案沿一条直线对折后，直线两侧的部分不能完全重合，所以它不是轴对称图形；
选项B：立春图案沿中间竖直的一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，符合轴对称图形的定义，所以它是轴对称图形；
选项C：雨水图案沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形；
选项D：芒种图案沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形；
由此可判断出答案．
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：是第个黄金三角形，第个黄金三角形的腰长为，
，
，
是第个黄金三角形，
，第个黄金三角形的腰长是，
，
是第个黄金三角形，
，第个黄金三角形的腰长是，
，
第个黄金三角形的腰长是，
，
第个黄金三角形的腰长是，
第个黄金三角形的腰长是，
故答案为：．
【分析】由黄金三角形的定义得出，同理求出，，可得第一个黄金三角形的腰长为，从而推出第二个、第三个、第四个黄金三角形的腰长，得出规律第n个黄金三角形的腰长，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AM，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD=7.5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7.5.
故答案选：B.
【分析】连接AD，由AB=AC，点D是BC边的中点可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C1、C2；
当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C3、C4；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于点C5；
综上，满足条件的点C最多有5个.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆；②当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆；③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，然后看所作的直线与弧线与y轴的交点个数即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M（0，6），
∴OM＝6，
设△MON的边OM上的高是h，
则×6×h＝9，
解得：h＝3，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于3，
①以M为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作MO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
4＋4＋1＋1＝10.
故答案为：D.
【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，，故①正确；
∵，∴，∴，故②错误；
∵，，∴，
∵，∴，
∵点D为的中点，∴，∵，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，故③正确；
∵，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C.
【分析】证明，可得，，故①正确；再由，可得，故②错误；再证明，可得，故③正确；再由，可得，然后根据，可得，从而得到，故④正确，其中熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：①、在AE取点F，使．
，，
，
，
，
，故①正确；
②、AB上取点F，使，连接CF．
垂直平分BF，
，
．
在与中，
，，，
，
．
又，
，
，
故②正确；
③、由②知，，
，
又，
，故③正确；
④、在△BCE与△FCE中，
∴，
∴△BCE≌△FCE(SAS)
，
又，
，
，
故④正确．
综上可知 ①②③④ 正确；
故答案为：D．
【分析】
①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，利用线段垂直平分线的性质可得CF=CB再由AB=AD+2BE即可求解；
②利用SAS证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解；
③由△ACD和△ACF全等可得CD=CF，结合CF=CB即可得解；
④由SAS证明△BCE≌△FCE，从而可得到面积关系，即可得解．
9．【答案】4；72
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵于E，于D，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
设，则，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∵等高，
∴，即，
∴，解得：；
如图：过M作，
∴，即，解得：，
∴的面积为．
故答案为：4，12．
【分析】先证明可得，再证明可得、；设，则，则，即可求得；易得，根据等高模型可得，即，进而求得；如图：过M作，运用三角面积公式可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可．
10．【答案】40
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，如图所示：
∵∠ABC＝90°，∠BAD＝110°，∠C＝70°，
∴∠ADC＝360° 90° 110° 70°＝90°，
∵BC垂直平分AE，DC垂直平分AF，
∴点A与点E关于直线BC对称，点A与点F关于直线DC对称，
∴AM＝EM，AN＝FN，
连接EF交BC于点G，交DC于点H，
∵AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，
∴当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，
∵∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，
∴∠AGH＝∠GEA＋∠GAE＝2∠GEA，∠AHG＝∠HFA＋∠HAF＝2∠HFA，
∴∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，
∴∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°，
故答案为：40．
【分析】延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，连接EF交BC于点G，交DC于点H，再结合AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，可得当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，再结合∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，可得∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，最后求出∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°即可.
11．【答案】9
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N
∵AB=AC，AM⊥BC
∴
∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC
∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90°
∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90°
∴∠MAC=∠NCE
∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE，
∴
∴CM=EN=3
∴
故答案为：9.
【分析】求三角形BCE的面积需要求高，可以通过构造一线三垂直全等得到答案.
12．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，如图所示：
∵△ABC是周长为12cm的等边三角形，
∴BC＝×12＝4（cm），
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），
∵BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线BD对称，
∴CQ＝AQ，
∴CQ＋PQ＝AQ＋PQ，
∵AQ＋PQ≥AP，
∴当AQ＋PQ＝AP且AP的值最小时，AQ＋PQ的和最小，此时CQ＋PQ的和最小，
∴当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，
∴BP＝BE＝2cm，
故答案为：2．
【分析】作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，先求出BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），再结合当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，即可得到BP＝BE＝2cm，从而得解.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，于，于，如图所示：
和的角平分线交于点，
，，
，
设，
，，
而，
．
故答案为：．
【分析】过点作于，于，于，设，再结合，， 求出即可.
14．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：，，
垂直平分，
，
，
；
垂直平分，
BD=DC
的周长是，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）分别一点B、C大于为半径画弧交于两点，连接两点即为的垂直平分线；
（2）根据三角形的内角和得，利用线段的垂直平分线的性质得到，BD=DC，根据三角形的周长公式代换线段的长度求解即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：，，
垂直平分，
，，
，
；
的周长是，
．
15．【答案】（1）解：如图：以AC为腰， △ACD为等腰三角形 .
（2）解：如图：
【知识点】等腰三角形的概念；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）以AC为腰，作出 △ACD为等腰三角形 ；
（2）只需找到角平分线上与AB构成的直角三角形与角平分线与AC构成直角三角形，且∠BAE与∠CAE的正切值相等即可.
16．【答案】（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据梯形的面积公式即可解题；
（2）连交直线l与点P，则点P即为所作.
（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12；
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求．
17．【答案】（1）15；20
（2）
（3）解：仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵，
∴
∴；
②∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵AD=AE，
∴
∴；
【分析】（1） ① 根据等腰三角形三线合一，可知∠DAE=30°，再根据AD=AE，可求∠ADE的度数，从而可知答案； ② 同理易知答案；
（2）通过（1）题的结论可知，
（3）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知容易证得∠BAD=2∠EDC.
18．【答案】（1）如图，即为所作；
（2）如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于直线对称点，顺次连接，即可得到答案；
（2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，连接，得到．
19．【答案】解：（1），，；（2）5；（3）到的距离和最小的点在线段上，∵点A与点C关于对称，∴到的距离和最小的点是线段和的交点，∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，故连接交于点G，点G即为所求作的点，
（1）；；
（2）5
（3）解：到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
【分析】（1）根据题意及几何图形逐步推演其证明过程填空即可；
（2）根据轴对称最值分析和垂线段最短原理，先作出对称点分析最值，后利用等边三角形每条边上的高相等求解该最值；
（3）同理，根据轴对称及两点间线段最短，分析并找出符合题意的点，即连接交于点G，分析可得．
20．【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
1 / 1北师大版（2024）数学七下第五章 图形的轴对称 单元测试C卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025·深圳模拟）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：点P是三角形的两条高的交点
B：点P是两个角平分线的交点
C：点P是两条边的垂直平分线的交点
D：点P是两条中线的交点
∵点到三角形三个顶点的距离
∴点P是边的垂直平分线的交点
故答案为：C
【分析】根据垂直平分线的性质即可求出答案.
2．（2025·钦州模拟）下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图形的是（ ）
A．惊蛰 B．立春
C．雨水 D．芒种
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】
本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的定义是解题关键.
轴对称图形是指在平面内，如果一个图形沿一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，通过对每个选项中图案是否符合此定义进行判断.
选项A：惊蛰图案沿一条直线对折后，直线两侧的部分不能完全重合，所以它不是轴对称图形；
选项B：立春图案沿中间竖直的一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，符合轴对称图形的定义，所以它是轴对称图形；
选项C：雨水图案沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形；
选项D：芒种图案沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形；
由此可判断出答案．
3．（2024九上·锦江期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形以此类推，第个黄金三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：是第个黄金三角形，第个黄金三角形的腰长为，
，
，
是第个黄金三角形，
，第个黄金三角形的腰长是，
，
是第个黄金三角形，
，第个黄金三角形的腰长是，
，
第个黄金三角形的腰长是，
，
第个黄金三角形的腰长是，
第个黄金三角形的腰长是，
故答案为：．
【分析】由黄金三角形的定义得出，同理求出，，可得第一个黄金三角形的腰长为，从而推出第二个、第三个、第四个黄金三角形的腰长，得出规律第n个黄金三角形的腰长，即可得出答案.
4．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.57
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AM，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD=7.5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7.5.
故答案选：B.
【分析】连接AD，由AB=AC，点D是BC边的中点可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论.
5．（2024八下·高州月考）如图所示，点A坐标为(-3，0) 点B坐标为(1，4)，在y轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足此条件的点C最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C1、C2；
当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C3、C4；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于点C5；
综上，满足条件的点C最多有5个.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆；②当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆；③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，然后看所作的直线与弧线与y轴的交点个数即可得出答案.
6．（2019八上·融安期中）在平面直角坐标系中，已知M(0，6)，△MON为等腰三角形且面积为9，满足条件的N点有（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．10个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M（0，6），
∴OM＝6，
设△MON的边OM上的高是h，
则×6×h＝9，
解得：h＝3，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于3，
①以M为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作MO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
4＋4＋1＋1＝10.
故答案为：D.
【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
7．（2023八上·宣恩期中）如图，在中，，．点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，，故①正确；
∵，∴，∴，故②错误；
∵，，∴，
∵，∴，
∵点D为的中点，∴，∵，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，故③正确；
∵，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C.
【分析】证明，可得，，故①正确；再由，可得，故②错误；再证明，可得，故③正确；再由，可得，然后根据，可得，从而得到，故④正确，其中熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2024七下·惠来期末）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：①、在AE取点F，使．
，，
，
，
，
，故①正确；
②、AB上取点F，使，连接CF．
垂直平分BF，
，
．
在与中，
，，，
，
．
又，
，
，
故②正确；
③、由②知，，
，
又，
，故③正确；
④、在△BCE与△FCE中，
∴，
∴△BCE≌△FCE(SAS)
，
又，
，
，
故④正确．
综上可知 ①②③④ 正确；
故答案为：D．
【分析】
①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，利用线段垂直平分线的性质可得CF=CB再由AB=AD+2BE即可求解；
②利用SAS证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解；
③由△ACD和△ACF全等可得CD=CF，结合CF=CB即可得解；
④由SAS证明△BCE≌△FCE，从而可得到面积关系，即可得解．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024八上·巴南月考）如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则 ，的面积为 ．
【答案】4；72
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵于E，于D，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
设，则，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∵等高，
∴，即，
∴，解得：；
如图：过M作，
∴，即，解得：，
∴的面积为．
故答案为：4，12．
【分析】先证明可得，再证明可得、；设，则，则，即可求得；易得，根据等高模型可得，即，进而求得；如图：过M作，运用三角面积公式可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可．
10．（2024八上·曾都期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为 度．
【答案】40
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，如图所示：
∵∠ABC＝90°，∠BAD＝110°，∠C＝70°，
∴∠ADC＝360° 90° 110° 70°＝90°，
∵BC垂直平分AE，DC垂直平分AF，
∴点A与点E关于直线BC对称，点A与点F关于直线DC对称，
∴AM＝EM，AN＝FN，
连接EF交BC于点G，交DC于点H，
∵AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，
∴当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，
∵∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，
∴∠AGH＝∠GEA＋∠GAE＝2∠GEA，∠AHG＝∠HFA＋∠HAF＝2∠HFA，
∴∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，
∴∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°，
故答案为：40．
【分析】延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，连接EF交BC于点G，交DC于点H，再结合AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，可得当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，再结合∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，可得∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，最后求出∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°即可.
11．（2024八上·斗门期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N
∵AB=AC，AM⊥BC
∴
∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC
∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90°
∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90°
∴∠MAC=∠NCE
∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE，
∴
∴CM=EN=3
∴
故答案为：9.
【分析】求三角形BCE的面积需要求高，可以通过构造一线三垂直全等得到答案.
12．（2024八上·宁明期末）如图， 等边△ABC的周长为 12cm， BD为AC边上的中线，动点P， Q分别在线段BC， BD上运动， 连接 CQ， PQ， 当BP的长为 cm时， 线段CQ+PQ的和最小.
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，如图所示：
∵△ABC是周长为12cm的等边三角形，
∴BC＝×12＝4（cm），
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），
∵BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线BD对称，
∴CQ＝AQ，
∴CQ＋PQ＝AQ＋PQ，
∵AQ＋PQ≥AP，
∴当AQ＋PQ＝AP且AP的值最小时，AQ＋PQ的和最小，此时CQ＋PQ的和最小，
∴当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，
∴BP＝BE＝2cm，
故答案为：2．
【分析】作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，先求出BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），再结合当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，即可得到BP＝BE＝2cm，从而得解.
13．（2023八上·绍兴月考）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1 S2+S3．（填“＞“＜”或“＝”）
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，于，于，如图所示：
和的角平分线交于点，
，，
，
设，
，，
而，
．
故答案为：．
【分析】过点作于，于，于，设，再结合，， 求出即可.
三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题9分，第17题10分，第18题9分，第19题12分，第20题6分，共61分）
14．（2025八下·南海月考）如图，在中，，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，相交点于，，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（Ⅰ）的条件下，连接，若的周长是19，求的长和的度数．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：，，
垂直平分，
，
，
；
垂直平分，
BD=DC
的周长是，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）分别一点B、C大于为半径画弧交于两点，连接两点即为的垂直平分线；
（2）根据三角形的内角和得，利用线段的垂直平分线的性质得到，BD=DC，根据三角形的周长公式代换线段的长度求解即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：，，
垂直平分，
，，
，
；
的周长是，
．
15．（2025九下·浙江模拟）如图，7×7的的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（不可以增加网格，找到一个即可）；
图1
（2）在图2中作出∠BAC的角平分线.
图2
【答案】（1）解：如图：以AC为腰， △ACD为等腰三角形 .
（2）解：如图：
【知识点】等腰三角形的概念；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）以AC为腰，作出 △ACD为等腰三角形 ；
（2）只需找到角平分线上与AB构成的直角三角形与角平分线与AC构成直角三角形，且∠BAE与∠CAE的正切值相等即可.
16．（2024八上·遵义期末）如图，在边长为1的正方形网格中，是关于直线l的对称图形．
（1）连接，，求四边形的面积；
（2）在直线l对上找一个点P，使最短．
【答案】（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据梯形的面积公式即可解题；
（2）连交直线l与点P，则点P即为所作.
（1）解：由图知，，
∴四边形的面积为12；
（2）解：如图，连交直线l与点P，
∵是关于直线l的对称图形．
∴关于直线l的对称，
∴，
∴，
∴由两点之间，线段最短知，此时最短，
∴点P即为所求．
17．（2024八上·余杭月考）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；
②如图2，、如果∠BAD＝40°，则∠EDC＝ °．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【答案】（1）15；20
（2）
（3）解：仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵，
∴
∴；
②∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵AD=AE，
∴
∴；
【分析】（1） ① 根据等腰三角形三线合一，可知∠DAE=30°，再根据AD=AE，可求∠ADE的度数，从而可知答案； ② 同理易知答案；
（2）通过（1）题的结论可知，
（3）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知容易证得∠BAD=2∠EDC.
18．（2024七下·朝阳期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点P，使得．
【答案】（1）如图，即为所作；
（2）如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于直线对称点，顺次连接，即可得到答案；
（2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，连接，得到．
19．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为 ．
（3）【拓展应用】
“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
【答案】解：（1），，；（2）5；（3）到的距离和最小的点在线段上，∵点A与点C关于对称，∴到的距离和最小的点是线段和的交点，∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，故连接交于点G，点G即为所求作的点，
（1）；；
（2）5
（3）解：到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
【分析】（1）根据题意及几何图形逐步推演其证明过程填空即可；
（2）根据轴对称最值分析和垂线段最短原理，先作出对称点分析最值，后利用等边三角形每条边上的高相等求解该最值；
（3）同理，根据轴对称及两点间线段最短，分析并找出符合题意的点，即连接交于点G，分析可得．
20．（2022八下·吐鲁番期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
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