广州市第二中学2024学年第二学期期中考试
高一数学
参考答案
一、单选题
1-8 CCAAA CBA
二、多选题
9、BD 10、BD 11、ABC
三、填空题
12、3 13、(1，] 14、3，
四、解答题
15、 (1)因为
所以
(2)因为
所以
(3)将侧面 绕 旋转至与侧面. 共面，如图所示.
当A，F，E三点共线时， 取得最小值，且最小值为
16、(1) 依题意得∠BAC=45°,∠ABC =30°, AB=30(1+ ),所以
∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)
=180°-(45°+30°) =105°
在△ABC中，由正弦定理得
又sin105°= sin75°= sin(45°+30°)
所以求B，C两点间的距离为60海里.
(2)依题意得
∠DBC =∠DBA+∠ABC=90°+30°=120°,
BD =100,
在△DBC中，
由余弦定理得cos120°=19600
所以CD=140(海里),
所以救搜船到达C处需要的时间为140÷80=1.75小时,
在△DBC中，由余弦定理得
因为0°<∠BDC<90°,
cos21.79°= 0.93,
所以∠BDC≈21.79°,
所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东90°﹣21.79°=68.21°.
17、(1) 当 时，E为CD的中点，可得 AD
若 则 yAD
因为F是AD的中点，所以
，得
,
解得 所以
(2)根据题意，可得
12,
.
可得
由 得
所以
根据二次函数的性质， 当 时，
BE. FE的最小值为
18、(1)由题意得
因为对 有
所以当 时，f(x)取得最大值或最小值.
所以
即结合
取 得
(2)由 (1) 得.
结合 可得
所以
(3)将函数 图象上的所有点向右平移 个单位，
可得函数
的图象，所以
令 ,
令
结合 可得
因为 ， 即
所以
结合 可知当 时，
因为
即存在
所以 解得 或 实数m的取值范围为
19、（1）当x = 2时, 当x=4时,
当x = 2时, 当x= 4时,
（2）将 = (设
· 解不等式得: λ≥3-t且λ≤4。结合 取 最终
（3）将 的值域约束在
· 令 ，需满足
解得此时 为最小值。广州市第二中学2024学年第二学期期中考试
高一数学
2025年4月23日
本试卷共4页，19小题，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。
2.答选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的，答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足(-1+i)z=1+2i(其中i是虚数单位), 则z= ( )
2.若平面向量 若∥,则x的值为( )
A. C. 1或 D. 1或
3. 在△ABC中, 角A, B, C的对边分别是a, b, c, 且sinA:(sinB+sinC):sinB=7:9:4, 则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定的
4. 函数 的部分图象大致为( )
第1页，共4页
5.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则( )
6.已知棱长为 的正方体， 的中心为O，若球O的球面与该正方体的棱有公共点，则球O的表面积的取值范围是( )
A. [3π,6π] B. [3π,9π] C. [6π,9π] D. [6π,12π]
7.已知实数x ，x 为函数 的两个零点，则下列结论正确的是( )
8. 已知函数.f(x)=asinωx+bcosωx(a>0, b>0, ω>0) 在区间 上单调，
且 则不等式f(x)+a>0的解集是 ( )
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若|z|=1, 则z=±1或z=±i
B.若点Z的坐标为(-3，2)，且z是关于x的方程. 的一个根, 则p+q=19
C. z-为纯虚数
D. 若 则点Z 的集合所构成的图形的面积为π
10.下列说法正确的是( )
A.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
B.正方体 中，直线BD 与B C是异面直线
C.用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
D.△ABC在平面α外，其三边所在直线分别和α变于P，Q，R，则P，Q，R一定共线
第2页，共4页
11、如图，直线1 ∥l ,点A是l ,l 之间的一个定点,点A到l1,l 的距离分别为1和2.点B 是直线l 上一个动点.过点A作AC⊥AB，交直线l 于点C，点G满足 则( )
B. △GAB面积的最小值是
C. ||≥1 存在最小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分.
12.已知某圆台的体积为19π，其上、下底面圆的面积之比为4：9，周长之和为10π，则该圆台的高为 .
13. 若a>0且a≠1, 已知 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 .
14.“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”.该不等式指出，若A，B，C是△ABC的三个内角，则对任意实数x,y,z, 有: 不等式的取等条件为：存在实数k，使得x=ksinA,y=ksinB,z=ksinC.根据以上材料,在△ABC中, 2cosA+cosC+cosB的最大值为 , 此时, cosA= .
四、解答题：本题共 5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图，在高为2的正三棱柱 中, AB=2,D是棱AB上的点.
(1)求该正三棱柱的表面积，以及三棱锥. 的体积；
(2)设E 为棱B C 的中点, F为棱BB 上一点, 求AF+EF 的最小值, 此时BF的长度是多少
16.(15分)如图，A，B是某海域位于南北方向相距 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.
(1)求B，C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行 救援船到达C处需要多长时间 (参考数据: cos21.79°=0.93, 角度精确到0.01)
第3页，共4页
17. (15分) 在平行四边形ABCD中, F 是线段AD的中点，
(1)若 AE与BF交于点N, 求x-y的值;
(2)求 的最小值.
18. (17分) 已知函数 对 x∈R, 有
(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中, 已知a=4,f(B)=1, 其面积为 求内角B的角平分线BD的长度；
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点，向右平移 个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，若 求实数m的取值范围.
19.(17分) 设函数y=f(x)的定义域为D, 对于区间.I=[a,b](a(1)求函数 在[2，4]上的增长系数；
(2)若3和4 都是函数 在[-1，1]上的增长系数，求λ的取值范围；
(3)若函数 .在[2，4]上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围
第4页，共4页
