红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试
高一数学试卷
参考答案
一、单选题
1-8 BBADB DBB
二、多选题
9、BCD 10、AB 11、ACD
三、填空题
12、30+ 13、5 14、，
四、解答题
15、（1）
根据⊥,点积为0，即
根据 向量对应分量成比例，即
代入得：
将x = 2, y=-2代入 -1)
模长：
（2）
(3,4)
5
模长：
余弦值：
16、①由 sinC
可得 sinC
由正弦定理，可得
由余弦定理，可得
②由D为边BC的中点，可得
则有
， 又
所以有 整理可得
即 故 则
17、(1)证明: 如图, 连接AC交BD于点O, 连接 把四棱台 补成四棱锥 由棱台的性质，得 ，
分别为SA, SB, SC, SD的中点,
在 中， O分别为SC,A C的中点，
即 又A A 平面C BD, OC 平面C BD
(2)由 (1) 知 故直线. 到平面 的距离即为点A到平面 的距离.
以D为坐标原点，以 的方向分别为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则D(0,0,0), B(6,6,0),
C (0,3,2),A(6,0,0),
设 为平面 的一个法向量，
由
令 得 则点A到平面 的距离
故直线. 到平面 的距离为
18、(1) 因为 对角线CB为钝角 的平分线，
所以
解得 或 (舍) ,
所以
(2)由题意, 在, 中，
由余弦定理可得：
即
整理可得
解得 或 (舍去),
因为 所以
又因为
所以 CO
所以
解得
(3)在 中，由正弦定理可得
即
所以
因为 为钝角，所以
因为 所以
所以
所以
在 中，
由余弦定理可得
解得
因为
所以
19、(1)由离散曲率的定义得：
CPA)
CAP)
ABC)
ACP)
四个式子相加得：
(2)①如图,分别取AC, BC, AP的中点D, E, F, 连接AE, DE, DF, EF,显然有 所以 为异面直线AB与PC的夹角或其补角，设 因为 所以
因为PA⊥平面ABC, AB
, AC, AE, BC 平面
ABC,
所以.
因为 所以
又因为 所以 因为C点处的离散曲率为
且 ACP)
所以
解得
所以
而
在 中， 由余弦定理知，
故异面直线AB与PC的夹角的余弦值为
②如图，过Q点作( 交AB与G,连接CG,
因为 所以 平面ABC,
则 为直线CQ与平面ABC所成的角，
设
在 中， 由余弦定理知，
因为 所以
所以
所以所以
当分母最小时， 最大， 即 最大，此时
即 (Q与P重合) ，
由 得
即
所以 的最大值为
故直线CQ与平面ABC所成的角的最大值为红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试
高一数学试卷
(说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分)
一、单选题 (本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
1. 已知复数z满足 其中i为虚数单位，则z的虚部为 ( )
A. i B. - 1 C. - i D. 1
2.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 已知向量 则在 上的投影向量为 ( )
A. //, //, 则// B. 若 且 则
则与同向 D.若，是非零向量且 则与同向
5.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容积约为( )
A. 100cm B. 200cm C. 300cm D. 400cm
6. 已知α，β表示两个不同的平面， a，b，c表示三条不同的直线，( )
A. 若b//a,a α, 则b//α B. 若a α,b α,c⊥a,c⊥b, 则c⊥α
C. 若a α,b α,a//β,b//β, 则α//β D. 若a⊥α,a∥b, 则b⊥α
7.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 三棱锥O-ABC的体积为 则球O的表面积为( )
A. 36π B. 16π C. 12π
高一数学试卷第1页，共4页
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则 的取值范围为 ( )
A. [-2,20] B. [0,16] C. (0,18] D. [0,24]
二、多选题 (本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
9. 已知复数z ，z ， 下列结论正确的有 ( )
A. 若 则 B. 若 则
C.若复数z 满足 则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆
D. 若 是关于x的方程. 的一个根， 则p=8
10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=1km.一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v 的大小为|v |=20km/h, 水流速度v 的大小为 . 设v 和v 的夹角为θ(0°<θ<180°), 则 ( )
A. 当船的航行时间最短时， θ=90°
B.当船的航行距离最短时，
C. 当θ=30°时，船的航行时间为12分钟
D. 当θ=120°时，船的航行距离为
11.在直四棱柱 中,底面ABCD为菱形, ∠BAD=60°, AB=AD =AA =2,P为CC 中点,点Q 满足 下列结论中正确的是 ( )
A. 若 则四面体A BPQ的体积为定值
B. 若△A BQ的外心为O, 则 为定值2
C. 若 则点 Q 的轨迹长度为
D.若 则存在点E∈A B,使AE+EQ量最小值
高一数学试卷第2页，共4页
三、填空题 (本大题共3小题，每题5分，共15分)
12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°, 且A,B两点间的距离为60m, 则树的高度为 m.
13.在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M, N, 设AB=mAM,AC=nAN , 则4m+n= .
14.在△ABC中， D是AB边上靠近B的三等分点，若
①△ABC面积的最大值 ②BC的最小值 .
四、解答题 (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. (13分)
设x, y∈R, 向量=(x,1), =(1,y), =(2,-4),且⊥, ∥.
(1)求
(2)求向量 与 夹角的余弦值.
16. (15分) 已知△ABC中,
(1)求cosA的值;
(2)D为边BC的中点, 若AD=AB, 求
17. (15分)
如图，在四棱台 中, 底面ABCD是正方形, D D⊥平面ABCD,
(1)求证: A A∥平面C BD;
(2)求直线A A到平面C BD的距离;
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18. (17分)
已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角. 的平分线,CB与AD相交于点 O,AC=5,
(1)求sin∠ACO的值;
(2)求CO的长;
(3)若BC=BD, 求△ABD的面积.
19. (17分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点 P处的离散曲率为 其中
Q (i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点 P相邻的顶点, 且平面Q PQ ,平面Q PQ , …,平面Q PQ 和平面Q PQ 为多面体M的所有以P为公共点的面.
(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图, 已知在三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC, AC⊥BC, AC=BC,三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为
①求直线 PC 与直线AB 所成角的余弦值；
②若点Q在棱 PB上运动，求直线CQ 与平面ABC所成的角的最大值.
高一数学试卷第4页，共4页
