沪科版七下（2024版）10.1.2 垂线及基本事实 学案

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第10章 相交线、平行线与平移
10.1.2 垂线及基本事实
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解垂线的定义及掌握垂线的画法。
2.掌握“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，并能运用其解决简单实际问题。
3.感受垂线在生活中的应用价值，体会数学与生活的紧密联系，培养严谨的数学思维和勇于质疑的科学态度。
学习重点：
垂线的定义、画法及“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实。
学习难点：
引导学生从操作活动中抽象出“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的几何意义，突破从直观感知到逻辑证明的思维瓶颈。
教学过程
一、复习回顾
什么是对顶角？对顶角有什么性质？
二、新知探究
探究一：垂线
教材第129页
将十字街口的两条道路看作两条直线，如右图中的AB和CD，它们相交于点O，形成4个角.如果∠AOC=90°，那么其他三个角的度数各是多少？为什么？
提取概念：
【定义】
垂直：__________________________________________________________________________________
垂足：__________________________________________________________________________________
【联系生活】
日常生活中两条直线垂直的例子很多，如下图所示的地砖间的缝隙线，围棋盘上的方格线等.
你能再举出一些两条直线互相垂直的例子吗？
三、动手操作
探究二：关于垂线的基本事实
教材第130页
操作
1.用折纸方法画垂线.
仿照下图所示的方法，折出经过点P与直线l垂直的折痕，用直尺沿折痕画出直线.
2.用三角板画垂线.
仿照下图的画图办法，过已知直线l上（或外）的一点P画直线，使它与直线l垂直.
思考：1.你能用量角器画垂线吗？
2.过一点画已知直线的垂线，你能画几条？
【归纳】
垂线的基本事实：同一平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直.
注：1.有时，我们说线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段所在直线、射线所在直线与该直线互相垂直。
2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2.如图，已知直线与直线相交于点O，平分，于点O，，则（ ）
A． B． C． D．
3.下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
选做题
4.若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画 条直线与l垂直；过点B能画 条直线与l垂直；过C，D两点（填“能画”“不能画”或“不一定能画”） 一条直线与已知直线垂直.
5.如图，，直线都经过点C．若，则的度数为 ．
6.如图所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合.若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合.你能说出这里面的道理吗 .
【综合拓展类作业】
7.如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．
(1)过点P画的垂线，垂足为D．
(2)过点A画的平行线．
五、课堂小结
这节课你收获了什么
六、作业布置
1.如图，过直线上一点作，直线经过点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，过点P作线段的垂线，垂足在（ ）

A．线段上 B．线段的延长线上 C．线段的反向延长线上 D．直线外
3.下列说法正确的是 （ ）
A．过线段外一点不一定能作出它的垂线
B．过直线m外一点A和直线m上一点B可画一条直线与m垂直
C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D．过任意一点均可作一条直线的垂线
4.如图，直线．相交于点．．平分，平分．
(1)求的度数：
(2)判断射线与之间的位置关系．并说明理由．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解： ∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
3.【答案】C
【解析】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可。
故选：C．
4.【答案】
【解析】过点A能画1条直线与l垂直；过点B能画1条直线与l垂直；
过C，D两点不一定能画一条直线与已知直线垂直.
故答案为：1；1；不一定能画.
5.【答案】45°
【解析】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
6.【答案】过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【解析】解：过A处用细线悬挂一铅锤，则AE过点A且垂直于地面BD，AB也经过点A，若AB垂直于地面BD，根据过一点有且只有一条直线垂直于已知直线可知AE与AB是同一条直线，即AB会重合于AE，反之，AB与AE不重合，因此这里面依据的道理是过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
故答案为：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
7.【答案】【解析】
（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求．
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
，
；
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解:如图所示，垂足在线段的延长线上；
故选：B．

3.【答案】D
【解析】解：A、过线段外一点一定能作出它的垂线，原说法错误，不符合题意；
B、过直线外一点和直线上一点不一定能画一条直线与垂直，原说法错误，不符合题意；
C、过任意一点都可以画一条直线和已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
D、过任意一点均可作一条直线的垂线，原说法正确，符合题意；
故选D．
4．【答案】（1）解：，，
，
平分，
；
（2）解：垂直，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
．
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