沪科版七下（2024版）10.1.3 垂线段及点到直线的距离 学案

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第10章 相交线、平行线与平移
10.1.3 垂线段及点到直线的距离
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解垂线段的概念及“点到直线距离”的定义，能准确识别并画出垂线段。
2.掌握“垂线段最短”的性质，并能运用其解决最短路径问题。
3.感受垂线段在生活中的应用价值，体会数学与生活的紧密联系。
学习重点：
垂线段的概念、“点到直线距离”的定义及“垂线段最短”的性质。
学习难点：
引导学生从具体操作中抽象出“垂线段最短”的几何本质。
教学过程
一、复习回顾
什么是垂线？关于垂线的基本事实是什么？
二、新知探究
探究：垂线段
教材第132页
1.如图，点P在直线l外，在直线l上任意取一些点A，B，C，O，把这些点分别与点P连接，得到线段PA，PB，PC，PO，其中PO⊥l.观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条线段最短？
【归纳】从直线l外一点P向直线l作垂线，垂足记为点O，则线段OP叫作点P到直线l的垂线段.
2.点P在直线l外，把一根细绳的一端用图钉固定在点P处，拉紧细绳，按如图所示步骤进行操作.
思考：观察细绳上的标记点O（垂直拉紧时的垂足）位置的变化，你有什么发现？
思考：结合俩次探究，你有什么发现？
【归纳】
性质：连接直线外一点与直线上各点的线段中，_____________最短．
【定义】
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离．
注意：
(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
(2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
(3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
三、合作交流
如图，沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这位同学的跳远成绩？为什么这样量？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的距离是线段的长度
C．线段是点到的垂线段 D．线段是点到的距离
2.在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.太阳能是指太阳的热辐射能，主要表现就是常说的太阳光线，一般用作发电或为热水器提供能源．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由A向B行驶，如图，O是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
选做题
4.A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走的路线如图所示，假设四人的速度相等，则C同学最先通过了马路，原因是 ．
5.如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ．
6.如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．

【综合拓展类作业】
7.如图，从点A向引三条线段，且，．

(1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________．
(2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离．
五、课堂小结
这节课你收获了什么
六、作业布置
1.在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）
A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直 D．测量跳远成绩
2.如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短
3.如图，在直角三角形中，，于点，下列结论正确的是（　　）
A．线段，，中，最短的是
B．若，，，则
C．能表示点到直线（或线段）距离的线段有3条
D．线段CB的长度是点C到AD的距离
4.如图，相交于点平分．

(1)线段_______的长度表示点到的距离；
(2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______；
(3)若，求的度数．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：A．点到的垂线段是线段，正确，故选项不符合题意；
B．点到的距离是线段的长度，正确，故选项不符合题意；
C．线段是点到的垂线段，正确，故选项不符合题意；
D．点到的距离是线段的长度，不是线段，不正确，故选项符合题意；
故徐娜：D．
2.【答案】D
【解析】解：四个图形中，都不是过点B作线段所在直线的垂线段
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：由图可知：最短，
所以当汽车行驶到处时村庄听到宣传车内容最清晰，
故选：B．
4.【答案】垂线段最短
【解析】解：由题意可知，最先通过马路的是C同学，原因是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
5.【答案】5
【解析】解：∵，即，
又，
∴点C到直线的距离是5，
故答案为：5．
6.【答案】，
【解析】解：，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
．
故答案为：．
7.【答案】【解析】
（1）解：∵
∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短；
（2）解：∵，，，，，
∴，即，
∴，
∴点A到线段的距离为．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解： 如图，，
由图可知，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点B到点D 的摆动过程中，点A到直线的距离越来越小，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；小球从D到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点D到点C的摆动过程中，点A到直线的距离越来越大，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小；
综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：A、线段，，中，由垂线段最短可知最短的是，选项结论错误，不符合题意；
B、若，，，则，选项结论正确，符合题意；
C、能表示点到直线（或线段）距离的线段有、、、、共5条，选项结论错误，不符合题意；
D、线段的长度是点到的距离，选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
4．【答案】【解析】
（1）解：线段的长度表示点M到的距离；
故答案为：；
（2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短；
故答案为：>；垂线段最短；
（3）解：平分，
，
．
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