第二十六章二次函数同步练习（含解析）

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第二十六章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y＝x2﹣2x＋1与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．某商品进货价为每件10元，售价每件50元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若想每天盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m=,n= B．m=5，n= -6 C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2
5．已知二次函数的图象上有三个点）、、，若，则（ ）.
A． B． C． D．
6．已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1，y2大小不确定
7．二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最小值5 C．最大值-3 D．最小值-3
8．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是( )
A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2
9．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )
A．x=3 B．x=－3 C．x= D．x=－
10．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
11．二次函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
12．对于抛物线y＝－（x－5）2＋3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标是(5，3) B．开口向上，顶点坐标是(5，－3)
C．开口向下，顶点坐标是(－5，3) D．开口向上，顶点坐标是(－5，－3)
二、填空题
13．抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180 所得的抛物线的解析式是 ．
14．抛物线的图象是用 法画出的．
15．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为 ．
16．抛物线可以看成由抛物线向 平移 个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
17．将变成的形式：＝ ；
二次函数的对称轴为：x＝ ，顶点坐标为( )
三、解答题
18． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
19．已知函数与反比例函数y=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，求此两个函数的解析式.
20．某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
21．已知抛物线的对称轴是直线x=2，该抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式．
22．已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到）
24．某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下：
销售单价x（元/件） … 20 25 30 35 …
每月销售量y（万件） … 60 50 40 30 …
（1）求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）求出每月的利润z（万元）与销售单x（元）之间的函数关系式．
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么并求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=售价﹣制造成本）
《第二十六章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D D B A A C A
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】当时，求出与轴的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与轴的交点个数．
【详解】解：当时，，则与轴的交点坐标为，
当时，，
，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线与轴有1个点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个．
故选C．
【点睛】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标．
2．B
【分析】根据降价x元，用x表示出降价后的销量和售价，再根据利润=销量（售价-成本）列式．
【详解】解：每件降2元，平均每天多销售4件，
那么每件降x元，平均每天多销售件，此时销量为件，售价是元，
根据利润=销量（售价-成本），列式：，即．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数应用题的列式，解题的关键是抓住：利润=销量（售价-成本）这个公式去列式．
3．C
【分析】根据图象，直接代入计算即可解答
【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．

故选：C．
【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
4．D
【分析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.
【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴，
解之得，
故选D.
【点睛】本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.
5．D
【分析】根据已知得出（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，抛物线的开口向上，求出对称轴是直线x=1，根据-1＜0＜1＜3即可求出答案．
【详解】解：∵y1=y3，
∴（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，
∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x==1，且二次函数图象的开口向上，
∵x=0时，y=c，
-1＜0＜1＜3，
∴y2＜c＜y1，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是能求出对称轴和根据二次函数的性质求解．
6．B
【分析】分别求出和的值即可得到答案．
【详解】解：∵点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上，
∴，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出和是解题的关键．
7．A
【分析】先把二次函数配方变为顶点式，由于，该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是即可．
【详解】解：．由于，
所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是．
所以该抛物线有最大值，且最大值是5．
故选择：A．
【点睛】本题考查二次函数图像性质．会用配方法把抛物线变为顶点式就出最大值是解题关键．
8．A
【详解】试题解析：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜-1．
故选A．
考点：二次函数的性质．
9．C
【详解】点( 2, 3)和(5, 3)都是抛物线y=ax +bx+c上的点，得
( 2, 3)、(5, 3)关于对称轴对称，
即对称轴过( 2, 3)、(5, 3)的中点，
x=，
故选C.
10．A
【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断．
【详解】解：A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. y＝2x-3，属于一次函数，故本选项错误；
D. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0．
11．C
【分析】直接把二次函数的一般式化为顶点式即可排除选项．
【详解】解：由二次函数可得：，
∵，
∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．A
【分析】根据顶点式的特点即可求解．
【详解】抛物线y＝a（x＋h）2＋k的开口方向由a的符号确定，顶点坐标为(－h，k)．
故抛物线y＝－（x－5）2＋3，开口向下，顶点坐标是(5，3)
故选A．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知抛物线y＝a（x＋h）2＋k的开口方向由a的符号确定，顶点坐标为(－h，k)．
13．y = -2
【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．
【详解】将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
化为一般式，得
y=﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为y=﹣2x2﹣4x﹣3．
14．描点
【解析】略
15．
【分析】根据点B在抛物线y=x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2=6，解方程求出x的值，再求出OB的长即可得到结论．
【详解】解：连接OB，如图，
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2=6，
解得x1=2，x2=-3（不合题意舍去），
∴B（2，4），
∴OB2=22+42=20，
∴
∵四边形OABC是正方形，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．
16． 右 1
【分析】根据二次函数图像的平移及定点式的性质即可得到答案．
【详解】解：抛物线可以看成由抛物线向右平移1个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：右，1，，．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移法则及顶点式的性质，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
17． ，
【解析】略
18．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【详解】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
19．，y=
【分析】交点的横坐标为-2应适合两个函数，分别代入两个函数组成方程组求解，再根据反比例函数在第二象限内，有2m+4＜0，进而得到m的准确值.
【详解】解：∵交点的横坐标是-2，
∴，
解得m=2或m=-7，
又∵交点在第二象限，
∴2m+4＜0，即m＜-2，
∴m=-7.
故函数解析式为y=－4x2+14x+49，
反比例函数解析式为y=.
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，关键在于利用交点横坐标适合两个函数来组成方程组，然后根据反函数的性质判断系数的取值范围，进而确定函数系数的准确值，写出函数解析式.
20．（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
21．
【分析】由对称轴可求得m的值，再把与y轴的交点坐标代入可求得a的值．
【详解】∵抛物线y＝a（x＋m）2，
∴对称轴为x＝ m，
∵抛物线对称轴是x＝2，
∴m＝ 2，
∴抛物线解析式为y＝a（x 2）2，
∵抛物线与y轴的交点是（0，8），
∴8＝a（0 2）2，
解得a＝2．
∴这个二次函数的解析式是y=2(x 2)2
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
22．（1）（，3）；（2）；（3）存在，（，）．
【分析】（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可．
（2）把C（，3）、A（，0）代入得到方程组，求出方程组的解即可．
（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，据此列式求解．
【详解】解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=．
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=，∠AOC=60°．
∴OH=，CH="3" ．
∴C的坐标是（，3）．
（2）∵抛物线经过C（，3）、A（，0）两点，
∴，解得．
∴此抛物线的解析式为
（3）存在．
∵的顶点坐标为（，3），即为点C．
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E．
把代入得：．
∴ M（，），E（，）．
同理：Q（，t），D（，1）．
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即，解得：，（舍去）．
∴ P点坐标为（，）．
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）．
23．当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为
【分析】先设圆半径、矩形的宽和窗户的面积，再根据给出的已知条件列出它们的函数关系式，根据函数关系式来求最大值．
【详解】解：∵，
∴．
∵，且，
∴．
设窗户的面积是，则
．
∴当时，．
因此，当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为．
【点睛】本题主要考查二次函数在实际生活中的应用，其中涉及圆的周长、矩形周长的计算和求最值的问题．
24．（1）y=﹣2x+100；（2）z=﹣2x2+136x﹣1800；（3）当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元.
【分析】(1)首先设函数解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求出函数解析式；
(2)根据总利润=单件利润×数量得出函数解析式；
(3)首先根据成本不超过900万元得出x的取值范围，根据销售利润率不能高于50%得出x的取值范围；然后将二次函数进行配方成顶点式，最后根据二次函数的性质得出最大值．
【详解】(1)解：设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，60），（30，40）代入y=kx+b得 ，
解得： ，
∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=﹣2x+100；
(2)解：由题意得，z=y（x﹣18）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800；
（3）解：∵厂商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元，
∴每月的生产量为：小于等于=50万件，
y=﹣2x+100≤50，
解得：x≥25，
又由销售利润率不能高于50%，得25≤x≤27，
∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴左侧z随x的增大而增大，
∴x=27时，z最大为：414万元．
当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元. ．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与二次函数的实际应用问题，属于中等难度题型．利用待定系数法求函数解析式以及理解二次函数的增减性是解题的关键．
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