26.1二次函数同步练习（含解析）

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26.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积，棱长xm
B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
2．下列函数中属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
4．以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
5．当函数是二次函数时，a的取值为（　　）
A． B． C． D．
6．若函数是二次函数，则常数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．若是二次函数，则a的值是（　　）
A． B． C．2 D．不能确定
8．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　）
A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数
B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数
C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数
D．以上说法都不对
9．三角形的一边长与这边上的高都为xcm，其面积是ycm2 ， 则y与x的函数关系为（ ）
A．y=x2 B．y=2x2
C．y= x2 D．y= x2
10．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（　　）
A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2
C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2
11．若是二次函数，那么　　
A．或 B．且 C． D．
12．线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
二、填空题
13．正方形的边长是，如果边长增加，面积就增加，那么与之间的函数关系式为 ．
14．当 时，函数是二次函数．
15．若函数是二次函数，则m＝ ．
16．圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为 ．
17．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足 ．
三、解答题
18．已知函数．
(1)当m为何值时，y是x的二次函数
(2)当m为何值时，y是x的一次函数
19．若函数是二次函数．
(1)求的值．
(2)当时，求的值．
20．如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时，？
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
22．已知：．
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？
(2)当m为何值时，y是x的二次函数？
(3)当m为何值时，y是x的反比例函数？
23．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件．
如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？
如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？
用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？
24．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？
．
《26.1二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C D D B D C C
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．
【详解】A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答．
【详解】A、y=x2+x，是二次函数；
B、y=，不是二次函数；
C、y=﹣2，不是二次函数；
D、不是整式，不是二次函数；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的定义．
3．D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
4．C
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
5．D
【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题.
【详解】解：∵是二次函数,
∴a-1≠0,
解得：a≠1,
故选你D.
【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.
6．D
【分析】根据二次函数的定义即可得到答案．
【详解】解：函数是二次函数，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的二次项系数不等于0是解题关键．
7．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得且，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
且，
解得：，
故选：B．
8．D
【分析】根据二次函数和一次函数的定义解答即可．
【详解】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误；
B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误；
C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误；
D、以上说法都不对，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，熟记各定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）是二次函数，形如y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）是一次函数．
9．C
【分析】根据三角形的面积公式：面积=×底×高，因此y=×x×x=x2，因此可以得到函数解析式．
【详解】由三角形的面积公式=×底×高得：y=x2．
故选C．
【点睛】本题中掌握好三角形的面积公式是解题的关键所在，要注意的是不要丢掉三角形面积公式中的．
10．C
【分析】根据二次函数的相关定义进行辨别即可．
【详解】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，
∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键．
11．D
【分析】根据的定义，得-1=2,即可解题．
【详解】∵
∴且
又-1=2,
解得=3或=
综上，
【点睛】本题考查了二次函数的定义形式，属于简单题，熟悉二次函数定义是解题关键.
12．C
【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,
故y=4t，S=（5-t）2
故选择：C
【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．
13．
【分析】根据增加的面积=新正方形的面积-边长为4cm的正方形的面积，求出即可．
【详解】由题意得：
y=（x+4）2-42
=x2+8x．
故答案为y=x2+8x
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数解析式，解题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．
14．2
【分析】根据二次函数的定义计算即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义即形如，熟练掌握定义是解题的关键．
15．－1
【详解】解：由二次函数的定义可知：，解得：m=-1．
故答案为-1．
【点睛】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．
16．
【分析】圆增加的面积=新圆的面积-半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可．
【详解】解：新圆的面积为π×（x+1）2，
∴y=π×（x+1）2-π×12=πx2+2πx．
故答案为．
【点睛】解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．
17．k≠2
【分析】利用二次函数定义可得2﹣k≠0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：2﹣k≠0，
解得：k≠2，
故答案为：k≠2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项的系数不为0，自变量的最高次数为2，求解即可；
（2）根据一次函数的概念，一次项系数不为0，二次项的系数为0，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵y是x的二次函数，
∴，
解得：，
∴当时，y是x的二次函数．
（2）解：y是x的一次函数，
∴，且
由得：，
由得：，，
∴，
∴当时，y是x的一次函数．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，列出关于m的方程或不等式．
19．(1)；
(2)．
【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解；
（）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解；
本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，且，
解得；
（2）解：把代入得，，
∴当时，．
20．（1）；（2）；（3）当t为2或3时，．
【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；
（2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；
（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由条件可得：，，
∴，
∴，；
（2）当时，，，
∴；
（3）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∴当t为2或3时，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．
21．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；
（2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.
（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：
AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，
∵PD=PE，∴解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
【点睛】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.
22．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可；
（2）根据正二次函数的定义求解即可；
（3）根据反比例函数的定义求解即可；
【详解】（1）解：根据题意，得，解得，
∴时，y是x的正比例函数．
（2）解：根据题意，得，
解得或，
即或时，y是x的二次函数．
（3）解：根据题意，得，
解得，
即时，y是x的反比例函数．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义、二次函数的定义、反比例函数的定义，熟知这些函数的表达式结构是解答的关键．
23．（1）如果每件衬衫降价元，商场每天赢利元；每件衬衫应降价元．每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多．
【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，（1）把x＝5代入求得相应的w的值即可；（2）再求当w＝1200时x的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
【详解】（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w＝（40 x）（20＋2x）＝ 2x2＋60x＋800＝ 2（x 15）2＋1250
当x＝5时，w＝ 2（5 15）2＋1250＝1050（元）
答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；
当时，，
解之得，．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价元．
答：每件衬衫应降价元．
商场每天盈利
．
所以当每件衬衫应降价元时，商场盈利最多，共元．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多．
【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键．
24．和是二次函数
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：是关于的二次函数；
不是二次函数；
是一次函数，不是二次函数；
是关于的二次函数，
故和是二次函数．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．
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