26.2二次函数的图像与性质同步练习（含解析）

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26.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
2．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，12，20
B．2x2，-12，20
C．2，-12，20
D．2，-12x，20
3．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数y＝的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（　　）
A．c＜1 B．c＝1 C．c＞1 D．c≤1
5．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向上，顶点坐标为
C．开口向下，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为
7．下在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后经过点和点，则所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．图形顶点坐标为(﹣2，﹣1)，对称轴为直线x＝2
B．当x＜2时，y的值随x的增大而减小
C．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．图象与x轴的两个交点之间的距离为2
9．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，其中C1的解析式为，则C2的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2．上述说法正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④
12．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若事件“对于二次函数y=x2﹣2mx+1，当x≤1时，y随着x的增大而减小．”是必然事件，则实数m的取值范围是 ．
14．抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
15．定义：给定关于的函数，对于该函数图像上任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有 （填上所有正确答案的序号）
（1）；（2）；（3）；（4）
16．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ．
17．二次函数y=x2+4x﹣3中，当x=﹣1时，y的值是 ．
三、解答题
18．请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x2-5x＞0．
解：设x2-5x＝0，解得：x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2-5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝x2-5x的大致图象（如图所示）．由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2-5x＞0．
所以一元二次不等式x2-5x＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　 　和　 　．（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
19．抛物线y＝x2－5是由抛物线y＝x2经过怎样的平移得到的，并求：
（1）顶点坐标、对称轴及函数值y随x的变化情况；
（2）函数的最大（小）值．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点为抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标．
（3）若将沿射线方向平移，平移后的三角形记为，连接，直线交抛物线于点，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点横坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线（为常数）．
(1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标．
(2)当时，求抛物线顶点到轴的最小距离．
(3)当时，点为该抛物线上的两点（非轴上的点），顶点为，直线的解析式为，直线的解析式为，若，求直线与轴的交点坐标．
22．已知二次函数试证明：不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点
23．已知二次函数y＝x2+(3-)x-3(m>0)的图象与x轴交于点 (x1, 0)和(x2, 0),且x1（1）求x2的值;
（2）求代数式的值.
24．如图，在，且点B的坐标为，点A的坐标为.
（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）求出以点为顶点，并经过点A的二次函数关系式.
《26.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C A A A A B A
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论．
【详解】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=（x－1+2）2+1﹣3，即y=（x+1）2﹣2．
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
2．C
【详解】∵，
∴二次项系数为2，一次项系数为-12，常数项为20．
故选C．
3．D
【分析】根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案；
【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转，
∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，
∴旋转后的抛物线：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称．
4．C
【分析】先根据分式的意义，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．
【详解】解：由题意，得△＝（﹣2）2﹣4c＜0，
解得c＞1．
故选C．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．
5．A
【详解】解：∵函数的解析式是，如图，
∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴点A关于对称轴的点A′是，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，
∴于是，
故选A．
6．A
【分析】根据二次函数的图形和性质可直接得出答案．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知抛物线的开口方向由a的符号确定，顶点坐标为．
7．A
【分析】设二次函数的图像平移后得到的解析式为：，代入和点，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：二次函数的图像平移后得到的解析式为：，
∵经过点和点
∴
解得
∴二次函数的图像平移后得到的解析式为：
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．A
【分析】根据抛物线图象的性质和特点即可求解．
【详解】解：A．图形顶点坐标为(2，﹣1)，对称轴为直线x＝2，故A错误，符合题意；
B．抛物线开口向上，故当x＜2时，y的值随x的增大而减小，正确，不符合题意；
C．y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2﹣1，故C正确，不符合题意；
D．令y＝（x﹣2）2﹣1＝0，解得：x＝1或3，故图象与x轴的两个交点之间的距离为2正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考核知识点：顶点式二次函数性质.掌握顶点式二次函数性质和图象特点是关键.
9．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x=1，
∴，
∴，
∴，故①正确；
根据题意得：抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故②正确；
∵对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的另一个交点位于x轴负半轴，
当x=2时，y<0，即，故③错误；
根据题意得：当x=-1时，y>0，即
∵，
∴，故④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数值最小，最小值为a+b+c，
∴当x=m时，，
∴，故⑤正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误；
∴错误的有2个．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，理解二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
10．A
【分析】关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称，再结合关于原点对称的两个点的坐标关系可得答案.
【详解】解：∵抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，C1的解析式为，
∴C2解析式为：
整理得：
故选：A.
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称”是解本题的关键.
11．D
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b＝﹣a；
③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（0，y1）关于直线x＝ 的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝ ，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0．4a+2b+c=0;
故③错误；
④∵（0，y1）关于直线x＝ 的对称点的坐标是（1，y2），
∴y1＝y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
12．D
【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键．
13．m≥1
【分析】先算出二次函数的对称轴，然后根据已知条件及二次函数的图象可以得到解答．
【详解】对于二次函数y=x2﹣2mx+1，对称轴为x=m．
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
∴实数m的取值范围是m≥1．
故答案为：m≥1．
【点睛】本题考查二次函数、一元一次不等式及概率的综合运用，熟练掌握和理解二次函数图象及其增减性、一元一次不等式解集在数轴上的表示及必然事件的含义是解题关键．
14．
【分析】根据抛物线的顶点式，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 是解题的关键．
15．（3）
【分析】根据所给的定义，把x1和x2分别代入函数解析式进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴在（1）中，，，此时，不是偶函数；
在（2）中，，，此时，不是偶函数；
在（3）中，，，此时，是偶函数；
在（4）中，，，此时，不是偶函数；
∴是偶函数的为（3），
故答案为：（3）．
【点睛】本题为新定义题目，理解题目中偶函数的定义是解题的关键．
16．y=2（x+2）2﹣2．
【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律可得抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．
故答案为y=2（x+2）2﹣2．
17．﹣6
【详解】解：当x= 1时，y=1 4 3= 6，
故答案为 6．
18．(1)①③
(2)﹣1＜x＜3．
【分析】（1）解答过程将求一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想；
（2）先求方程x2-2x-3=0的解，再结合二次函数y=x2-2x-3的大致图象，根据图象在x 轴下方的部分确定x的取值范围即可得不等式的解集．
【详解】（1）解：根据示例可知，将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想，
故答案为：①③；
（2）解：解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
解：设x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3，
则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．
画出二次函数y=x2-2x-3的大致图象（如下图所示）．
由图象可知：当-1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2-2x-3＜0．
所以一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集为：-1＜x＜3．
【点睛】本题考查的二次函数与一元二次不等式的关系，根据转化思想将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关键．
19．（1）(0，－5)；y轴；x＜0时，函数值y随x的增大而减小，x＞0时，函数值y随x的增大而增大（2）最小值－5，无最大值
【分析】根据二次函数的图象及性质可以得到：函数图象的平移规律为“左加右减，上加下减”，上下平移即为常数项的加减；
（1）抛物线写成顶点式即为，即可得出顶点坐标，对称轴，且抛物线开口向上，增减区间也可写出；
（2）随着x的增大，二次函数先减后增，故函数有最小值，没有最大值，最小值即为顶点的y值．
【详解】解：∵根据二次函数的图象及性质可以得到：函数图象的平移规律为“左加右减，上加下减”，上下平移即为常数项的加减，
∴抛物线是由抛物线向下平移5个单位得到的．
（1）抛物线写成顶点式即为，
∴顶点坐标是(0，-5)；对称轴是y轴；
又∵抛物线开口向上，
∴x＜0时，函数值y随x的增大而减小；x＞0时，函数值y随x的增大而增大．
（2）∵随着x的增大，二次函数先减后增，故函数有最小值，没有最大值，最小值即为顶点的y值，
∴当x＝0时，函数有最小值-5，无最大值．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质、图象的平移、函数的最值，解题的关键在于将函数写成顶点式，即可快速得出函数的顶点、对称轴、最值、增减区间．
20．（1）直线的解析式为：；（2）；（3）或或或．
【分析】（1）根据抛物线与x轴和y轴的交点分别纵坐标为0和横坐标为0求得A、B、C坐标，设直线BC的解析式为：，代入B、C坐标即可求得BC解析式；（2）两三角形均以AB为底，根据A、B坐标求得线段AB长度，根据C点纵坐标可求，再根据已知面积关系可得P点到x轴距离为4，最后讨论P在x轴上下位置都在抛物线上，满足解析式，列式求横坐标即可；（3）根据平移可知，即可得证，通过A点坐标即可求得直线AM的解析式和M点坐标，根据点到点距离公式可求AM距离，P再射线CB上，根据BC直线解析式设，分类讨论 两两相等，再次利用点到点的距离公式即可得出5个P点坐标，因为沿射线方向平移，P点横坐标大于0故舍去．
【详解】解：（1）当时，抛物线与y轴交于点C，
则，点C坐标为：（0，－3），
当时，抛物线与x轴交于A、B，
∴
解得，，
∴A坐标为：（－1，0），B坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：，则
解得 ，
∴BC的解析式为： ．
（2）由（1）可知A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3），
∴，，
∴，
∵，
∴P到x轴的距离为：，
当P点纵坐标为4时，代入抛物线解析式得：
，解得，
当P点纵坐标为－4时，代入抛物线解析式得：
，解得，
∴，此时点的坐标为：（，4）、（，4）或（1，－4）．
（3）存在点，使得为等腰三角形．
∵沿射线方向平移，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴，
设直线AM的解析式为：，且过A（－1，0），
即，解得，
∴直线AM的解析式为：，
联立直线AM与抛物线解析式得：
解得 或，
∴M点坐标为（4，5），
即，
设，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
当时，
解得（舍去），
∴沿射线方向平移，为等腰三角形时，
点横坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数解析式、二次函数综合、图形的平移、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、坐标系两点间的距离、分类讨论等．这类题目综合性强，难度相对较大，计算繁琐，要求学生对各个知识点都能掌握．
21．(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)10
(3)
【分析】（1）将代入到抛物线解析式，并将其转化为顶点式即可；
（2）将代入到抛物线解析式，并将其转化为顶点式可得，确定抛物线的顶点坐标为，可知抛物线顶点到轴的距离为，由于当 时，随的增大而增大，故计算当时的值即可；
（3）当时，抛物线的解析式为，可确定D点坐标，进而得到直线的解析式为，直线的解析式为；然后根据点A、B在抛物线上可设点、点，结合AD、BD两条直线解析式可得；再设直线的解析式为，根据题意可得、是方程的两根，由一元二次方程根与系数的关系可解得，进而得到直线与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：由抛物线的解析式，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点到轴的距离为，
∵当 时，随的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
∴抛物线顶点到轴的最小距离为10；
（3）解：由题意可得，当时，抛物线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
∴可设，，
∴，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
由题可得、是方程的两根，
化简，得，
∴，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般式转化为顶点式、抛物线的性质、利用待定系数法求解一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键．
22．见解析
【分析】根据二次函数对应的一元二次方程根的判别式进行求解即可
【详解】证明：由题意，知二次函数对应的方程的判别式为．
因为，所以，即，
所以不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点问题，准确分析计算是解题的关键．
23．（1）1；（2）3.
【详解】分析：（1）令y=0，得到关于x的一元二次方程x2+（3-）x-3=0，再利用因式分解法解二元一次方程即可求出两交点的坐标，然后根据x1＜x2即可得解；
（2）根据（1）的结论，先整理得到x12+（3-）x1=3，再把x1的值代入进行计算即可得解．
详解：（1）∵二次函数y=x2+（3-）x-3 （m＞0）的图象与x轴交于点 （x1，0）和（x2，0），
∴令y=0，即x2+（3-）x-3=0，
（x+3）（x-1）=0，
∵m＞0，
∴＞0，
解得x=1或x=-，
∵x1＜x2，-＜0＜1，
∴x2=1；
（2）由（1）x1=-，得x1=-3，
∵x1=-是方程x2+（3-）x-3=0的根，
∴x12+（3-）x1=3，
∴mx12+x12+（3-）x1+6x1+9=mx12+3+6x1+9，
=m （-）2+3+6×（-）+9，
=9+3-18+9，
=21-18，
=3．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，通常令y=0，求关于x的二元一次方程得到交点，（2）题先利用方程的概念把代数式化简然后再代入x1的值进行计算更加简便．
24．（1）详见解析，；（2）
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出、的坐标，然后描点即可得到；
（2）设顶点式抛物线的顶点B1的坐标为（-4，-2），然后把A点坐标代入求出a即可．
【详解】（1）如图，为所作，点的坐标为；
（2）∵抛物线的顶点的坐标为，
∴抛物线的解析式可设为，
把代入得，解得，
∴抛物线的解析式可设为.
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
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