27.1圆的认识同步练习（含解析）

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27.1圆的认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正三角形的三个顶点均在上，动点在上，且不与点重合，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（ ）
A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形
3．在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（ ）
A．圆的直径互相平分
B．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（　　）
A． B．3 C．2 D．4
6．如图，上有两点A与P，且，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦的长度与时间的函数关系的图象可能是( )
A．① B．③ C．①或③ D．②或④
7．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（ ）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
8．如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知的直径弦，垂足为，，若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，是半⊙的直径，点是弧的中点，D为弧BC的中点，连接，于点．则（ ）

A．3 B． C． D．
11．如图，点A，B，C在⊙O上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 叫做弧.
14．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
15．如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为 ．
16．如图，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是 ．
17．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是
三、解答题
18．如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为．居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？
19．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
20．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
21．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，．
（1）求的度数；
（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．
23．下面是娜娜设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：RT△ABC，
求作：AB上作点D，使∠BCD=∠A．
作法：如图，以AC为直径作圆，交AB于D，所以点D就是所求作的点；
根据娜娜设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：∵AC是直径
∴∠ADC=90°（______）（填推理的依据）
即∠ACD+∠A=90°，
∵∠ACB=90°，
即∠ACD+_______=90°，
∴∠BCD=∠A（_______）（填推理的依据）．
24．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：∠AOC=∠BOD；
（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
《27.1圆的认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B C C B B C C
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】根据等边三角形的性质求出，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：为正三角形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，解题关键是熟练掌握同弧所对的圆周角相等性质．
2．D
【分析】根据顺次连接圆内两条直径的4个端点，得出四边形的对角线相等且互相平分，即可得出四边形的形状；接下来根据圆的直径所对的圆周角是直角，结合上步得到的结论即可进一步确定四边形形状.
【详解】∵顺次连接圆内两条直径的4个端点，
∴此四边形的对角线相等且互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵直径所对的圆周角等于90°，
∴所得的四边形一定是矩形．
故选：D．
【点睛】考查圆周角以及矩形的判定，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
3．D
【分析】根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性．
【详解】解：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴．
故选：D
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握圆的对称轴为直径所在的直线或过圆心的直线．
4．B
【详解】∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
5．C
【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．
【详解】解：设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°，，
∴∠C=∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC cos30°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，也考查了解直角三角形．题目难度不大．
6．C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，两种情况讨论即可
【详解】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和O，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，
②点P没有回到原来的位置，应排除．
④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．
如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和O，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．
故选C
7．B
【详解】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,
所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,
即
故选B
考点：同一弧所对的圆周角与它所对圆心角的关系.
8．B
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
9．C
【分析】连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于的直径弦，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
【详解】解：连结OA，
∵，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵的直径弦，
∴AE=BE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OAsin45°=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数等知识．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．C
【分析】连接，，，在上取一点，使得，连接．证明，，可得结论．
【详解】解：如图，连接，BC、．

∵是直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在上取一点，使得，连接．
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：C
【点睛】本题考查圆圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知上述的定理或推论是解题的基础，根据题目特征，在EA上取点T，构造出两个特殊三角形和是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
12．C
【详解】解：如图，过C作CM⊥AB，交AB于点M，
由垂径定理可得M为AD的中点，
∵，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴．
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：，
∴
（舍去负值）．
∴．
故选C．
13．圆上任意两点间的部分
【详解】圆弧的相关概念.
答案为: 圆上任意两点间的部分.
14．4
【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．
【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴，，
∴根据垂径定理
在中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴线段PE的最小值是4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．
15．
【分析】本题考查圆周长公式，平面直角坐标系坐标表示．根据题意先求出圆周长即可得到本题答案．
【详解】解：∵半径为1的圆，
∴圆周长为：，
∴圆心的坐标为：．
16．60°
【分析】首先连接OC，由OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，根据等边对等角的性质，可求得∠OCB与∠OCA的度数，即可求得∠ACB的度数，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数．
【详解】连接OC，
∵OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠OCA=∠OAC=15°.
∴∠ACB=∠OCB﹣∠OCA=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°.
故答案为60°
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17．6
【详解】由题意，得
该圆的半径为：. 理由如下.
如图，设圆心为点O，该圆内的点为点P，过点P作直径CD，过点P作弦AB⊥CD.
不妨在圆周上任意取异于点D与点C的两点D1，D2. 连接OD1，OD2，PD1，PD2.
设该圆的半径为r，则OD=OC=OD1=OD2=r.
点P到点D的距离PD=OD-OP=r-OP，点P到点C的距离PC=OC+OP=r+OP.
∴PC>PD.
在△OPD1中，PD1>OD1-OP=r-OP=PD；在△OPD2中，PD2>OD2-OP=r-OP=PD.
∴PD1>PD，PD2>PD，PC>PD.
∴点P到点D的距离PD是点P与圆周上的点的最小距离.
在△OPD1中，PD1∴PD1∴点P到点C的距离PC是点P与圆周上的点的最大距离.
综上所述，对于圆内的一点，它到圆周上的点的最大距离与最小距离之和恰好等于圆的直径，故该圆的半径为上述最大距离与最小距离之和的一半.
故本题应填写：6.
点睛：
本题综合考查了圆的相关性质. 利用三角形三边的关系可以证明：若已知圆内一点到圆周上的点的最大距离和最小距离，则该圆的半径等于上述最大距离与最小距离之和的一半；若已知圆外一点到圆周上的点的最大距离和最小距离，则该圆的半径等于上述最大距离与最小距离之差的一半. 另外，三角形三边的关系是解决平面几何中最值问题的一个重要方法，需要充分理解和掌握.
18．居民楼会受到噪声的影响，17.3s
【分析】过点A作AB⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出AB的长与200m相比较即可；过点A作AD=OA=200m，求出OD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：过点A作AB⊥MN，AB是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方，
∵∠QON=30°，AO=200m，
∴AB=OA=200×=100m＜200m，
∴居民楼会受到噪音的影响；
∵OA=200m，
∴以A为圆心，OA为半径作圆，交MN于D，
则OA=AD=200(m)，
∵AB⊥OD，
∴OB=BD，
∵在Rt△AOB中，OB==100(m)，
∴OD=2BO=200(m)，
∵火车行驶的速度为72km/h=20m/s，
∴≈17.3(s)．
答：居民楼受噪音影响的时间为17.3 s．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．证明见解析
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【详解】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，
∴∠BOC＝∠AOD，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
21．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；
（2）①由题意知点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，此时当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；
②当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为EC的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，
∠B=∠EB′C=90，
①点B′在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②B′M=MN- B′N=
=
=；
③B′D=，
∴△DB'C为等边三角形；
故答案为：①BE，②，③等边；
（2）①∵AB=3=3AE，
∴AE=1，BE=2，
故点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，
∴当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值；
②∵∠AQP=∠AB'E，
∴PQ∥B'E，
∵P为AE的中点，
∴Q为AB'的中点，
∴PQ为△AEB'的中位线，
∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，
∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，
且最小值为EC的长，
∴EC=，
∴B'C+2PQ的最小值为．
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
22．（1）60°；（2）
【分析】（1）连结，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数；
（2）首先根据角所对的直角边是斜边的一半求得，然后根据勾股定理求出BD的长度，利用面积法求出DE的长度，最后根据垂径定理即可求出EF的长度．
【详解】解：（1）如图所示，连结，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，且是直径，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理，垂径定理的运用，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是连接BD，得到．
23．见详解
【分析】根据直径的性质可得∠ADC＝90°，再利用同角的余角相等即可得证．
【详解】证明：∵AC是直径
∴∠ADC＝90°（直径所对圆周角为直角）
即∠ACD＋∠A＝90°，
∵∠ACB＝90°，
即∠ACD＋_∠BCD _＝90°，
∴∠BCD＝∠A（同角的余角相等）．
【点睛】本题考查了直径的性质及同角的余角相等，熟练运用相关性质是解决本题的关键．
24．（1）证明见试题解析；（2）AC=BD，证明见试题解析．
【分析】（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等边对等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性质可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，从而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相减，差相等可得∠AOC=∠DOB；
（2）过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理有AE=EB，CE=ED，于是AE-CE=BE-DE，即AC=BD．
【详解】试题解析：
（1）∵AO=OB,OC=OD
∴∠A=∠B,∠OCD=∠ODC
∴∠OCA=∠ODC
∴△ACO≌△ODB
∴∠AOC=∠DOB
（2）过O作OE⊥AB于E
∴AE=EB,CE=ED
∴AC=BD
考点：等边对等角,三角形外角性质,垂径定理
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