重庆南开中学高2027级高一(下)期中考试
数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数 则z的虚部为( )
A. 1 B. - 1 C.
2. 已知△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 则a=( )
A. 4 D.
3.已知向量a，b满足 且 则
4.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为( )
A. 1:1 B. 1:2 C. 2:3 D. 3:2
5. 已知的部分图像如图所示，则 的值为( )
A. 1
D. 2
6. 已知复数z满足|z+2-i|=2, 则|z+i|的最大值为( )
D. 4
7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积 己知△ABC面积为 且 则C为( )
A. B.
8.在棱长为1的正方体. 中，P为线段BD 上一动点，则||A P|+|DP|的最小值为( )
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//n, n α, m α, 则m//α B. 若m/lα, α//β, 则m//β
C. 若m//α, n//α, 则m//n D. 若α∥β, m α, 则m∥β
10. 已知函数, 则( )
A. f(x)的图象关于y轴对称 B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)在区间 上单调递减 D. f(x)的值域为[-2,1]
11.重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的基座(B在A的正下方，即AB⊥BC，AB⊥BD)，在纪念碑所在广场内(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠ADB、∠BDC, 若已知m、∠ACB、∠BCD，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度AB的是( )
A. ∠ADB B. ∠BDC
C. ∠ADC D. ∠ACD
第II卷 (非选择题)
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不写过程).
12. 已知, 则x= .
13.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形， P.是BN上一点且 则
14. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 的角平分线AD交边BC于点D，且AD长为定值.若△ABC面积的最小值为 则AD的长为 .
四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
15. (13分)
已知复数1-3i是方程. 的一个根.
(1) 求a,b的值
(2) 设 若为纯虚数，且 求复数z.
16.(15分)
已知向量 且向量a与b共线.
(1) 求
(2) 若 求实数t的值.
17. (15分)
如图，在三棱台中，底面△ABC为等边三角形， D为线段BC上靠近B的三等分点，E为线段B C 上靠近B 的三等分点.
(1) 求证: 平面A BE∥平面AC D;
(2)求平面AC D分割三棱台所得的几何体 和C -ADC的体积之比.
18.(17分)
如图，在四边形ABCD中有 对角线AC、BD相交于点E.
(1) 若BD⊥AC, 求;
(2) 若
①求 的取值范围；
② 若O为△BCD的外心, 且 当①中的S取最大值时，求实数m的值.
19.(17分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
(1) 求证: b+c=2a;
(2) 若 且 求a;
(3)若 外接圆半径为R，内切圆半径为r，求 的取值范围.重庆南开中学高2027届高一（下）期中考试
数学试题参考答案
选择题
2
3
9
10
11
答案
C
B
B
B
A
B
AD
ABD
ABC
填空题
12
13
14
答案
6
9
24
1
详解：
5.曲国可号-号（引受÷7=，0-号-2,2如2x(+p-0。
号+p=0+2,kez,又0
(动=22x(}-2她算-万
6.z+2-=z-(-2+训=2由复数几何意义可知，复数z对应的点z的轨迹为以(-2,1)为圆心，2为半
径的圆，如图z+1=z-（-训为点z到(0，-)距离
由图可知最大值为-2-02+1-(-1)+2=2反+2。
:6=5,esC-+-e5,:ce0,,C=g
2ab
8.将正方体中面ABD,与面DBD展开如图，连接AD,与BD,的交点即为P,
棱长为1，AD=DD,=1,AB=BD=V2,BD=V5,
ios∠40B=A=5
Γ53
40-2--
∴由余弦定理AD2=1+1-2x1×1×
3
11.已知m、∠ACB、∠BCD,设AB=h,
对于A:若已知∠ADB,设LACB=a,∠BCD=B,∠ADB=yBC=A
tanc仪
BD=
tany'
高2027届（数学）参答案第1页
在ABCD中，BD2=BC2+CD2-2BC:CDcos B,
信-信a,可离
tang
对于B:若已知∠BDC,在△BCD中，
BC
sin∠BDC sin(LBDC+∠BCD)
可解出边BC,
又在RIAABC中，h=AB=BCtm∠ACB,可以求出高h:
对于C:若已知LADC,设LACB=a,∠BCD=B,∠ADC=X∴AC=k,BC=h
sina
nd
ADD1+tia)
n-2mh:cos=m+-2mho
tana
sin'a
tana
在△ACD中，
-=AD2+m2-2m·ADcosy,
sin2
咖2a2m2
2
h2
-2mh.cos里-2 ADcos7,则AD=
m-h.cos且
tanc丝
sin'a
COSY
cos B
12
=m2+
h
2mhcos B
cosy
tanacosy
sina
tana
m2
cos B
cos B
h
2
-2mh
2mhcos B
cos2y
tanacos2y
=m2+
tanacosy
sina
tana
∴上式是关于h的二次方程，由求根公式，可解得h=
m·8 inasiny
1-cos2acos2B cosy+cosacosBsiny
对于D:若己知∠ACD,设∠ACD=8,∠ACB=a,∠BCD=R,∴AC=
h
sin
-,BC=
o=+品e-m点as0,0-r+品a-2n。w6,
sina
又-0+，a+-2加点e=+r+a
-2mh.
sina
tana
化简后h约掉，变为恒等式，即无法解出h,
1B.已知亚=x孤+×丽=x亚+孤
43
:BRN三点类线xlx=号
-（传恋+西-号证+西c-品
高2027届（数学）金考答案第2页