上海市大同中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分）
1．已知，，则________
2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为________．
3．若，则函数的最小正周期为________．
4．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为________．
5．函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________．
6．已知为单位圆的内接正三角形，则________．
7．已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为________．
8．已知，，，若，，三点共线，则________．
9．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________．
10．设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________．
①线段的中点的广义坐标为；
②线段的长度为；
③向量平行于向量的充要条件为；
12．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．锐角的内角，的对边分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B．1 C． D．
15．已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则
的值为（ ）
A． D． C． D．0
三、简答题（共4题，8+10+12+12=42分）
17．（本题8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）求向量与的夹角．（结果用反三角表示）
18．（本题10分，第（1）题15分，第（2）题5分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）在中，若，，求．
19．（本題12分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深值 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离）
（1）求函数的表达式；
（2）求该船一天内能够进入港口的时刻；
（3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物4小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长．
20．（本题12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分）
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“伴随函数”，为的“伴随向量”．
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分）
1．已知，，则________
【答案】2
2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为________．
【答案】
3．若，则函数的最小正周期为________．
【答案】
4．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为________．
【答案】直角三角形
5．函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________．
【答案】
6．已知为单位圆的内接正三角形，则________．
【答案】
7．已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为，故，
所以，故的取值范围为．
8．已知，，，若，，三点共线，则________．
【答案】2
【解析】已知，则．
因为三点共线，所以与共线．可得．
即．等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到．
9．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________．
【答案】
【解析】，由方程，
，当时，得对称轴方程为
10．设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________．
【答案】-3
【解析】因为，则有或，
解得或，又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，所以，
故．所以，即，
则，解得．
①线段的中点的广义坐标为；
②线段的长度为；
③向量平行于向量的充要条件为；
【答案】①③
【解析】由题意：．
对于①：设为中点，
所以，
所以线段的中点的广义坐标为，故①正确；
对于②，因为，所以当向量是相互垂直的单位向量时，两点间的距离为，否则距离不为，②错误；
对于③：向量平行于向量
，其中，故③正确；
对于④：向量垂直于向量，
而
故④不一定成立.
12．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，因为，所以．
，所以
如图，由题意可得，因为三点共线，
故可设,
又因三点共线，故，所以．
因为，
所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即．所以的最小值为．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．锐角的内角，的对边分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
14．已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为，其中的夹角为，
15．已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
16．已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则
的值为（ ）
A． D． C． D．0
【答案】A
【解析】由，得，令，
即，整理得，
即，解得或，
则或或，
当时，，由函数在上有且仅有一个零点，得，即，当时，，
此时或，使得，不符合要求；
当时，或，
当时，，函数在上无零点，
当时，，当且仅当时，，符合要求，因此，
三、简答题（共4题，8+10+12+12=42分）
17．（本题8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）求向量与的夹角．（结果用反三角表示）
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）由，可得，得，故，
由，可得，得，故．
（2）由（1），，
设向量与的夹角为，
则．
所以向量与的夹角为．
18．（本题10分，第（1）题15分，第（2）题5分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）在中，若，，求．
【答案】（1）最小正周期为，最大值为． （2）
【解析】，
故函数的最小正周期为，最大值为．
（2）由，解得．
又，从而，因为，所以为锐角，．
.
19．（本題12分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深值 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离）
（1）求函数的表达式；
（2）求该船一天内能够进入港口的时刻；
（3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物4小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长．
【答案】（1） （2）凌晨1时至5时和下午13时至17时期间的任意时刻进港都安全． （3）5小时.
【解析】（1）根据表中数据得，
且最小正周期，所以，
又当时取得最大值，则，因，则．
所以函数．
（2）根据题意，货船能够安全进港必需港口水深，即
而，则，所以或，
解得或，所以货船能够安全进港的时刻是凌晨1时至5时和下午13时至17时期间的任意时刻进港都安全．
（3）由（2）知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留4小时，
若货船进港后马上卸货且在港口内停留时间要最长，则只能是凌晨1时或下午13时进港，由于货物4小时可卸完，根据题意4小时卸完货物后的吃水深度为，
此时货船能安全在港的水深为5m，由，则，而，
则，所以．即，
因为货船只能在凌晨1时或下午13时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货后，货船最多只能再停留1小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为5小时.
20．（本题12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分）
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“伴随函数”，为的“伴随向量”．
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解析】（1）因，
则，故．
（2）依题意，，由
可得，因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，可得③，
于是，解得．
（3）依题意，，由
可得，得，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象．
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根等价于函数与函数的图象在上有四个交点．
由图知，当且仅当时，两者有四个交点．
故实数的取值范围为．