上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

浦外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若复数是纯虚数，则实数 ．
2．已知，且为第二象限角，则 ．
3．的值是 ．
4．函数的对称中心为 ．
5．已知函数是奇函数，则的最小正值为 ．
6．将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ．
7．已知函数，则的最小正周期为 ．
8．向量，，．若，，三点共线，则 ．
9．已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
10．已知，是两个单位向量，若，则的坐标为 ．
11．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ．
12．已知向量，，满足，，，，则的最小值是 ．
二、单选题（共18分，13至14每题4分，15至16每题5分）
13．已知平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．2
14．在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
16．已知函数，满足，且函数在是严格增函数，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共78分）
17．（14分）已知、、分别为三角形三个内角、、的对边，且．
（1）求；
（2）若，求三角形外接圆的面积．
18．（14分）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得，相距．
（1）求；
（2）求，之间的距离．
19．（14分）已知向量，．
（1）若与共线，，求，的值；
（2）设函数，，求的值域．
20．（18分）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．
（1）若，证明：；
（2）若，，求的值；
（3）求的取值范围．
21．（18分）若函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）若当时，，求实数．的取值范围；
（3）已知，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足，
则点P的轨迹是以C为圆心，1为半径是圆，
设D为AB的中点，
则
又，所以
故答案为：．
12．已知向量，，满足，，，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意设，设，则，
所以，，则，
由得，所以，所以，
所以，所以，
所以当时，取得最小值．故答案为：
也可通过数形结合加极化恒等戒得到结果
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.B
15．已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】由条件，展开并整理得，
故三角形为等腰三角.选C.
16．已知函数，满足，且函数在是严格增函数，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
又时，单调递增，
且
或
①
的最小值始终在处取得，且最大值，，
②时，，和在其范围内，
即取得最大值和最小值，
综上的取值范围为．故选：B．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（18分）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．
（1）若，证明：；
（2）若，，求的值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，
即，化简得
结合，由平面向量基本定理得
（2）在等腰梯形中，由，
可得根据，
可得，结合，
可得，所以，
因为三点共线，所以向量互相平行，
可得，结合解得，故；
（3）由（1）的结论，可得
过作的垂线，垂足分别为，因为等腰梯形中，，
所以，可得，结合，得．
所以，，可得
，结合可得
21．（18分）若函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）若当时，，求实数的取值范围；
（3）已知，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）令，则
从而，解得
（3）由恒成立易知分类讨论，可知