2024-2025学年浙江省台金七校联盟高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台金七校联盟高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章年该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积，已知数据如图注意：单位，则平地降雪厚度的近似值为( )
A. B. C. D.
5.已知平面，，直线，直线，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则下列不正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为，在该大正方体内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 当时，则向量在向量上的投影向量为
D. 若向量与向量夹角为钝角，则
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则满足条件的三角形有两个
B. 若，则为锐角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，，则的面积最大值为
11.如图，矩形，已知，，为中点，现将沿翻折后得到如图四棱锥，点是线段上不含端点的动点，则下列正确的是( )
A. 当为中点时，平面
B. 当为中点时，过点，，的截面交于点，则
C. 在翻折过程中，存在一个位置使得
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，若斜边长为的等腰直角与重合是水平放置
的的直观图，则的面积为 ．
13.已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ．
14.已知正四面体的棱长为，在平面内有一动直线，求直线与直线所成角的正弦值最小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位，是纯虚数．
求复数
若复数是关于的方程的根，求实数和的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，角的角平分线交于点且．
求角
若，求面积的最大值．
17.本小题分
已知函数．
解方程
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，已知多面体的底面为直角梯形，四边形为矩形，且平面平面，，，．
证明：平面平面
当异面直线与所成角取最大时，求
当时，求二面角的正弦值．
19.本小题分
向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用。它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数。向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积外积，记作：．
规定：为同时与，垂直的向量，且与为相反向量
，为向量与的夹角
证明：
如图，已知棱长均为的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义．
有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为，求该四面体的棱长．
参考答案
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15.解：因为，可得，
又由是纯虚数，可得，，解得，所以．
法一：因为是方程的根，
所以，即，
可得解得，．
法二：是方程的根，所以另一根为，
由韦达定理可得：．
16.由等面积可得：
整理得：，故．
，由余弦定理可得：，
当时等号成立 即，
所以面积的最大值为
17.解：令，则或或．
，
，
故恒成立，即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以
18.解：由为矩形可得：，
又，且，，
、平面，、平面，
故平面平面
如图，取中点，连接，，
因，
所以即为异面直线与所成角的平面角，
设，
，
当且仅当时取等；
过点作，即平面与平面所成角即为直线与平面所成角，
因，，
设点到面的距离为，
由，
，
即
，故．

19.左边由定义可得：，
右边
左边．
设，，，由定义可得底面的面积为：，又因为同时与，垂直的向量，故为底面的法向量，则平行六面体的体高为：，
所以平行六面体的体积为：，
又因，故点在底面的投影为的重心，
易得，
即，．
即表示以向量，，构成的平行六面体的体积．
如图，
设正四面体的棱长为，其中，，，，设，，，且平面与交于，与交于，故有，，又由可得：
，，
，
同理，
所以，，
，
所以，即．
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