【中考押题卷】2025年中考数学高频易错题：二次函数（含解析）

二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024 夏邑县模拟）如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
2．（2024 呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024 黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
4．（2024 广安）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（　　）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
5．（2024 济南）如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m B．﹣3＜m C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m
6．（2024 广州）对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．图象与x轴有两个交点
7．（2024 泰安）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024 泰安）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2024 临邑县一模）如图，直线y与y轴交于点A，与直线y交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）
A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1
10．（2024 衢州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0
二．填空题（共5小题）
11．（2024 阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　．
12．（2024 涪城区校级自主招生）如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　 　．
13．（2024 扬州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　 　．
14．（2024 长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　 　．
15．（2024 兰州）如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 遵义）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
17．（2024 赤峰）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024 河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
19．（2024 荆门）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2024 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线yx2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 夏邑县模拟）如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
【考点】二次函数的最值．
【专题】数形结合．
【答案】B
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．
2．（2024 呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．
【答案】D
【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
3．（2024 黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】D
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．
4．（2024 广安）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（　　）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x＝﹣1代入求出b＝a﹣3，把x＝1代入得出P＝a+b+c＝2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），
∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，
∴b＝a﹣3，
∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，
∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，
∵顶点在第四象限，a＞0，
∴b＝a﹣3＜0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x＝1时a+b+c＝P是解决问题的关键．
5．（2024 济南）如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m B．﹣3＜m C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
Δ＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
6．（2024 广州）对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．图象与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【答案】B
【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．
【解答】解：∵二次函数yx﹣4可化为y（x﹣2）2﹣3，
又∵a0
∴当x＝2时，二次函数yx2+x﹣4的最大值为﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
7．（2024 泰安）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【答案】D
【分析】本题可先由一次函数y＝﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝x2+m的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
8．（2024 泰安）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
【专题】压轴题；图表型．
【答案】B
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确；
（4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．（2024 临邑县一模）如图，直线y与y轴交于点A，与直线y交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）
A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1
【考点】二次函数综合题．
【专题】几何直观；模型思想．
【答案】A
【分析】将y与y联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y可求得k，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【解答】解：∵将y与y联立得：，解得：．
∴点B的坐标为（﹣2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x＝h，y＝k，代入得y得：h＝k，解得k，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2h．
如图1所示：当抛物线经过点C时．
将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2h得：h2h＝0，解得：h1＝0，h2．
如图2所示：当抛物线经过点B时．
将B（﹣2，1）代入y＝（x﹣h）2h得：（﹣2﹣h）2h＝1，整理得：2h2+7h+6＝0，解得：h1＝﹣2，h2．
综上所述，h的范围是﹣2≤h．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．
10．（2024 衢州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0
【考点】二次函数的图象．
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【解答】解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　12　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO2，∠AOP＝45°，
∴PP′＝22＝4，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴AD＝DO＝sin45° OA3，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP′是解题关键．
12．（2024 涪城区校级自主招生）如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　﹣6、　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．
【解答】解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，），
∴当b＝﹣6或b时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，．
【点评】本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．
13．（2024 扬州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　0　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．
14．（2024 长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　．
【考点】二次函数的性质；菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15，
∵0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．
15．（2024 兰州）如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为　（﹣2，0）　．
【考点】二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，
∴P，Q两点到对称轴x＝1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 遵义）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A，B点坐标代入函数yx2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．
（2）等腰三角形有三种情况，AE＝EQ，AQ＝EQ，AE＝AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP＝DP，AQ＝DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
【解答】方法（1）：
解：（1）∵二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得 ，
∴yx2x﹣4．
∴C（0，﹣4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，
∴AC5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB＝4，
∴AQ＝4．
∵QD∥OC，
∴，
∴，
∴QD，AD．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE＝x，则EQ＝x，DE＝AD﹣AE＝|x|，
∴在Rt△EDQ中，（x）2+（）2＝x2，解得 x，
∴OA﹣AE＝3，
∴E（，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，
∵ED＝AD，
∴AE，
∴OA﹣AE＝3，
∴E（，0）．
③当AE＝AQ＝4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，
∴E（﹣1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE＝3+4＝7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（，）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，
∴AP＝AQ＝QD＝DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴，
∴，
∴AF，FQ，
∴Q（3，），
∵DQ＝AP＝t，
∴D（3t，），
∵D在二次函数yx2x﹣4上，
∴（3t）2（3t）﹣4，
∴t，或t＝0（与A重合，舍去），
∴D（，）．
方法二：
（1）略．
（2）∵点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动．过点Q作x轴垂线，垂足为H．
∵A（3，0），C（0，4），
∴lAC：yx﹣4，
∵点P运动到B点时，点Q停止运动，
∴AP＝AQ＝4，
∴QH，Qy，
代入LAC：yx﹣4得，Qx，则Q（，），
∵点E在x轴上，
∴设E（a，0），
∵A（3，0），Q（，），△AEQ为等腰三角形，
∴AE＝EQ，AE＝AQ，EQ＝AQ，
∴（a﹣3）2＝（a）2+（0）2，∴a，
（a﹣3）2＝（3）2+（0）2，∴a1＝7，a2＝﹣1，
（a）2+（0）2＝（3）2+（0）2，∴a1，a2＝3（舍）
∴点E的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
（3）∵P，Q运动到t秒，
∴设P（3﹣t，0），Q（3t，t），
∴KPQ，KPQ＝﹣2，
∵AD⊥PQ，
∴KPQ KAD＝﹣1，
∴KAD，
∵A（3，0），
∴lAD：yx，
∵y，
∴x1＝3（舍），x2，
∴D（，），
∵DY＝QY，即t，t，DQ∥AP，DQ＝AQ＝AP，此时四边形APDQ的形状为菱形．
【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．
17．（2024 赤峰）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD，
BC3，
BD2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1，x21，应舍去，
∴x，
∴y＝4﹣x，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【点评】此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
18．（2024 河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：
y＝ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
解得，
所以此函数解析式为：y；
（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m，），
∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB
4×（m2﹣m+4）4×（﹣m）4×4
＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8
＝﹣m2﹣4m，
＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣4＜m＜0，
当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝﹣4+8＝4．
答：m＝﹣2时S有最大值S＝4．
（3）设P（x，x2+x﹣4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x）．
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|＝4，
解得x＝0，﹣4，﹣2±2．
x＝0不合题意，舍去．
如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP＝4．四边形PBQO为平行四边形则BQ＝OP＝4，Q横坐标为4，代入y＝﹣x得出Q为（4，﹣4）．
由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．
【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．
19．（2024 荆门）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
【解答】解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，
∴在Rt△COE中，OE3，
设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，
∵OE＝3，
∴AE＝5﹣3＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m，
∴D（，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），
∴﹣5a（4），解得a，
∴抛物线解析式为yx（x+4）x2x；
（2）∵CP＝2t，
∴BP＝5﹣2t，
∵BD，DE，
∴BD＝DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP＝EQ，
∴5﹣2t＝t，
∴t；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴1，解得m＝2，
又M点在抛物线上，
∴y222＝16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为3，
∵EM，CN互相平分，
∴3，解得m＝﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y（﹣6）2（﹣6）＝16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20．（2024 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线yx2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；
（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积＝三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．
【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入yx2+bx+c得：，
解得：b＝2，c＝4，
则解析式为yx2+2x+4；
（2）∵yx2+2x+4（x﹣2）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD4×44×2＝8+4＝12．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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