小升初解决问题专项训练：立体图形问题（含解析）-2024-2025学年数学六年级下册苏教版

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小升初解决问题专项训练：立体图形问题-2024-2025学年数学六年级下册苏教版
1．把一块体积为0.6立方分米的钢坯锻造成长15分米，宽4分米的长方体钢板，钢板有多厚？
2．一个圆柱形零件，底面半径是5厘米，高是8厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？
3．在一张长25厘米，宽19厘米的长方形纸片上，将纸片上的阴影部分裁去后，剩下的部分恰好能沿虚线折叠成一个体积为180立方厘米的长方体，那么该长方体的表面积为多少平方厘米？（请写出具体步骤）
4．用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。
（1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。
（2）这个水桶的底面直径是（ ）分米，高是（ ）分米。
（3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖）
5．一个无盖的长方体铁皮水槽，长12分米，宽5分米，高4分米。这个水槽最多可以盛水多少升？
6．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
7．南京某景区推出系列文创冰激凌，商家设计了和两种包装（每种包装都刚好装满），两种包装及定价如图所示。
（1）两种包装的体积各是多少立方厘米？
（2）你认为这样的定价合理吗？说明理由。
8．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。
9．下图是一个中心带孔的铁铸件（单位：厘米），每立方厘米的铁重7.8克。这个铸件重多少千克？（得数保留整数）
10．淘气用铁丝制作长方体的灯罩（如图①所示），再把一张纸裁成如图②的形状糊在灯罩上。
（1）这个灯罩的侧面积有多大？
（2）至少需要多少厘米的铁丝？
11．毕业季，美术老师教学生用卡纸自制“博士帽”（帽穗除外）。如图：上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为18厘米，高为20厘米的无盖无底的圆柱。制作1个这样的“博士帽”，至少需要卡纸多少平方厘米？
12．把一个横断面为正方形的长方体削成一个最大的圆锥体。如果圆锥体的底面周长是12.56厘米，高是8厘米，那么原来长方体的体积是多少？
13．把一块棱长是30厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？（得数保留整数）
14．把一根圆木锯成一根方木，如下图所示。
（1）方木的体积是多少？
（2）这根方木最多能锯成多少个棱长为2分米的小正方体？
15．幸福路小学库房里有以下4种规格的长方形、正方形铁皮若干张。
李师傅要焊接一个无盖的长方体（或正方体）水箱，准备从中选出五张铁皮作为水箱的五个面，选哪五张铁皮焊接成的水箱的容积最大？是多少？（铁皮厚度忽略不计）
16．红星小学运动场的沙坑长2.5米，宽1.5米，深6分米，填满这个沙坑需要细沙多少吨？（细沙每立方米重1.5吨）
17．一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？
18．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？
19．有一块底面半径是3厘米、高4厘米的圆柱形木料，要把它削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
20．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数）
21．一个长方形长5厘米，宽2厘米，若以长为轴旋转一周，形成的几何体的体积是多少立方厘米？若以宽为轴旋转一周，形成的几何体的体积是多少立方厘米？
《小升初解决问题专项训练：立体图形问题-2024-2025学年数学六年级下册苏教版》参考答案
1．0.01分米
【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，用钢板体积除以长方体的底面积即可求出钢板的厚度。
【详解】0.6÷（15×4）
＝0.6÷60
＝0.01（分米）
答：钢板有0.01分米厚。
2．628立方厘米
【分析】已知底面半径是5厘米，先根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据计算，求出这个零件的体积，据此解答。
【详解】3.14×52×8
＝3.14×25×8
＝628（立方厘米）
答：这个零件的体积是628立方厘米。
3．216平方厘米
【分析】设折叠后的长方体的长、宽、高分别为、、，则（厘米），（厘米），（立方厘米），求出、和的值或者关系式，长方体表面积长宽长高宽高，据此代入数据计算即可求出长方体表面积。
【详解】设折叠后的长方体的长、宽、高分别为、、，则
①
②
③
用②式减去①式得到（厘米）
将代入，得到（厘米）
将代入，可得，（平方厘米）
（平方厘米）
答：该长方体的表面积为216平方厘米。
4．（1）见详解
（2）2；2；
（3）15.7平方分米
【分析】（1）要做一个容积最大的圆柱形无盖水桶，这个圆柱的底面直径和高都应等于长方形铁皮的宽，即都是2分米。据此先以2分米为直径（即1分米为半径）画出水桶的底面。圆的周长＝πd，则这个圆柱的底面周长＝3.14×2＝6.28（分米），而8.28－2＝6.28（分米），说明剩下的小长方形铁皮正好是圆柱的侧面展开图。据此解答。
（2）由（1）的分析可知：这个水桶的底面直径和高都是2分米。
（3）这个水桶的表面积＝侧面积＋底面积＝Ch＋πr2，据此代入数据计算即可解答。
【详解】通过分析可得：
（1）8.28－2＝6.28（分米）
作图如下：
（2）这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米。
（3）6.28×2＋3.14×（2÷2）2
＝12.56＋3.14×12
＝12.56＋3.14×1
＝12.56＋3.14
＝15.7（平方分米）
答：这个水桶的表面积是15.7平方分米。
5．240升
【分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体铁皮水槽的容积，1立方分米＝1升；再把单位换算成升即可。
【详解】12×5×4
＝60×4
＝240（立方分米）
240立方分米＝240升
答：这个水槽最多可以盛水240升。
6．12厘米
【分析】圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。
【详解】下降的水的体积为：
（立方厘米）
圆锥铁块的高为：
＝12（厘米）
答：这个圆锥体的高是12厘米。
7．（1）602.88立方厘米；200.96立方厘米
（2）不合理；理由见详解
【分析】（1）利用圆柱体积公式：，圆锥的体积公式：计算两种包装的体积即可；
（2）两数相除又叫两个数的比，据此写出两种包装的体积比与价格的比，化简并求比值，比值相等说明合理，比值不相等，说明不合理。（理由合理即可）
【详解】（1）
（立方厘米）
（立方厘米）
答：包装的体积是602.88立方厘米，包装的体积是200.96立方厘米。
（2）体积比是：
单价比是：
答：这样的定价不合理。
8．三种；42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米
【分析】第一种拼法如题中的图。第二种拼法，将小长方体沿着2厘米的棱依次相接。第三种拼法，将小长方体沿着3厘米的棱依次相接。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据分别代入公式，求出它们的表面积即可。
【详解】拼法一：
（1×3×2＋1×3×3＋2×3）×2
＝（6＋9＋6）×2
＝21×2
＝42（平方厘米）
拼法二：
（2×3×1＋2×3×3＋1×3）×2
＝（6＋18＋3）×2
＝27×2
＝54（平方厘米）
拼法三：
（3×3×1＋3×3×2＋1×2）×2
＝（9＋18＋2）×2
＝29×2
＝58（平方厘米）
答：有三种拼法，它们的表面积分别是42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米。
9．210千克
【分析】长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高，将数据代入公式先分别求出长方体和圆柱的体积，再将长方体的体积减去圆柱的体积，求出铁铸件的体积。将铁铸件的体积乘7.8，求出这个铸件重多少克，再除以1000，即可求出这个铸件重多少千克。
【详解】50×20×30－3.14×（14÷2）2×20
＝30000－3.14×72×20
＝30000－3.14×49×20
＝30000－3077.2
＝26922.8（立方厘米）
26922.8×7.8÷1000
＝209997.84÷1000
≈210（千克）
答：这个铸件重210千克。
10．（1）2250平方厘米
（2）280厘米
【分析】（1）这个长方体的灯罩的长是30厘米，宽是15厘米，高是25厘米，求灯罩的侧面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
（2）求至少需要铁丝的长度，就是求出长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】（1）（30×25＋15×25）×2
＝（750＋375）×2
＝1125×2
＝2250（平方厘米）
答：这个灯罩的侧面积是2250平方厘米。
（2）（30＋15＋25）×4
＝（45＋25）×4
＝70×4
＝280（厘米）
答：至少需要280厘米的铁丝。
11．2030.4平方厘米
【分析】看图可知，博士帽的面积＝圆柱侧面积＋正方形面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答。
【详解】3.14×18×20＋30×30
＝1130.4＋900
＝2030.4（平方厘米）
答：至少需要卡纸2030.4平方厘米。
12．128立方厘米
【分析】根据题意，把一个横断面为正方形的长方体削成一个最大的圆锥体，那么圆锥体的底面直径等于长方体的底面边长，圆锥体的高等于长方体的高；
已知圆锥体的底面周长是12.56厘米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆锥体的底面直径；也就长方体的底面边长，根据正方形的面积公式S＝a2，求出长方体的底面积；
最后根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算求出原来长方体的体积。
【详解】圆锥的底面直径（长方体的底面边长）：
12.56÷3.14＝4（厘米）
长方体的体积：
4×4×8
＝16×8
＝128（立方厘米）
答：原来长方体的体积是128立方厘米。
13．258厘米
【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。保留整数看十分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。
【详解】30×30×30×3÷（3.14×102）
＝27000×3÷（3.14×100）
＝81000÷314
≈258（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高约是258厘米。
14．（1）160立方分米
（2）20个
【分析】（1）根据长方体体积＝底面积×高＝横截面×长，求出方木侧面积，再乘方木的长即可，注意统一单位。
（2）方木的侧面是边长2分米的正方形，沿着方木的长每2分米即可锯下1个棱长2分米的小正方体，因此直径用方木的长÷小正方体棱长即可。
【详解】（1）4米＝40分米
2×2×40＝160（立方分米）
答：方木的体积是160立方分米。
（2）40÷2＝20（个）
答：这根方木最多能锯成20个棱长为2分米的小正方体。
15．1张C铁皮、4张D铁皮；288升
【分析】正方体容积＝棱长×棱长×棱长，长方体容积＝长×宽×高，那么当焊接成的正方体或长方体的棱的长度最长时，焊接成的水箱容积最大。观察铁皮规格，发现铁皮最长是8分米，然后是6分米、5分米，那么选用C、D来焊接出的水箱容积最大，需要1张C铁皮、4张D铁皮，焊接成的长方体的长、宽、高分别是6分米、6分米和8分米。将数据代入公式，求出水箱的容积。
【详解】6×6×8＝288（立方分米）
288立方分米＝288升
答：选1张C铁皮、4张D铁皮焊接成的水箱的容积最大，容积是288升。
16．3.375吨
【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，先算出沙坑的体积，再用体积乘上1.5即可。
【详解】6分米＝0.6米
2.5×1.5×0.6×1.5
＝3.75×0.6×1.5
＝2.25×1.5
＝3.375（吨）
答：填满这个沙坑需要细沙3.375吨。
17．280厘米
【分析】根据题意，一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，需切5－1＝4（次），每切一次增加2个正方形的截面，一共增加4×2＝8个截面，每个截面有4条棱，一共增加8×4＝32条棱长；
已知这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，用增加的棱长之和除以32，即是正方体的棱长；
根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出每个正方体的棱长总和，再乘5，求出5个正方体的棱长总和，最后减去320，即是原来长方体的棱长总和。
【详解】（5－1）×2×4
＝4×2×4
＝32（条）
正方体的棱长：320÷32＝10（厘米）
5个正方体的棱长之和：10×12×5＝600（厘米）
原来长方体的棱长总和：600－320＝280（厘米）
答：原来长方体的棱长总和是280厘米。
18．2464.9立方厘米
【分析】如下图：如果圆柱的高减少2厘米，表面积就比原来减少62.8平方厘米，那么表面积减少的是高为2厘米的圆柱的侧面积；圆柱侧面积＝底面周长×高，则底面周长＝圆柱侧面积÷高，用62.3平方厘米除以2计算出底面周长。
又知：圆的底面周长＝2×π×底面半径，进而代入数据计算出圆柱的底面半径。
由题意知：圆柱的侧面展开后是一个正方形，所以圆柱的底面周长和高相等。利用圆柱的体积＝底面积×高，计算出圆柱的体积即可。
【详解】圆柱的底面周长（也是原来圆柱的高）：62.8÷2＝31.4（厘米）
圆柱的底面半径：31.4÷2÷3.14
＝15.7÷3.14
＝5（厘米）
圆柱的底面积：
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
圆柱的体积：78.5×31.4＝2464.9（立方厘米）
答：原来圆柱的体积是2464.9立方厘米。
【点睛】圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明这个圆柱的底面周长和高相等。
19．37.68立方厘米
【分析】根据题意，把圆柱形木料削成最大的圆锥，底面半径和高没变，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。
【详解】
＝
＝3×4×3.14
＝12×3.14
＝37.68（立方厘米）
答：这个圆锥体积是37.68立方厘米。
20．7348克
【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，水面上升的形状是圆柱，铁块体积＝圆柱形玻璃杯底面积×水面上升高度，铁块体积×每立方厘米质量＝这个铁块质量，据此列式解答。根据四舍五入法保留近似数。
【详解】3.14×102×（15－12）×7.8
＝3.14×100×3×7.8
＝942×7.8
≈7348（克）
答：这个铁块重7348克。
21．62.8立方厘米；157立方厘米
【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。
以长为轴旋转一周形成的圆柱，圆柱的高＝长方形的长，底面半径＝长方形的宽；以宽为轴旋转一周形成的圆柱，圆柱的高＝长方形的宽，底面半径＝长方形的长，根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出体积即可。
【详解】3.14×22×5
＝3.14×4×5
＝62.8（立方厘米）
3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝157（立方厘米）
答：若以长为轴旋转一周，形成的几何体的体积是62.8立方厘米，若以宽为轴旋转一周，形成的几何体的体积是157立方厘米。
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