第一节 集合
1.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A.2∈M B.3∈M C.4 M D.5 M
2.（2024·苏州3月适应性考试）已知集合A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，则A∩B的真子集个数为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（ ）
A.2 B.1
C. D.－1
4.（2025·潍坊高考模拟考试）已知集合A＝{x｜log3（2x＋1）＝2}，集合B＝{2，a}，其中a∈R.若A∪B＝B，则a＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.设全集I是实数集R，M＝{x｜y＝ln（x－2）}与N＝{x｜≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A.{x｜x＜2} B.{x｜－2≤x＜1}
C.{x｜1＜x≤2} D.{x｜－2≤x≤2}
6.已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，且A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A.（2，4] B.（2，4）
C.（2，3] D.[2，4]
7.（创新命题设置）已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示：
A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8}
B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2}
A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8}
若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规律写出A·B＝（ ）
A.{2 026，2 027} B.{－2 026，2 026}
C.{－2 026，2 027} D.{2 026，－2 027}
8.〔多选〕已知全集为U，集合A，B，C均为U的子集.若A∩B＝ ，A∩C≠ ，B∩C≠ ，则下列说法一定正确的是（ ）
A.A U（B∩C） B.C U（A∪B）
C.A∪B∪C＝U D.A∩B∩C＝
9.〔多选〕设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系为（ ）
A.B＝ RA B.B＝ R（A∩B）
C.A＝ RB D.A＝ R（A∩B）
10.已知集合A＝{x，x2＋1，－1}中的最大元素为2，则实数x＝ .
11.设I是全集，非空集合P，Q满足P Q I，若含有P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 .
12.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，5人听了全部讲座，则听讲座的人数为 .
13.（创新考法）设A（0，0），B（4，0），C（t＋4，4），D（t，4）（t∈{0，1，2}）.记N（t）为 ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（t）的集合是（ ）
A.{9，10，11} B.{9，10，12}
C.{9，11，12} D.{10，11，12}
14.（新定义）〔多选〕若非空数集M满足对任意x，y∈M，都有x＋y∈M，x－y∈M，则称M为“优集”.已知集合A，B是“优集”，则下列命题中正确的是（ ）
A.A∩B是“优集”
B.A∪B是“优集”
C.若A∪B是“优集”，则A B或B A
D.若A∪B是“优集”，则A∩B是“优集”
第一节 集合
1.A 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
2.B 因为A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，得到A∩B＝{0，1}，所以A∩B的真子集个数为22－1＝3，故选B.
3.B 由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
4.D 法一（直接法） 由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.由A∪B＝B，得A B，所以a＝4，故选D.
法二（排除法） 由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.a＝1时，A∪B＝{1，2，4}≠B，排除A；a＝2时不满足集合元素的互异性，排除B；a＝3时，A∪B＝{2，3，4}≠B，排除C.故选D.
5.C 集合M表示函数y＝ln（x－2）的定义域，由x－2＞0，解得x＞2，故M＝{x｜x＞2}；由≤0，解得1＜x≤3，即N＝{x｜1＜x≤3}，而图中阴影部分表示（ IM）∩N＝{x｜x≤2}∩{x｜1＜x≤3}＝{x｜1＜x≤2}.
6.A 由题意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，由于A∩B中只有一个元素，所以a＞0，B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，得2＜a≤4，故选A.
7.A 通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}.
8.AD 由题意得A UB，又 U（B∩C）＝（ UB）∪（ UC），所以A U（B∩C），故A正确；符合题意的集合A，B，C及全集U的关系可用如图所示的Venn图表示，由图可知C不是 U（A∪B）的子集，故B错误；集合A∪B∪C与全集U不一定相等，故C错误；由A∩B＝ ，可得A∩B∩C＝ ∩C＝ ，故D正确.综上，选A、D.
9.AC 因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x B或x∈B时，x A，所以A，B间的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选A、C.
10.1 解析：因为x2＋1－x＝（x－）2＋＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1，显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意.
11.P∩（ IQ）＝ （答案不唯一）
解析：由P Q I，可得Venn图如图所示，从而有P∩（ IQ）＝ .
12.184 解析：设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184.
13.C 如图所示，当t＝0时， ABC1D1的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C1（4，4），D1（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9个，N（0）＝9，故选项D被排除掉；当t＝1时， ABC2D2的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C2（5，4），D2（1，4），同理知N（1）＝12，故选项A被排除掉；当t＝2时， ABC3D3的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C3（6，4），D3（2，4），同理知N（2）＝11，故选项B被排除掉.
14.ACD 对于选项A，任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B是“优集”，则x＋y∈A，x＋y∈B，则x＋y∈A∩B，因为x－y∈A，x－y∈B，则x－y∈A∩B，所以A正确.对于选项B，取A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝3m，m∈Z}，则A∪B＝{x｜x＝2k或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x＋y＝5 A∪B，故B错误.对于选项C，任取x∈A，y∈B，则x，y∈A∪B，因为A∪B是“优集”，所以x＋y∈A∪B，x－y∈A∪B，若x＋y∈B，则x＝（x＋y）－y∈B，此时A B，若x＋y∈A，则y＝（x＋y）－x∈A，此时B A，故C正确.对于选项D，因为A∪B是“优集”，所以A B或B A.当A B时，A∩B＝A为“优集”，当B A时，A∩B＝B为“优集”，所以A∩B是“优集”，故D正确.故选A、C、D.
1 / 2第一节 集合
课标要求
1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
1.元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、 、无序性；
（2）集合的表示方法： 、 、图示法；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示 集，Q表示 集，R表示实数集.
提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
2.集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中 元素都是集合B中的元素 （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A （或B A）
集合相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A＝B
提醒 （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集；（2）A B包含两层含义：A B或A＝B；（3）若A B，要分A＝ 或A≠ 两种情况讨论，不要忽略A＝ 的情况.
3.集合的基本运算
类别 表示 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 A∪B＝ A∩B＝ UA＝
1.子集的传递性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3.等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（ ）
（2）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝{0，1}.（ ）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（ ）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（ ）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（ ）
2.（人A必修一P14习题4题改编）设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（ RS）∪T＝（ ）
A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4}
C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1}
3.（人A必修一P35复习参考题8题改编）若集合M＝{（x，y）｜y＝1}，集合N＝{（x，y）｜x＝0}，则M∩N＝（ ）
A.{0，1} B.{（0，1）}
C.{（1，0）} D.{（0，1），（1，0）}
4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝ .
5.（苏教必修一P12习题7题改编）已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x≤2}，若B A，则实数a的取值范围是 .
集合的基本概念
（基础自学过关）
1.已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1 A，2∈A，则（ ）
A.a＞1 B.a≤2
C.2＜a≤4 D.2≤a＜4
2.已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A.4 B.5
C.8 D.9
3.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 025＋b2 026＝ .
4.若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是 .
练后悟通
解决与集合中的元素有关问题的一般思路
集合间的基本关系
（师生共研过关）
（1）（人A必修一P9练习3（2）题改编）已知集合M＝{x｜x＝k＋，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}，则（ ）
A.M N B.N M
C.M＝N D.M∩N＝
（2）已知集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}，B＝{x｜（x＋2）（x－3）＜0}，且A B，则（ ）
A.－1≤a≤2 B.－1＜a＜2
C.－2≤a≤1 D.－2＜a＜1
听课记录 解题技法
1.判断集合间关系的常用方法
2.求参数的方法
将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
提醒 当B为A的子集时，易漏掉B＝ 的情况.
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（ ）
2.（2025·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝ .
集合的基本运算
（定向精析突破）
考向1 集合的运算
（1）（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（ ）
A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
（2）（2025·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（ ）
A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1}
C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3}
听课记录 解题技法
集合基本运算的方法技巧
考向2 利用集合的运算求参数
已知集合A＝{x∈Z｜x2＜3}，B＝{x｜a＜x＜a＋}，若A∩B有2个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－，0）∪（1，＋∞） B.（－，0）
C.（－，－1）∪（－，0） D.（－，－1）
听课记录 解题技法
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
考向3 集合的新定义问题
〔多选〕对任意A，B R，记A B＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是（ ）
A.若A，B R且A B＝B，则A＝
B.若A，B R且A B＝ ，则A＝B
C.若A，B R且A B A，则A B
D.存在A，B R，使得A B＝（ RA） （ RB）
听课记录 解题技法
解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的新定义，依照新定义中某些限定条件，联系所学过的知识找出解题的突破口.
1.（2024·上饶一模）设全集U＝R，集合A＝{x｜3x＞9}，B＝{x｜－2≤x≤4}，则（ UA）∩B＝（ ）
A.[－1，0） B.（0，5）
C.[0，5] D.[－2，2]
2.已知集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞0}.若A∪B＝R，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1） B.（1，3）
C.[1，3] D.[3，＋∞）
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ .
第一节 集合
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）互异性 （2）列举法 描述法 （3）∈ （4）正整数 整数 有理数
2.任意一个 A B A B
3.{x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈U，且x A}
对点自测诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）×
2.C 3.B 4.1或4 5.（2，＋∞）
【考点·分类突破】
考点1
1.D ∵1 A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D.
2.B 因为x2＋y2≤，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，得y＝0；当x＝0时，得y＝－1，0或1；当x＝1时，得y＝0.所以A＝{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，0）}，共有5个元素.
3.0 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0.
4.{1，－1} 解析：若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝（2k）2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}.
考点2
【例1】 （1）A （2）C 解析：（1）M＝{x｜x＝k＋，k∈∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N.故选A.
（2）由（x＋2）（x－3）＜0，解得－2＜x＜3，所以B＝{x｜－2＜x＜3}，集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}≠ .因为A B，所以解得－2≤a≤1.
跟踪训练
1.A 因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.
2.{4，7}（答案不唯一） 解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}.
考点3
【例2】 （1）A （2）A 解析：（1）法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
（2）因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 R（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
【例3】 C A＝{x∈Z｜x2＜3}＝{－1，0，1}，B＝{x｜a＜x＜a＋}，若A∩B有2个元素，则或解得－＜a＜－1或－＜a＜0，所以实数a的取值范围是（－，－1）∪（－，0）.故选C.
【例4】 ABD 对于A选项，因为A B＝B，所以B＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}，所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，故A为真命题；对于B选项，因为A B＝ ，所以 ＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}，所以A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B为真命题；对于C选项，因为A B A，所以{x｜x∈A∪B，且x A∩B} A，所以B A，故C为假命题；对于D选项，若A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则A∪B＝R，A∩B＝{x｜1＜x＜2}，所以A B＝{x｜x≤1或x≥2}， RA＝{x｜x≥2}， RB＝{x｜x≤1}，所以（ RA）∪（ RB）＝{x｜x≤1或x≥2}，（ RA）∩（ RB）＝ ，所以（ RA） （ RB）＝{x｜x≤1或x≥2}，因此A B＝（ RA） （ RB），故D为真命题.故选A、B、D.
跟踪训练
1.D A＝{x｜3x＞9}＝{x｜x＞2}，故 UA＝{x｜x≤2}，所以（ UA）∩B＝{x｜－2≤x≤2}＝[－2，2].
2.B 因为集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞0}＝{x｜x＜1或x＞4}，且A∪B＝R，所以解得1＜a＜3，即a的取值范围是（1，3），故选B.
3.{x｜－3≤x＜0或x＞3} 解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
5 / 5(共57张PPT)
第一节 集合
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于
关系.
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3. 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、
交集与补集.
4. 能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、 、无序性；
（2）集合的表示方法： 、 、图示法；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 集，
N表示非负整数集（自然数集），Z表示 集，Q表
示 集，R表示实数集.
互异性
列举法
描述法
∈
正整数
整数
有理数
提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自
然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
2. 集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中
元素都是集合B
中的元素 （或B A） 或
任意一
个
A B
表示 关系 自然语言 符号语言 图形语言
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，
且x A （或B A）
集合 相等 集合A的任何一个元素都是集合B
的元素，同时集合B的任何一个
元素都是集合A的元素 A＝B
A B
提醒 （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集；（2）A B
包含两层含义：A B或A＝B；（3）若A B，要分A＝ 或A≠ 两种情
况讨论，不要忽略A＝ 的情况.
3. 集合的基本运算
类别 表示 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 A∪B＝
A∩B＝
UA＝
{x｜
x∈A，
或x∈B}
{x｜
x∈A，
且x∈B}
{x｜
x∈U，
且x A}
1. 子集的传递性：A B，B C A C.
2. 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空
真子集有2n－2个.
3. 等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集. （ × ）
（2）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝{0，1}.
（ √ ）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}. （ × ）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1. （ × ）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.
（ × ）
×
√
×
×
×
2. （人A必修一P14习题4题改编）设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－
4≤x≤1}，则（ RS）∪T＝（ ）
A. {x｜－2＜x≤1} B. {x｜x≤－4}
C. {x｜x≤1} D. {x｜x≥1}
解析： 因为S＝{x｜x＞－2}，所以 RS＝{x｜x≤－2}.而T＝{x｜
－4≤x≤1}，所以（ RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜
x≤1}.
√
3. （人A必修一P35复习参考题8题改编）若集合M＝{（x，y）｜y＝
1}，集合N＝{（x，y）｜x＝0}，则M∩N＝（ ）
A. {0，1} B. {（0，1）}
C. {（1，0）} D. {（0，1），（1，0）}
解析： 集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，
所以M∩N＝{（0，1）}，故选B.
√
4. 已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝ .
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
5. （苏教必修一P12习题7题改编）已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝
{x｜1＜x≤2}，若B A，则实数a的取值范围是 .
解析：由图可知a＞2.
1或4
（2，＋∞）
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
集合的基本概念（基础自学过关）
1. 已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1 A，2∈A，则（ ）
A. a＞1 B. a≤2
C. 2＜a≤4 D. 2≤a＜4
解析： ∵1 A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞
0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D.
√
2. 已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤ ，x∈Z，y∈Z}，则A中元素
的个数为（ ）
A. 4 B. 5
C. 8 D. 9
解析： 因为x2＋y2≤ ，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，
得y＝0；当x＝0时，得y＝－1，0或1；当x＝1时，得y＝0.所以A＝
{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，0）}，共有5个
元素.
√
3. 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0， ，b}，则a2 025＋b2 026
＝ .
解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则 ＝－1，所以a＝－1，b＝1.
故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0.
4. 若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k
的取值集合是 .
解析：若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx
＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝（2k）2－4＝0，解得k＝±1，所以k
的取值集合是{1，－1}.
0
{1，－1}
练后悟通
解决与集合中的元素有关问题的一般思路
集合间的基本关系（师生共研过关）
（1）（人A必修一P9练习3（2）题改编）已知集合M＝{x｜x＝k
＋ ，k∈Z}，N＝{x｜x＝ ＋1，k∈Z}，则（ A ）
A. M N B. N M
C. M＝N D. M∩N＝
A
解析： M＝{x｜x＝k＋ ，k∈∈Z}，N＝
{x｜x＝ ＋1，k∈∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示
所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N. 故选A.
（2）已知集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}，B＝{x｜（x＋2）（x－3）＜
0}，且A B，则（ C ）
A. －1≤a≤2 B. －1＜a＜2
C. －2≤a≤1 D. －2＜a＜1
C
解析：由（x＋2）（x－3）＜0，解得－2＜x＜3，所以B＝{x｜－2＜x＜
3}，集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}≠ .因为A B，所以 解得
－2≤a≤1.
解题技法
1. 判断集合间关系的常用方法
2. 求参数的方法
将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关
系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
提醒 当B为A的子集时，易漏掉B＝ 的情况.
1. 设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}
的关系可表示为（ ）
解析： 因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，
2}，所以N是M的真子集.故选A.
√
2. （2025·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝
{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都
加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B
的一个子集.试写出这样的一个集合C＝ .
解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，
B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合
D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的
集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}.
{4，7}（答案不唯一）
集合的基本运算（定向精析突破）
考向1 集合的运算
（1）（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝
{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（ A ）
A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
解析： 法一 因为A＝{x｜－ ＜x＜ }，B＝{－3，－1，0，
2，3}，且注意到1＜ ＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
A
（2）（2025·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B
＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（ A ）
A. {x｜x＜－1} B. {x｜x≤－1}
C. {x｜x≤0或x＞3} D. {x｜0＜x≤3}
解析： 因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图
中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 R
（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
A
解题技法
集合基本运算的方法技巧
考向2 利用集合的运算求参数
已知集合A＝{x∈Z｜x2＜3}，B＝{x｜a＜x＜a＋ }，若A∩B有
2个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A. （－ ，0）∪（1，＋∞） B. （－ ，0）
C. （－ ，－1）∪（－ ，0） D. （－ ，－1）
√
解析： A＝{x∈Z｜x2＜3}＝{－1，0，1}，B＝{x｜a＜x＜a＋ }，
若A∩B有2个元素，则 或 解得－ ＜a＜－
1或－ ＜a＜0，所以实数a的取值范围是（－ ，－1）∪（－ ，0）.故
选C.
解题技法
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之
间的关系，再列方程（组）求解.
考向3 集合的新定义问题
〔多选〕对任意A，B R，记A B＝{x｜x∈A∪B，且
x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如，A＝{1，2，3}，B
＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 若A，B R且A B＝B，则A＝
B. 若A，B R且A B＝ ，则A＝B
C. 若A，B R且A B A，则A B
D. 存在A，B R，使得A B＝（ RA） （ RB）
√
√
√
解析： 对于A选项，因为A B＝B，所以B＝{x｜x∈A∪B，且
x A∩B}，所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，
故A为真命题；对于B选项，因为A B＝ ，所以 ＝{x｜x∈A∪B，且
x A∩B}，所以A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B为真命题；对
于C选项，因为A B A，所以{x｜x∈A∪B，且x A∩B} A，所以
B A，故C为假命题；对于D选项，若A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜x＞
1}，则A∪B＝R，A∩B＝{x｜1＜x＜2}，所以A B＝{x｜x≤1或
x≥2}， RA＝{x｜x≥2}， RB＝{x｜x≤1}，所以（ RA）∪（ RB）
＝{x｜x≤1或x≥2}，（ RA）∩（ RB）＝ ，所以（ RA） （ RB）
＝{x｜x≤1或x≥2}，因此A B＝（ RA） （ RB），故D为真命题.
故选A、B、D.
解题技法
解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的新定
义，依照新定义中某些限定条件，联系所学过的知识找出解题的突破口.
1. （2024·上饶一模）设全集U＝R，集合A＝{x｜3x＞9}，B＝{x｜－
2≤x≤4}，则（ UA）∩B＝（ ）
A. [－1，0） B. （0，5）
C. [0，5] D. [－2，2]
解析： A＝{x｜3x＞9}＝{x｜x＞2}，故 UA＝{x｜x≤2}，所以
（ UA）∩B＝{x｜－2≤x≤2}＝[－2，2].
√
2. 已知集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞
0}.若A∪B＝R，则a的取值范围是（ ）
A. （－∞，1） B. （1，3）
C. [1，3] D. [3，＋∞）
解析： 因为集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x
－4）＞0}＝{x｜x＜1或x＞4}，且A∪B＝R，所以 解得1
＜a＜3，即a的取值范围是（1，3），故选B.
√
3. 对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A
－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B
＝ .
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞
3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
{x｜－3≤x＜0或x＞3}
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM
＝{1，3}，则（ ）
A. 2∈M B. 3∈M
C. 4 M D. 5 M
解析： 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. （2024·苏州3月适应性考试）已知集合A＝{－2，0，1，3}，B＝{－
1，0，1，2}，则A∩B的真子集个数为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 因为A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，得到A∩B＝
{0，1}，所以A∩B的真子集个数为22－1＝3，故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. （2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－
2}，若A B，则a＝（ ）
A. 2 B. 1
C. D. －1
解析： 由题意，得0∈B. 又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或
2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不
满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，
－1，0}，满足A B. 综上所述，a＝1.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. （2025·潍坊高考模拟考试）已知集合A＝{x｜log3（2x＋1）＝2}，集
合B＝{2，a}，其中a∈R. 若A∪B＝B，则a＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 法一（直接法） 由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.由A∪B
＝B，得A B，所以a＝4，故选D.
法二（排除法） 由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.a＝1时，A∪B＝
{1，2，4}≠B，排除A；a＝2时不满足集合元素的互异性，排除B；a＝3
时，A∪B＝{2，3，4}≠B，排除C. 故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 设全集I是实数集R，M＝{x｜y＝ln（x－2）}与N＝{x｜ ≤0}都
是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A. {x｜x＜2} B. {x｜－2≤x＜1}
C. {x｜1＜x≤2} D. {x｜－2≤x≤2}
解析： 集合M表示函数y＝ln（x－2）的定义域，由x－2＞0，解得x
＞2，故M＝{x｜x＞2}；由 ≤0，解得1＜x≤3，即N＝{x｜1＜
x≤3}，而图中阴影部分表示（ IM）∩N＝{x｜x≤2}∩{x｜1＜x≤3}
＝{x｜1＜x≤2}.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，且A∩B中
只有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A. （2，4] B. （2，4）
C. （2，3] D. [2，4]
解析： 由题意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B
＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，由于A∩B中只有一个元
素，所以a＞0，B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，得2＜a≤4，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. （创新命题设置）已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示：
A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8}
B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2}
A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8}
若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规
律写出A·B＝（ ）
A. {2 026，2 027} B. {－2 026，2 026}
C. {－2 026，2 027} D. {2 026，－2 027}
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的
是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2
026}，B＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 〔多选〕已知全集为U，集合A，B，C均为U的子集.若A∩B＝ ，
A∩C≠ ，B∩C≠ ，则下列说法一定正确的是（ ）
A. A U（B∩C） B. C U（A∪B）
C. A∪B∪C＝U D. A∩B∩C＝
解析： 由题意得A UB，又 U（B∩C）＝
（ UB）∪（ UC），所以A U（B∩C），故A
正确；符合题意的集合A，B，C及全集U的关系可
用如图所示的Venn图表示，由图可知C不是 U（A∪B）的子集，故B错误；集合A∪B∪C与全集U不一定相等，故C错误；由A∩B＝ ，可得
A∩B∩C＝ ∩C＝ ，故D正确.综上，选A、D.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 〔多选〕设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝
n＝ 若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系
为（ ）
A. B＝ RA B. B＝ R（A∩B）
C. A＝ RB D. A＝ R（A∩B）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 因为m＝ n＝ 且对任意x∈R，m＋n
＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x B或x∈B
时，x A，所以A，B间的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 已知集合A＝{x，x2＋1，－1}中的最大元素为2，则实数x＝ .
解析：因为x2＋1－x＝（x－ ）2＋ ＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝
2，解得x＝1或x＝－1，显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，
经检验x＝1符合题意.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 设I是全集，非空集合P，Q满足P Q I，若含有P，Q的一个集合
运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是
.
解析：由P Q I，可得Venn图如图所示，从而有P∩（ IQ）＝ .
P∩
（ IQ）＝ （答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲
座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历
史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，5
人听了全部讲座，则听讲座的人数为 .
解析：设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组
成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲
座的人组成集合C，根据题意，用Venn图表示，如
图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5
＋11＋4＋50＋45＝184.
184
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. （创新考法）设A（0，0），B（4，0），C（t＋4，4），D（t，
4）（t∈{0，1，2}）.记N（t）为 ABCD内部（不含边界）的整点的个
数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（t）的集合是
（ ）
A. {9，10，11} B. {9，10，12}
C. {9，11，12} D. {10，11，12}
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 如图所示，当t＝0时， ABC1D1的四个顶
点是A（0，0），B（4，0），C1（4，4），D1（0，
4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，
3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（3，2），（3，3），共9个，N（0）＝9，故选项D被排除掉；当t＝1时， ABC2D2的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C2（5，4），D2（1，4），同理知N（1）＝12，故选项A被排除掉；当t＝2时， ABC3D3的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C3（6，4），D3（2，4），同理知N（2）＝11，故选项B被排除掉.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. （新定义）〔多选〕若非空数集M满足对任意x，y∈M，都有x＋
y∈M，x－y∈M，则称M为“优集”.已知集合A，B是“优集”，则
下列命题中正确的是（ ）
A. A∩B是“优集”
B. A∪B是“优集”
C. 若A∪B是“优集”，则A B或B A
D. 若A∪B是“优集”，则A∩B是“优集”
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 对于选项A，任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B
是“优集”，则x＋y∈A，x＋y∈B，则x＋y∈A∩B，因为x－
y∈A，x－y∈B，则x－y∈A∩B，所以A正确.对于选项B，取A＝
{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝3m，m∈Z}，则A∪B＝{x｜x＝2k
或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x＋y＝5 A∪B，故B错误.对于
选项C，任取x∈A，y∈B，则x，y∈A∪B，因为A∪B是“优集”，
所以x＋y∈A∪B，x－y∈A∪B，若x＋y∈B，则x＝（x＋y）－
y∈B，此时A B，若x＋y∈A，则y＝（x＋y）－x∈A，此时
B A，故C正确.对于选项D，因为A∪B是“优集”，所以A B或
B A. 当A B时，A∩B＝A为“优集”，当B A时，A∩B＝B为
“优集”，所以A∩B是“优集”，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
课件使用说明
本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。
本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。
本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。
如您在使用过程中遇到公式不显示或者乱码的情况，可能是因为您的电脑缺少字体，请登录网站http://help.fonts./下载。
由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office2016或以上版本即可解决该问题，登录网站http://help.office./下载。
关于一键升级Office版本及其他课件使用方面的问题，请点击"常见问题"，或致电0537-7311096。
THANKS
演示完毕 感谢观看
