第二节 常用逻辑用语
1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A.菱形的四条边都相等
B. x∈N，使2x为偶数
C. x∈R，x2＋2x＋1＞0
D.π是无理数
2.命题“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（ ）
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
B. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
D. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
3.（2024·北京高考5题）设a，b是向量，则“（a＋b）·（a－b）＝0”是“a＝－b或a＝b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知数列{an}为等比数列，则“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
6.已知命题p： x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q： x∈R，2x＜a.若p和 q均为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－2，0] B.（－2，0）
C.[－2，0] D.[－2，0）
7.（2024·南昌一模）已知p：ln（a－1）＞0，q： x＞0，≤a，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.〔多选〕关于二次函数y＝（x－2）2－1，下列说法中正确的是（ ）
A. x∈R，y＝（x－2）2－1≥1
B. a＞－1， x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜a
C. a＜－1， x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝a
D. x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1
9.〔多选〕若a，b，c∈R，则下列叙述中正确的是（ ）
A.“ab2＞cb2”是“a＞c”的充要条件
B.“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
C.“ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤0”
D.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
10.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题 p是 命题（填“真”或“假”）.
11.（2025·大连一模）“函数f（x）＝ax2－sin x是奇函数”的充要条件是实数a＝ .
12.已知条件p：x＞a，条件q：x≥2.
（1）若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ；
（2）若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
13.（实操与推理）〔多选〕（2025·八省联考）下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
14.（推理判断题）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如表：
安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E
疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 .
第二节 常用逻辑用语
1.A 对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题；对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题；对于C， x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题；对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题.
2.D 改写为 ， 改写为 ，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“ x∈R， n∈N*，都有n＞x2”.
3.B 由（a＋b）·（a－b）＝0，得a2－b2＝0，即｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，当a＝（1，1），b＝（－1，1）时，｜a｜＝｜b｜，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，（a＋b）·（a－b）＝0，故必要性成立.所以“（a＋b）·（a－b）＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件.
4.D 等比数列{an}为递增数列的充要条件是或故“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
5.C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
6.C 由p为真命题，可知对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝（－a）2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由 q为真命题，可得 x∈R，2x≥a恒成立，因为2x＞0恒成立，所以a≤0.综上所述，a的取值范围为[－2，0]，故选C.
7.A 由ln（a－1）＞0，得 a＞2，设p：A＝{a｜ln（a－1）＞0}＝{a｜a＞2}，由 x＞0，≤a等价于a≥＝x＋≥2（当x＝1时等号成立），则a≥2，设q：B＝{a｜a≥2}，因为{a｜a≥2} {a｜a＞2}，所以p q且q / p，所以p是q的充分不必要条件.故选A.
8.BD 对于二次函数y＝（x－2）2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1.对于选项A，当x＝2时，y＝－1＜1，所以A不正确；对于选项B， a＞－1，当x0＝2时，y＝－1＜a，所以B正确；对于选项C，当a＝－2时， x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正确；对于选项D，取x1＝1，x2＝3，则（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D正确.故选B、D.
9.BD 对于选项A，当ab2＞cb2成立时，因为b2＞0，所以a＞c，充分性成立；当a＞c成立时，因为b2≥0，不能得出ab2＞cb2，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故A错误；对于选项B，当a＞1时，＜1成立，即充分性成立；当＜1时，－1＜0，解得a＜0或a＞1，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故B正确；对于选项C，ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立时，则或当b2－4ac≤0时，不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R不恒成立，所以是既不充分也不必要条件，故C错误；对于选项D，当a＜1时，方程x2＋x＋a＝0不一定有实数根，如a＝，Δ＝1－4×＝－1＜0，方程无实根，所以充分性不成立.当方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根时，a＜0，所以a＜1，必要性成立，所以是必要不充分条件，故D正确.故选B、D.
10.假 解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以 p为假命题.
11.0 解析：若f（x）为奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0，所以a（－x）2－sin（－x）＋ax2－sin x＝0，2ax2＝0，所以a＝0.
12.（1）[2，＋∞） （2）（－∞，2）
解析：设A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x≥2}.
（1）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥2.
（2）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a＜2.
13.ABD 对于A选项：原图中的绳结不可解开，则无法无损伤地变为一个圆；对于D选项：为三个圆，不是一根绳编制的绳结，故D也不能无损伤的变为原图中的绳结；对于B、C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而B、C情形为三叶结变体，则B、C至少有一个无法无损伤得到，再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知，可以得到C选项，无法得到B选项.
故选A、B、D.
14.D 解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E快；综上所述，D疏散最快.
2 / 2第二节 常用逻辑用语
课标要求
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系 p q p q p q
条件 关系 p是q的 条件，q是p的 条件 p不是q的 条件，q不是p的 条件 p是q的 条件，简称 条件
提醒 （1）A是B的充分不必要条件 A B且BA；（2）A的充分不必要条件是B B A且AB.
2.全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 的命题，叫做全称量词命题 含有 的命题，叫做存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为“ ”
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 x∈M， p（x） x∈M， p（x）
提醒 对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.
2.p是q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充分不必要条件.
3.用集合间的包含关系判断充分、必要条件：设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
4.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）全称量词命题一定含有全称量词.（ ）
（2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（ ）
（3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（ ）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（ ）
2.（人A必修一P27例1、P28例2改编）下列命题中的假命题是（ ）
A. x∈R，2x－1＞0
B. x∈N*，（x－1）2＞0
C. x0∈R，lg x0＜1
D. x0∈R，tan x0＝2
3.（人A必修一P21例3（3）改编）“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.（苏教必修一P47本章测试10题改编）若命题“ x∈R，x2－x＋a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≥ B.a≤
C.a＞ D.a＜
5.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是 .
充分条件、必要条件的判定
（基础自学过关）
1.（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.（2025·青岛一模）已知直线a，b和平面α，a α，b α，则“a∥α”是“a∥b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
练后悟通
充分条件、必要条件的两种判定方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
充分、必要条件的探究与应用
（师生共研过关）
（2024·南昌三模）已知p：“x＞2”，q：“x2－x－a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A.［－，2］ B.（－∞，2]
C.（－，＋∞） D.[2，＋∞）
听课记录 解题技法
应用充分、必要条件求解参数范围的方法
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解；
（2）注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
1.一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是a∈（ ）
A.（－∞，0） B.（0，＋∞）
C.（－∞，2） D.（－∞，－1）
2.若关于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是 .
全称量词与存在量词
（定向精析突破）
考向1 含量词命题的否定及真假判定
1.已知命题p： x∈R，x＝－1或x＝2，则（ ）
A. p： x R，x≠－1或x≠2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x∈R，x＝－1且x＝2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
2.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： x＞0，x3＝x.则（ ）
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
3.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2＜0”
C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
练后悟通
1.含量词命题真假的判断方法
判定全称量词命题“ x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p（x）”是真命题，只要在集合M内找到一个x，使p（x）成立即可.
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
（2）否定结论，即对原命题的结论进行否定.
考向2 含量词命题的应用
已知命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－，0） B.（0，）
C.（，＋∞） D.（1，＋∞）
听课记录 解题技法
由命题的真假求参数的方法
（1）全称量词命题可转化为恒成立问题；
（2）存在量词命题可转化为存在性问题；
（3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
已知命题p： x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若命题p和 q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2]∪{1} B.（－∞，－］
C.（－∞，1] D.［－，1］
第二节 常用逻辑用语
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1. / 充分 必要 充分 必要 充分必要 充要
2.全称量词 存在量词 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
对点自测诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.B 3.B 4.B 5.（3，＋∞）
【考点·分类突破】
考点1
1.C 由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
2.B 不等式x2－5x＜0的解集为A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集为B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.
3.B 当a∥α时，a与b平行或异面，当a∥b时，a α，b α，则a∥α，所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.
考点2
【例1】 B 若p是q的充分不必要条件，故x2－x－a＞0在x＞2时恒成立，故得a＜x2－x，令f（x）＝x2－x，由二次函数性质得f（x）在（2，＋∞）时单调递增，则f（x）＞f（2）＝2，可得a∈（－∞，2]，故选B.
跟踪训练
1.C 由题意，记方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，因为一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根，所以解得a＜0，根据选项可得a＜2是a＜0的必要不充分条件.
2.[3，＋∞） 解析：｜x－1｜＜a 1－a＜x＜1＋a，因为不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，所以（0，4） （1－a，1＋a），所以解得a≥3.
考点3
1.B 注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“ x∈R，x≠－1且x≠2”.
2.B 法一 因为 x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以 p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x（x2－1）＝0，即x（x＋1）（x－1）＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以 x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以 q为假命题，所以 p和q都是真命题，故选B.
法二（特殊值法） 在命题p中，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，所以命题p为假命题， p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以 x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题， q为假命题，所以 p和q都是真命题，故选B.
3.AB 对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全称量词命题，A正确；对于B， x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是 x，y∈R，x2＋y2＜0，B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，C错误；对于D，由A＝B可得sin A＝sin B，又sin＝sin，A＝，B＝，A≠B，故A＝B是sin A＝sin B的充分不必要条件，D错误.故选A、B.
【例2】 C 因为命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“ x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞.
跟踪训练
A 当p： x∈[1，2]，x2－a≥0为真命题时，a≤x2在[1，2]上恒成立，因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定 q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因为命题p和 q都是真命题，所以a＝1或a≤－2.
1 / 4(共55张PPT)
第二节 常用逻辑用语
高中总复习·数学
课标要求
1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2. 理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定
义与充要条件的关系.
3. 理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的
命题进行否定.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 充分条件与必要条件
命题 真假 “若p，则q”
为真命题 “若p，则q” 为假命题 “若p，则q”和“若
q，则p”都是真命题
推出 关系 p q p q p q
条件 关系 p是q的
条件，q是P 的
条件 p不是q的 条
件，q不是p的
条件 p是q的
条件，简称
条件
充分
必要
充分
必要
充分必要
充要
提醒 （1）A是B的充分不必要条件 A B且B A；（2）A的充分不必
要条件是B B A且A B.
2. 全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 的命题，
叫做全称量词命题 含有 的命题，叫做存
在量词命题
命题 形式 “对M中任意一个x，p
（x）成立”可用符号简记为
“ ” “存在M中的元素x，p（x）成
立”可用符号简记为
“ ”
全称量词
存在量词
x∈M，p（x）
x∈M，p（x）
3. 全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x） 成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 x∈M， p（x） x∈M， p（x）
提醒 对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改
变量词.
1. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.
2. p是q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充分不必要条件.
3. 用集合间的包含关系判断充分、必要条件：设A＝{x｜p（x）}，B＝
{x｜q（x）}.
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
4. 命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断
此命题的否定的真假.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）全称量词命题一定含有全称量词. （ × ）
（2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题. （ √ ）
（3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件. （ √ ）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.
（ √ ）
×
√
√
√
2. （人A必修一P27例1、P28例2改编）下列命题中的假命题是（ ）
A. x∈R，2x－1＞0 B. x∈N*，（x－1）2＞0
C. x0∈R，lg x0＜1 D. x0∈R，tan x0＝2
解析： x∈N*时，x－1∈N，得（x－1）2≥0，当且仅当x＝1时取等
号，故B不正确；易知A、C、D正确.
√
3. （人A必修一P21例3（3）改编）“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 因为xy＞0 / x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0 xy＞0，所以“xy
＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件.
√
4. （苏教必修一P47本章测试10题改编）若命题“ x∈R，x2－x＋
a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≥ B. a≤
C. a＞ D. a＜
解析： x∈R，x2－x＋a≠0的否定是 x∈R，x2－x＋a＝0，因为
原命题的否定是真命题，即方程x2－x＋a＝0有实根，所以Δ＝（－1）2－
4×1×a≥0，所以a≤ .故选B.
√
5. 若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围
是 .
解析：因为“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）
是（3，＋∞）的真子集，由图可知m＞3.
（3，＋∞）
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
充分条件、必要条件的判定 （基础自学过关）
1. （2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝
3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要
条件，故选C.
√
2. 设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 不等式x2－5x＜0的解集为A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1
得－1＜x－1＜1，其解集为B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，
所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.
√
3. （2025·青岛一模）已知直线a，b和平面α，a α，b α，则
“a∥α”是“a∥b”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当a∥α时，a与b平行或异面，当a∥b时，a α，b α，
则a∥α，所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.
√
练后悟通
充分条件、必要条件的两种判定方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问
题；
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于
条件中涉及参数范围的推断问题.
充分、必要条件的探究与应用（师生共研过关）
（2024·南昌三模）已知p：“x＞2”，q：“x2－x－a＞0”，若p
是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. ［－ ，2］ B. （－∞，2]
C. （－ ，＋∞） D. [2，＋∞）
解析： 若p是q的充分不必要条件，故x2－x－a＞0在x＞2时恒成立，
故得a＜x2－x，令f（x）＝x2－x，由二次函数性质得f（x）在（2，＋
∞）时单调递增，则f（x）＞f（2）＝2，可得a∈（－∞，2]，故选B.
√
解题技法
应用充分、必要条件求解参数范围的方法
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根
据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解；
（2）注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的
取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易
出现漏解或增解的现象.
1. 一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的一个必
要不充分条件是a∈（ ）
A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，2） D. （－∞，－1）
解析： 由题意，记方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，
因为一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根，所以
解得a＜0，根据选项可得a＜2是a＜0的必要不充分
条件.
√
2. 若关于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的
取值范围是 .
解析：｜x－1｜＜a 1－a＜x＜1＋a，因为不等式｜x－1｜＜a成立的
充分条件是0＜x＜4，所以（0，4） （1－a，1＋a），所以
解得a≥3.
[3，＋∞）
全称量词与存在量词（定向精析突破）
考向1 含量词命题的否定及真假判定
1. 已知命题p： x∈R，x＝－1或x＝2，则（ ）
A. p： x R，x≠－1或x≠2
B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x∈R，x＝－1且x＝2
D. p： x R，x＝－1或x＝2
解析： 注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命
题p的否定是“ x∈R，x≠－1且x≠2”.
√
2. （2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：
x＞0，x3＝x.则（ ）
A. p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C. p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
√
解析： 法一 因为 x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以
p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x（x2－1）＝0，即x（x
＋1）（x－1）＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以 x＞0，使得x3＝
x，所以命题q为真命题，所以 q为假命题，所以 p和q都是真命题，
故选B.
法二（特殊值法） 在命题p中，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，所以命题p
为假命题， p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－
1，0，1，所以 x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题， q为假命
题，所以 p和q都是真命题，故选B.
3. 〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A. “菱形是正方形”是全称量词命题
B. “ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2＜0”
C. 命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D. “A＝B”是“ sin A＝ sin B”的必要不充分条件
√
√
解析： 对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全
称量词命题，A正确；对于B， x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是 x，
y∈R，x2＋y2＜0，B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否
定是“所有的奇数能被3整除”，C错误；对于D，由A＝B可得 sin A＝ sin
B，又 sin ＝ sin ，A＝ ，B＝ ，A≠B，故A＝B是 sin A＝ sin B的
充分不必要条件，D错误.故选A、B.
练后悟通
1. 含量词命题真假的判断方法
判定全称量词命题“ x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每
一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p
（x）”是真命题，只要在集合M内找到一个x，使p（x）成立即可.
2. 全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的
含义加上量词，再对量词进行改写；
（2）否定结论，即对原命题的结论进行否定.
考向2 含量词命题的应用
已知命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范
围是（ ）
A. （－ ，0） B. （0， ）
C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 因为命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题
“ x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题
意；当a≠0时，得 解得a＞ .
√
解题技法
由命题的真假求参数的方法
（1）全称量词命题可转化为恒成立问题；
（2）存在量词命题可转化为存在性问题；
（3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
已知命题p： x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－
a≠0，若命题p和 q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. （－∞，－2]∪{1} B. （－∞，－ ］
C. （－∞，1] D. ［－ ，1］
√
解析： 当p： x∈[1，2]，x2－a≥0为真命题时，a≤x2在[1，2]上
恒成立，因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命题q：
x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定 q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0为
真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因为命题p和 q
都是真命题，所以a＝1或a≤－2.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
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1. 下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A. 菱形的四条边都相等 B. x∈N，使2x为偶数
C. x∈R，x2＋2x＋1＞0 D. π是无理数
解析： 对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命
题；对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题；对于C， x∈R，
x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命
题；对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题.
√
2. 命题“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（ ）
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
B. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
D. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
解析： 改写为 ， 改写为 ，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否
定形式为“ x∈R， n∈N*，都有n＞x2”.
√
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3. （2024·北京高考5题）设a，b是向量，则“（a＋b）·（a－b）＝
0”是“a＝－b或a＝b”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 由（a＋b）·（a－b）＝0，得a2－b2＝0，即｜a｜2－｜b｜2
＝0，所以｜a｜＝｜b｜，当a＝（1，1），b＝（－1，1）时，｜a｜
＝｜b｜，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，
（a＋b）·（a－b）＝0，故必要性成立.所以“（a＋b）·（a－b）＝
0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件.
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4. 已知数列{an}为等比数列，则“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 等比数列{an}为递增数列的充要条件是 或
故“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要
条件.
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5. 设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”
的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
解析： 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选
项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭
合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯
泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
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6. 已知命题p： x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q： x∈R，2x＜a.若p和
q均为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. （－2，0] B. （－2，0）
C. [－2，0] D. [－2，0）
解析： 由p为真命题，可知对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝（－a）2－
4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由 q为真命题，可得 x∈R，2x≥a恒成
立，因为2x＞0恒成立，所以a≤0.综上所述，a的取值范围为[－2，0]，
故选C.
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7. （2024·南昌一模）已知p：ln（a－1）＞0，q： x＞0， ≤a，则
p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 由ln（a－1）＞0，得 a＞2，设p：A＝{a｜ln
（a－1）＞0}＝{a｜a＞2}，由 x＞0， ≤a等价于a≥ ＝x＋
≥2（当x＝1时等号成立），则a≥2，设q：B＝{a｜a≥2}，因为{a｜
a≥2} {a｜a＞2}，所以p q且q / p，所以p是q的充分不必要条件.
故选A.
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8. 〔多选〕关于二次函数y＝（x－2）2－1，下列说法中正确的是
（ ）
A. x∈R，y＝（x－2）2－1≥1
B. a＞－1， x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜a
C. a＜－1， x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝a
D. x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1
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解析： 对于二次函数y＝（x－2）2－1，其图象开口向上，对称轴为
直线x＝2，最小值为－1.对于选项A，当x＝2时，y＝－1＜1，所以A不
正确；对于选项B， a＞－1，当x0＝2时，y＝－1＜a，所以B正确；对
于选项C，当a＝－2时， x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正确；
对于选项D，取x1＝1，x2＝3，则（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D
正确.故选B、D.
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9. 〔多选〕若a，b，c∈R，则下列叙述中正确的是（ ）
A. “ab2＞cb2”是“a＞c”的充要条件
B. “a＞1”是“ ＜1”的充分不必要条件
C. “ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤0”
D. “a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充
分条件
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解析： 对于选项A，当ab2＞cb2成立时，因为b2＞0，所以a＞c，充
分性成立；当a＞c成立时，因为b2≥0，不能得出ab2＞cb2，必要性不成
立，所以是充分不必要条件，故A错误；对于选项B，当a＞1时， ＜1成
立，即充分性成立；当 ＜1时， －1＜0，解得a＜0或a＞1，必要性不
成立，所以是充分不必要条件，故B正确；对于选项C，ax2＋bx＋c≥0对
x∈R恒成立时，则 或 当b2－4ac≤0时，不等
式ax2＋bx＋c≥0对x∈R不恒成立，所以是既不充分也不必要条件，故C
错误；
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对于选项D，当a＜1时，方程x2＋x＋a＝0不一定有实数根，如a＝ ，Δ
＝1－4× ＝－1＜0，方程无实根，所以充分性不成立.当方程x2＋x＋a
＝0有一个正根和一个负根时，a＜0，所以a＜1，必要性成立，所以是必
要不充分条件，故D正确.故选B、D.
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10. 命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α
不平行.则命题 p是 命题（填“真”或“假”）.
解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，
所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以 p为假命题.
假
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11. （2025·大连一模）“函数f（x）＝ax2－ sin x是奇函数”的充要条件
是实数a＝ .
解析：若f（x）为奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0，所以a（－x）2－
sin （－x）＋ax2－ sin x＝0，2ax2＝0，所以a＝0.
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12. 已知条件p：x＞a，条件q：x≥2.
（1）若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
；
解析：设A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x≥2}.
（1）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥2.
（2）若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
.
解析： 因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a＜2.
[2，＋
∞）
（－∞，
2）
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13. （实操与推理）〔多选〕（2025·八省联考）下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
√
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解析： 对于A选项：原图中的绳结不可解开，则无法无损伤地变为
一个圆；对于D选项：为三个圆，不是一根绳编制的绳结，故D也不能无损
伤的变为原图中的绳结；对于B、C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不
能无损转换，而B、C情形为三叶结变体，则B、C至少有一个无法无损伤
得到，再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知，可以得到C
选项，无法得到B选项.故选A、B、D.
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14. （推理判断题）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个
安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的
时间如表：
安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E
疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 .
D
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解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比
C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比
B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比
C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比
A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E
快；综上所述，D疏散最快.
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演示完毕 感谢观看
