第三节 等式性质与不等式性质
课标要求
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念.
2.会比较两个数（式）的大小.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
1.比较实数的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a b；如果a－b等于0，那么a b；如果a－b是负数，那么a b.反过来也对；
（2）符号表示：a b a－b＞0；a b a－b＝0；a b a－b＜0.
2.等式的基本性质
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a；
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac bc；a＞b，c＜0 ac bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an bn（n∈N，n≥2）；
（6）可开方性：a＞b＞0 ＞（n∈N，n≥2）.
1.倒数性质
若ab＞0，则a＞b ＜；
若ab＜0，则a＞b ＞.
2.分数性质
若a＞b＞0，m＞0，则
（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；
（2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（ ）
（2）若a＞b，则ac2＞bc2.（ ）
（3）若＞1，则a＞b.（ ）
（4）a＝b ac＝bc.（ ）
2.（人A必修一P43习题3（2）题改编）设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（ ）
A.M＞N B.M≥N
C.M＜N D.M≤N
3.（人A必修一P43习题8题改编）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A.ac＞bc B.＜
C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c
4.已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是 .
5.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 .
比较两个数（式）的大小
（基础自学过关）
1.设x，y，z的平均数为M，x与y的平均数为N，N与z的平均数为P.若x＜y＜z，则M与P的大小关系是（ ）
A.M＝P B.M＜P
C.M＞P D.不能确定
2.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（ ）
A.M＞N B.M＜N
C.M＝N D.不能确定
3.若a＝，b＝，c＝，则（ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
练后悟通
不等式的基本性质
（师生共研过关）
（1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（ ）
A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0
（2）〔多选〕设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（ ）
A.ac＜bc B.a－b＜c－d
C.ad＞bc D.－＞0
听课记录 解题技法
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
〔多选〕已知a＞b＞0，b＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.＜ B.ac2＞bc2
C.＜ D.a＋c＞b－c
不等式性质的应用
（师生共研过关）
（1）（人A必修一P43习题5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 ，ab的取值范围是 ；
（2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
解题技法
1.根据不等式的性质求取值范围的策略
（1）严格运用不等式的性质，注意其成立的条件；
（2）同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围；
（3）建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式的实质是根据性质把不等式进行变形，要注意每个性质成立的条件.
1.已知－3＜a＜－2，2＜b＜4，则的取值范围是 .
2.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
第三节 等式性质与不等式性质
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）＞ ＝ ＜ （2）＞ ＝ ＜
3.（3）＞ （4）＞ ＜ （5）＞
对点自测诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）×
2.A 3.D 4.（2，5） 5.甲＞丁＞乙＞丙
【考点·分类突破】
考点1
1.B 由题意可知：M＝，N＝，P＝＝＝，则P－M＝－＝，因为x＜y＜z，则z－x＞0，z－y＞0，可得P－M＝＞0，即M＜P.故选B.
2.A ∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A.
3.B 法一 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，∴a＞b；＝＝log6251 024＞1，∴b＞c.即c＜b＜a.
法二 构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.
考点2
【例1】 （1）BD （2）AD 解析：（1）对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D.
（2）对于A，因为a＞b＞0＞c，所以ac＜bc，故A正确；对于B，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以a－b＝1＝c－d，故B错误；对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以ad＝－4＜bc＝－1，故C错误；对于D，因为a＞b＞0＞c＞d，所以＞＞0，－d＞－c＞0，可得－＞－＞0，所以－＞0，故D正确.故选A、D.
跟踪训练
AC 对于A，由a＞b＞0，得a2＞b2＞0，所以＞＞0，所以＜，则A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，则B错误；对于C，由a＞b，b＞c，得a－c＞b－c＞0，所以＜，则C正确；对于D，当a＝2，b＝1，c＝－2时，a＋c＝0，b－c＝3，此时a＋c＜b－c，则D错误.故选A、C.
考点3
【例2】 （1）（0，13） （－3，15）
解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13；当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15.
（2）证明：由于a＞b＞0，－c＞－d＞0，则a－c＞b－d＞0，则（a－c）2＞（b－d）2＞0，即＜.又e＜0，则＞.
跟踪训练
1.（－2，－） 解析：∵－3＜a＜－2，∴－＜＜－，故＜－＜.又∵2＜b＜4，∴＜－＜2，则－2＜＜－.
2.证明：∵bc≥ad，＞0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
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