第四节 基本不等式
1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（ ）
A.x≥2y B.x＞2y
C.x≤2y D.x＜2y
2.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为（ ）
A. B.4
C. D.2
3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.9
4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
5.若xy＞0，则（x＋）2＋（y＋）2的最小值是（ ）
A.3 B.
C.4 D.
6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（ ）
A.若ab≤1，则＋≥2
B.若a＋b＝4，则＋的最小值为4
C.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2
D.函数y＝a＋的最小值为1
7.〔多选〕（2024·甘肃高考诊断考试）已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝1，则（ ）
A.ab的最大值为
B.a2＋b2的最小值为1
C.＋的最小值为8
D.2a＋4b的最小值为2
8.设实数a＞0，x＋（x＞－2）的最小值为6，则a＝ .
9.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x＋y的最小值.
10.已知a＞0，b＞0，设M＝max{a，b，＋}，则M的最小值等于（ ）
A.1 B.
C. D.2
11.若正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜－2或m≥4 B.m＜－4或m≥2
C.－2＜m＜4 D.－4＜m＜2
12.〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（ ）
A.a＋b＋c≤ B.（a＋b＋c）2≥3
C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1
13.已知a，b为两个正实数，且a＋4b＝1，则＋2的最大值为 .
14.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元.
（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？
15.（创新知识交汇）半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为 .
16.（创新考法）已知a，b，c＞0时，有＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启示，求证当a，b，c＞0时，＋＋≥.
第四节 基本不等式
1.B 因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.
2.D 由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.
3.C 法一 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋－1＝（a＋b）（＋）－1＝＋＋4≥2＋4＝8（当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”）.故选C.
法二 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”.故选C.
4.C 由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋）≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
5.C （x＋）2＋（y＋）2＝x2＋＋＋y2＋＋＝（x2＋）＋（y2＋）＋（＋）≥1＋1＋2＝4，当且仅当x2＝，y2＝，＝同时成立，即x＝y＝±时，等号成立.故选C.
6.ABC 因为0＜ab≤1，所以≥1，所以＋≥2≥2，故A正确；若a＋b＝4，则＋＝（a＋b）（＋）＝（＋＋10）≥（2＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；由于a＞0，b＞0，所以y＝a＋＝a＋1＋－1≥1，当且仅当a＋1＝，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知矛盾，故D错误.故选A、B、C.
7.ACD 对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以A正确；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋，当且仅当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，故B错误；对于C，由＋＝（a＋2b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以D正确.综上，选A、C、D.
8.16 解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当x＝－2时，x＋（x＞－2）取到最小值2－2，即2－2＝6，解得a＝16.
9.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
（2）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝（x＋y）
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
10.B 由题设得M≥a，M≥b，所以2M≥a＋b.又M≥＋，于是2M2≥（a＋b）（＋）≥4，因此M≥.故当a＝b＝时，Mmin＝.
11.D 因为正实数x，y满足＋＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝4＋＋≥8，当且仅当即时，x＋2y取得最小值8，从而只要m2＋2m＜8，即－4＜m＜2时不等式恒成立，故选D.
12.BD 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确.
13. 解析：法一 因为a，b为两个正实数，所以（＋2）2＝a＋4＋4b＝1＋4≤1＋a＋4b＝2，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，故＋2的最大值为.
法二 ≤＝＝＝，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，则＋2≤，故＋2的最大值为.
14.解：（1）由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为 h，
所以y＝（v2＋a）＝1 000（v＋），定义域为（0，80].
（2）y＝1 000（v＋）≥1 000×2＝1 000（元），当v＝时，得v＝2，因为0＜v≤80，
所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低；
当a≥1 600时，函数y＝1 000（v＋）在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低.
15.32 解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，以AB，AC，AD为棱补成球的内接长方体，由于此时长方体的体对角线即为球的直径，故有a2＋b2＋c2＝4R2＝64，故S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝（ab＋bc＋ac）≤（＋＋）＝＝32，当且仅当a＝b＝c时取等号.
16.证明：由于＋＋＋3＝（＋1）＋（＋1）＋（＋1）＝＋＋＝[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]·（＋＋）
＝［3＋＋＋］
＝［3＋（＋）＋（＋）＋（＋）］≥，
从而＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，原不等式等号成立.
2 / 2第四节 基本不等式
课标要求
1.了解基本不等式的推导过程.
2.掌握基本不等式≤（a，b≥0）.
3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件是 ；
（2）等号成立的条件是：当且仅当 时，等号成立；
（3）其中叫做正数a，b的 平均数，叫做正数a，b的 平均数.
提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
2.基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简记：和定积最大）.
几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；
（2）＋≥2（a，b同号）；
（3）ab≤（）2（a，b∈R）；
（4）≥（）2（a，b∈R）.
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（ ）
（2）函数y＝x＋（x＞0）的最小值是2.（ ）
（3）函数f（x）＝sin x＋的最小值为4.（ ）
2.（人A必修一P45例1改编）函数f（x）＝（x＞0）的最小值是（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.（苏教必修一P61练习1题改编）已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（ ）
A.9 B.18
C.9 D.27
4.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为 .
5.（人A必修一P46例3（2）改编）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 .
基本不等式的常见变形
（师生共研过关）
若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.b＞＞a＞
B.b＞＞＞a
C.b＞＞＞a
D.b＞a＞＞
听课记录 解题技法
基本不等式的常见变形
（1）ab≤（）2≤；
（2）≤≤≤（a＞0，b＞0）.
〔多选〕已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）
A.≥ab B.＋≥2
C.ab≤（）2 D.（）2≤
利用基本不等式求最值
（定向精析突破）
考向1 配凑法
（1）（2024·广东大联考）若x∈（，1］，则2x＋的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.2 D.3
（2）已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
听课记录
解题技法
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.
考向2 常数代换法
（1）已知正实数x，y满足＋＝1，则2x＋y的最小值为（ ）
A.1 B.2
C.4 D.8
（2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为 .
听课记录 解题技法
常数代换法求最值的基本步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
考向3 消元法
（人A必修一P58复习参考题5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为 .
听课记录 解题技法
消元法求最值的思路
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.
1.当x＞0时，的最大值为 .
2.已知0＜x＜1，则＋的最小值是 .
3.（2024·安庆三模）若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是 .
利用基本不等式解决实际问题
（师生共研过关）
某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
解题技法
利用基本不等式解决实际问题的策略
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为（ ）
A.5千米 B.6千米
C.7千米 D.8千米
第四节 基本不等式
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）a＞0，b＞0 （2）a＝b （3）算术 几何
对点自测诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.B 3.B 4.1 5.25 m2
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 C ∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a.
跟踪训练
ACD 由a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，得≥ab，A正确；由a，b∈R，取a＝－1，b＝2，则＋＝－2－＜0，故B错误；由于a，b∈R，则ab－（）2＝－≤0，则ab≤（）2，故C正确；由于（）2－＝－≤0，故D正确，故选A、C、D.
考点2
【例2】 （1）D （2）A 解析：（1）因为x∈（，1］，所以2x－1∈（0，1]，所以2x＋＝［（2x－1）＋］＋1≥2＋1＝3，当且仅当2x－1＝，即x＝1时取等号.故选D.
（2）因为0＜x＜2，所以可得4－x2＞0，则y＝x＝≤＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，上式取得等号，故y＝x的最大值为2.故选A.
【例3】 （1）D （2）9 解析：（1）因为x，y为正实数，且＋＝1，所以2x＋y＝（＋）（2x＋y）＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2x＝y＝4时取等号.故选D.
（2）因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋.因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝4（当且仅当＝，即b＝2a时取等号，此时a＝3，b＝6），所以a＋b≥9.
【例4】 6 解析：法一 ∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值.
法二 由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，∴a＞1，b＞1，∴a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值.
法三 ∵ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）.
跟踪训练
1. 解析：当x＞0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，即的最大值为.
2.9 解析：由0＜x＜1，得1－x＞0.＋＝（＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝即x＝时取等号，所以＋的最小值是9.
3. 解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝＝＋，故x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立.
考点3
【例5】 解：设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝（x＋4）·（＋8）
＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立.
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少.
跟踪训练
A 设供热站到社区的距离为x（x＞0）千米，则月自然消费y1＝，月供热费y2＝k2x，由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以两项费用之和为y1＋y2＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝5时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A.
3 / 4(共60张PPT)
第四节 基本不等式
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解基本不等式的推导过程.
2. 掌握基本不等式 ≤ （a，b≥0）.
3. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 基本不等式 ≤
（1）基本不等式成立的条件是 ；
（2）等号成立的条件是：当且仅当 时，等号成立；
（3）其中 叫做正数a，b的 平均数， 叫做正数a，b
的 平均数.
提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个
条件，就会出错.
a＞0，b＞0
a＝b
算术
几何
2. 基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 （简
记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简
记：和定积最大）.
几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；
（2） ＋ ≥2（a，b同号）；
（3）ab≤（ ）2（a，b∈R）；
（4） ≥（ ）2（a，b∈R）.
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同的.
（ × ）
（2）函数y＝x＋ （x＞0）的最小值是2. （ √ ）
（3）函数f（x）＝ sin x＋ 的最小值为4. （ × ）
×
√
×
2. （人A必修一P45例1改编）函数f（x）＝ （x＞0）的最小值是
（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： f（x）＝ ＝x＋ ＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝ ，即x
＝1时，等号成立，故f（x）的最小值为3.故选B.
√
3. （苏教必修一P61练习1题改编）已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n
的最小值是（ ）
A. 9 B. 18
D. 27
解析： 因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2 得，m＋
n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.
√
4. 函数y＝x＋ （x≥0）的最小值为 .
解析：因为x≥0，所以x＋1＞0， ＞0，利用基本不等式得y＝x＋
＝x＋1＋ －1≥2 －1＝1，当且仅当x＋1＝ ，即x
＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋ （x≥0）的最小值为1.
1
5. （人A必修一P46例3（2）改编）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形
场地，则矩形场地的最大面积是 .
解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面
积为S＝xy≤（ ）2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号.
25 m2
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
基本不等式的常见变形（师生共研过关）
若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
√
解析： ∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞ ＞ .∵b＞a＞0，
∴ab＞a2，∴ ＞a.故b＞ ＞ ＞a.
解题技法
基本不等式的常见变形
（1）ab≤（ ）2≤ ；
（2） ≤ ≤ ≤ （a＞0，b＞0）.
〔多选〕已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为
（ ）
√
√
√
解析： 由a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，得 ≥ab，A正确；由
a，b∈R，取a＝－1，b＝2，则 ＋ ＝－2－ ＜0，故B错误；由于a，
b∈R，则ab－（ ）2＝－ ≤0，则ab≤（ ）2，故C正
确；由于（ ）2－ ＝－ ≤0，故D正确，故选A、C、D.
利用基本不等式求最值（定向精析突破）
考向1 配凑法
（1）（2024·广东大联考）若x∈（ ，1］，则2x＋ 的最小值
为（ D ）
A. 1 B. 2
D. 3
D
解析： 因为x∈（ ，1］，所以2x－1∈（0，1]，所以2x＋ ＝
［（2x－1）＋ ］＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当2x－1
＝ ，即x＝1时取等号.故选D.
（2）已知0＜x＜2，则y＝x 的最大值为（ A ）
A. 2 B. 4
C. 5 D. 6
A
解析：因为0＜x＜2，所以可得4－x2＞0，则y＝x ＝
≤ ＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝ 时，
上式取得等号，故y＝x 的最大值为2.故选A.
解题技法
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑
成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配
凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.
考向2 常数代换法
（1）已知正实数x，y满足 ＋ ＝1，则2x＋y的最小值为（ D）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析： 因为x，y为正实数，且 ＋ ＝1，所以2x＋y＝（ ＋ ）
（2x＋y）＝2＋ ＋ ＋2≥4＋2 ＝8，当且仅当2x＝y＝4时取等
号.故选D.
D
（2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为 .
解析： 因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以 ＋ ＝1，所以a＋b
＝（a＋b）（ ＋ ）＝5＋ ＋ .因为a＞0，b＞0，所以 ＋
≥2 ＝4（当且仅当 ＝ ，即b＝2a时取等号，此时a＝3，b＝
6），所以a＋b≥9.
9
解题技法
常数代换法求最值的基本步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积
为定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
考向3 消元法
（人A必修一P58复习参考题5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋
b＋3，则a＋b的最小值为 .
6
解析：法一 ∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝ 且b－1＞0，∴a
＋b＝ ＋b＝1＋ ＋b＝ ＋b－1＋2≥2 ＋2＝6，
当且仅当 ＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值.
法二 由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，
∴a＞1，b＞1，∴a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋
2≥2 ＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值.
法三 ∵ab＝a＋b＋3≤ （a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）
－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－
2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）.
解题技法
消元法求最值的思路
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消
去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式
求最值.
1. 当x＞0时， 的最大值为 .
解析：当x＞0时， ＝ ≤ ＝ ，当且仅当x＝ ，即x＝2时等
号成立，即 的最大值为 .
2. 已知0＜x＜1，则 ＋ 的最小值是 .
解析：由0＜x＜1，得1－x＞0. ＋ ＝（ ＋ ）[x＋（1－x）]＝5
＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ 即x＝ 时取等号，
所以 ＋ 的最小值是9.
解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝ ＝ ＋ ，故x＋y＝x＋
＋ ＝ ＋ ≥2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，即x＝ 时，等号成
立.
利用基本不等式解决实际问题（师生共研过关）
某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设
计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯
形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为
多少cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
解：设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方
向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝ ＋8，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝（x＋4）（ ＋8）
＝8x＋ ＋1 472≥2 ＋1 472＝192 ＋1 472，
当且仅当8x＝ ，即x＝12 时，等号成立.
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少.
解题技法
利用基本不等式解决实际问题的策略
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的
最值；
（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单
调性求解.
近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社
区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的
距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区
20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项
费用之和最小，供热站到社区的距离应为（ ）
A. 5千米 B. 6千米
C. 7千米 D. 8千米
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解析： 设供热站到社区的距离为x（x＞0）千米，则月自然消费y1＝
，月供热费y2＝k2x，由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝
xy1＝10，k2＝ ＝ ，所以y1＝ ，y2＝ x.所以两项费用之和为y1＋y2
＝ ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 ＝ ，即x＝5时等号成立，所以
要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 不等式（x－2y）＋ ≥2成立的前提条件为（ ）
A. x≥2y B. x＞2y
C. x≤2y D. x＜2y
解析： 因为不等式成立的前提条件是x－2y和 均为正数，所以x－
2y＞0，即x＞2y，故选B.
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2. 已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为（ ）
B. 4
D. 2
解析： 由题意得4＝2a＋b≥2 ，即2≥ ，两边平方得
4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值
为2.
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3. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 9
√
解析： 法一 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ －
1＝（a＋b）（ ＋ ）－1＝ ＋ ＋4≥2 ＋4＝8（当且仅当
＝ ，即a＝ ，b＝ 时取“＝”）.故选C.
法二 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋4≥
2 ＋4＝8，当且仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时取“＝”.故选C.
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4. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面
造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价
是（ ）
A. 80元 B. 120元
C. 160元 D. 240元
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解析： 由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设
底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y
＝20×4＋10×（2x＋ ）≥80＋20 ＝160，当且仅当2x＝ ，即x
＝2时取得等号.
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5. 若xy＞0，则（x＋ ）2＋（y＋ ）2的最小值是（ ）
A. 3
C. 4
解析： （x＋ ）2＋（y＋ ）2＝x2＋ ＋ ＋y2＋ ＋ ＝（x2
＋ ）＋（y2＋ ）＋（ ＋ ）≥1＋1＋2＝4，当且仅当x2＝ ，y2
＝ ， ＝ 同时成立，即x＝y＝± 时，等号成立.故选C.
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6. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（ ）
C. 若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2
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解析： 因为0＜ab≤1，所以 ≥1，所以 ＋ ≥2 ≥2，故A正
确；若a＋b＝4，则 ＋ ＝ （a＋b）（ ＋ ）＝ （ ＋ ＋10）≥
（2 ＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若
a2＋b2＝4，则ab≤ ＝2，当且仅当a＝b＝ 时等号成立，故C正
确；由于a＞0，b＞0，所以y＝a＋ ＝a＋1＋ －1≥1，当且仅当a
＋1＝ ，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知矛盾，故D错误.故选
A、B、C.
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7. 〔多选〕（2024·甘肃高考诊断考试）已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝
1，则（ ）
B. a2＋b2的最小值为1
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解析： 对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2 ，解得
ab≤ ，当且仅当 即a＝ ，b＝ 时等号成立，所以A正
确；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－ ）2＋ ，
当且仅当b＝ ，a＝ 时，a2＋b2取到最小值 ，故B错误；对于C，由
＋ ＝（a＋2b）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当
即a＝ ，b＝ 时等号成立，所以C正确；
对于D，2a＋4b≥2 ＝2 ＝2 ，当且仅当 即
a＝ ，b＝ 时等号成立，所以D正确.综上，选A、C、D.
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8. 设实数a＞0，x＋ （x＞－2）的最小值为6，则a＝ .
解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋ ＝x＋2＋ －
2≥2 －2＝2 －2，当且仅当x＝ －2时，x＋
（x＞－2）取到最小值2 －2，即2 －2＝6，解得a＝16.
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9. 已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
（1）xy的最小值；
解： 由2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1.
又x＞0，y＞0，
则1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得xy≥64，
当且仅当 ＝ ，即x＝16且y＝4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
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（2）x＋y的最小值.
解： 由2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1，
则x＋y＝ （x＋y）
＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18.
当且仅当 ＝ ，即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
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10. 已知a＞0，b＞0，设M＝max{a，b， ＋ }，则M的最小值等于
（ ）
A. 1
D. 2
解析： 由题设得M≥a，M≥b，所以2M≥a＋b.又M≥ ＋ ，于
是2M2≥（a＋b）（ ＋ ）≥4，因此M≥ .故当a＝b＝ 时，Mmin
＝ .
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11. 若正实数x，y满足 ＋ ＝1，且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A. m＜－2或m≥4 B. m＜－4或m≥2
C. －2＜m＜4 D. －4＜m＜2
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解析： 因为正实数x，y满足 ＋ ＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（ ＋
）＝4＋ ＋ ≥8，当且仅当 即 时，x＋2y取得
最小值8，从而只要m2＋2m＜8，即－4＜m＜2时不等式恒成立，故选D.
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12. 〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的
是（ ）
B. （a＋b＋c）2≥3
D. a2＋b2＋c2≥1
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解析： 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋
a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋
c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝± 时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋
b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－ 或a＋b＋c≥ .
若a＝b＝c＝－ ，则 ＋ ＋ ＝－3 ＜2 .因此A、C错误，B、D
正确.
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13. 已知a，b为两个正实数，且a＋4b＝1，则 ＋2 的最大值
为 .
解析：法一 因为a，b为两个正实数，所以（ ＋2 ）2＝a＋4 ＋
4b＝1＋4 ≤1＋a＋4b＝2，当且仅当a＝4b，即a＝ ，b＝ 时，等
号成立，故 ＋2 的最大值为 .
法二 ≤ ＝ ＝ ＝ ，当且仅当a＝
4b，即a＝ ，b＝ 时，等号成立，则 ＋2 ≤ ，故 ＋2 的
最大值为 .
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14. 甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超
过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成
本组成，可变成本是速度平方的 ，固定成本为a元.
（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函
数，并指出这个函数的定义域；
解： 由题意，得可变成本为 v2元，固定成本为a元，所用时间为
h，
所以y＝ （ v2＋a）＝1 000（ v＋ ），定义域为（0，80].
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（2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？
解： y＝1 000（ v＋ ）≥1 000×2 ＝1 000 （元），当 v
＝ 时，得v＝2 ，因为0＜v≤80，
所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成
本最低；
当a≥1 600时，函数y＝1 000（ v＋ ）在（0，80]上单调递减，故货
车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低.
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15. （创新知识交汇）半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足
AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值
为 .
解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，以AB，AC，AD为棱补成球的内
接长方体，由于此时长方体的体对角线即为球的直径，故有a2＋b2＋c2＝
4R2＝64，故S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝ （ab＋bc＋ac）≤ （ ＋
＋ ）＝ ＝32，当且仅当a＝b＝c时取等号.
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16. （创新考法）已知a，b，c＞0时，有 ＋ ＋ ＝（ ＋ ）
＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求
出最值.依此启示，求证当a，b，c＞0时， ＋ ＋ ≥ .
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证明：由于 ＋ ＋ ＋3＝（ ＋1）＋（ ＋1）＋（
＋1）＝ ＋ ＋ ＝ [（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋
b）]·（ ＋ ＋ ）
＝ ［3＋ ＋ ＋
］
＝ ［3＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）］≥ ，
从而 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当a＝b＝c时，原不等式等号成立.
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演示完毕 感谢观看
