第五节 一元二次不等式及其解法
1.不等式x2＋3x－10＞0的解集为（ ）
A.（－2，5） B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）
C.（－5，2） D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）
2.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（ ）
A.（－∞，0）∪（0，） B.（－∞，）
C.（，＋∞） D.（0，）
3.不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（ ）
A.［，1］ B.[1，＋∞）
C.（－∞，］∪[1，＋∞） D.［，＋∞）
4.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，5） B.（5，＋∞）
C.（－4，＋∞） D.（－∞，4）
5.〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（ ）
A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}
B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－}
C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}
D.当a＝－时，不等式的解集为
6.〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），则（ ）
A.a＞0
B.a＋b＋c＞0
C.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）
7.若不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为 .
8.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为 .
9.解下列不等式：
（1）3≤｜5－2x｜＜9；
（2）≤1.
10.当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是（ ）
A.[－1，3] B.（－∞，－1]
C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
11.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A.（6，7] B.[－3，－2）
C.[－3，－2）∪（6，7] D.[－3，7]
12.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－4，1），则的取值范围为（ ）
A.[－6，＋∞） B.（－∞，6）
C.（－6，＋∞） D.（－∞，－6]
13.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a＜0）.
14.已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0.
（1）若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值；
（2）若b＝a＋1，求此不等式的解集.
15.（情境创新）已知函数y＝[x]称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[3.4]＝3，[－1.6]＝－2，则不等式＜0的解集为 ；当x＞0时，的最大值为 .
第五节 一元二次不等式及其解法
1.D 由x2＋3x－10＞0得（x＋5）（x－2）＞0，解得x＜－5或x＞2.
2.A 由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0，）.
3.A 因为a＜0，ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－）（x－1）≥0，所以（x－）·（x－1）≤0，所以解集为［，1］.故选A.
4.A 设f（x）＝x2－4x－a，则f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，只要f（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为（－∞，5）.
5.AD 当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确.由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当即a＜－时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}；当即－＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为 ，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D.
6.ACD ∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），∴a＞0，A选项正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则∴a＋b＋c＝－6a＜0，B选项错误；不等式bx＋c＞0可化为－ax－6a＞0，得x＜－6，C选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0可化为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D选项正确.故选A、C、D.
7.（－，） 解析：因为不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m2＞0，所以－＜m＜.
8. 解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a＝.
9.解：（1）不等式等价于即解得不等式的解集为（－2，1]∪[4，7）.
（2）由题意知x2＋x＋2＝（x＋）2＋＞0，
则≤1可变形为3x2＋2x＋1≤x2＋x＋2，化简得2x2＋x－1≤0，可变形为（2x－1）（x＋1）≤0，解得－1≤x≤.故原不等式的解集为［－1，］.
10.D 不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则
∴x＜－1或x＞3.
11.C 不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为 ，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C.
12.D 由不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－4，1），可知1和－4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a＜0，由根与系数的关系可得即可得b＝3a，c＝－4a，所以＝＝＝4a＋＝－（－4a＋）≤－2＝－6.当且仅当－4a＝时，即a＝－时等号成立，即可得∈（－∞，－6].故选D.
13.解：原不等式可化为ax2＋（a－2）x－2≥0，即（ax－2）（x＋1）≥0.
由a＜0，原不等式可化为（x－）（x＋1）≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1.
综上所述，
当－2＜a＜0时，不等式的解集为x｜≤x≤－1；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为x｜－1≤x≤.
14.解：（1）根据题意得
解得
（2）当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b＞0 x2－ax－（a＋1）＜0，
即[x－（a＋1）]（x＋1）＜0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为 ；
当a＋1＜－1，即a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）；
当a＋1＞－1，即a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）.
综上，当a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）；当a＝－2时，原不等式的解集为 ；当a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）.
15.[1，6） 解析：由＜0，即[x]·（[x]－6）＜0，解得0＜[x]＜6，又[x]表示不超过x的最大整数，故1≤x＜6；当x∈（0，1）时，[x]＝0，则＝0，当x≥1时，＝≤＝，当且仅当[x]＝，即[x]＝3时，等号成立，即当x＞0时，的最大值为.
2 / 2第五节 一元二次不等式及其解法
课标要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
提醒 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
2.三个“二次”的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2}
1.分式不等式的解法
（1）＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2）≥0（≤0）
2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法
（1）｜ax＋b｜≤c －c≤ax＋b≤c；
（2）｜ax＋b｜≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（ ）
（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（ ）
（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（ ）
2.（人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（ ）
A.（－2，5）
B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）
C.（－5，2）
D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）
3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－＜x＜，则a－b＝（ ）
A.－10 B.－14
C.10 D.14
4.（苏教必修一P70习题15题改编）不等式≥0的解集为 .
5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为 .
不含参数的一元二次不等式的解法
（师生共研过关）
解下列不等式：
（1）－3x2－2x＋8≥0；
（2）≤1；
（3）－x≤1.
解题技法
解一元二次不等式的4个步骤
提醒 对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0.
不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是 .
含参数的一元二次不等式的解法
（师生共研过关）
解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.
解题技法
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）.
三个“二次”间的关系
（师生共研过关）
〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（ ）
A.a＞0
B.bx－c＞0的解集是{x|x＞}
C.cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－或x＞1}
D.a＋b＜c
听课记录 解题技法
“三个二次”之间的关系及其应用
（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值；
（2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n.
1.已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为 .
2.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集.
第五节 一元二次不等式及其解法
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.2
对点自测诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.A 3.A 4.（－∞，－）∪[1，＋∞） 5.（－3，3）
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
（2）因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于（x－4）（x－）≥0且x－≠0，解得x＜或x≥4，故原不等式的解集为{x｜x＜，或x≥4}.
（3）原不等式等价于
上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，
即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}.
跟踪训练
{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}
解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）·（x－1）≤0，所以－3≤x≤1.
画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}.
考点2
【例2】 解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0，
因为a＞0，所以a（x－）（x－1）＜0.
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜}；
当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为.
跟踪训练
解：当a＝0时，不等式可化为一次不等式：－（x＋2）＞0，则有x＜－2.
当a≠0时，不等式可化为二次不等式a（x－）·（x＋2）＞0.
①当a＞0时，（x－）（x＋2）＞0，可得x＜－2或x＞；
②当a＜0时，（x－）（x＋2）＜0.
－＜a＜0时，则＜x＜－2；a＝－时，解集为 ；a＜－时，则－2＜x＜.
综上所述：
当a＞0时，解集为（－∞，－2）∪（，＋∞）；
当a＝0时，解集为（－∞，－2）；
当－＜a＜0时，解集为（，－2）；当a＝－时，解集为 ；当a＜－时，解集为（－2，）.
考点3
【例3】 BCD 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则即bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞.cx2＋ax－b＞0，即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是x｜x＜－或x＞1.因为x＝－1∈x｜x＜－或x＞1，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故选B、C、D.
跟踪训练
1.（－∞，－）∪（1，＋∞）
解析：由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根分别为－2，1，由根与系数的关系可得－2＋1＝－m，解得m＝1，所以不等式－2x2＋x＋m＜0，即－2x2＋x＋1＜0，整理得2x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞1，故原不等式的解集为（－∞，－）∪（1，＋∞）.
2.解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，
则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，
解得x≥3或x≤－1.
故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.
3 / 3(共49张PPT)
第五节 一元二次不等式及其解法
高中总复习·数学
课标要求
1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式
的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示
一元二次不等式的解集.
2. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程
的联系.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元
二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c
＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
提醒 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
2
2. 三个“二次”的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a
＞0）的图象
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＝0（a
＞0）的根 有两个不相等的实
数根x1，x2（x1＜
x2） 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0（a
＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x
＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0（a
＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2}
1. 分式不等式的解法
（1） ＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2） ≥0（≤0）
2. ｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法
（1）｜ax＋b｜≤c －c≤ax＋b≤c；
（2）｜ax＋b｜≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式. （ × ）
（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.
（ √ ）
（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c
＞0（a＜0）的解集为R. （ × ）
×
√
×
2. （人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为
（ ）
A. （－2，5）
B. （－∞，－2）∪（5，＋∞）
C. （－5，2）
D. （－∞，－5）∪（2，＋∞）
解析： 由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.
√
3. 若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－ ＜x＜ }，则a－b＝
（ ）
A. －10 B. －14
C. 10 D. 14
解析： 由题意知x1＝－ ，x2＝ 是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴ 解得 ∴a－b＝－10.
√
4. （苏教必修一P70习题15题改编）不等式 ≥0的解集为
.
解析：不等式变为 x≥1或x＜－ .
解析：由题意得4a2－4×18＜0，解得－3 ＜a＜3 .
（－∞，
－ ）∪[1，＋∞）
（－3 ，3 ）
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
不含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关）
解下列不等式：
（1）－3x2－2x＋8≥0；
解： 原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤ ，
所以原不等式的解集为 .
（2） ≤1；
解： 因为 ≤1，所以 －1≤0，所以 ≤0，即 ≥0，此
不等式等价于（x－4）（x－ ）≥0且x－ ≠0，解得x＜ 或x≥4，故
原不等式的解集为{x｜x＜ ，或x≥4}.
（3） －x≤1.
解： 原不等式等价于
上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，
即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}.
解题技法
解一元二次不等式的4个步骤
提醒 对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0.
不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是 .
解析：原不等式等价于 即 由①
得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，
所以－3≤x≤1.
画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}.
{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}
含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关）
解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.
解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0，
因为a＞0，所以a（x－ ）（x－1）＜0.
所以当a＞1时，解为 ＜x＜1；当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜ .
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜ }；
当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为 .
解题技法
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于
0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论
两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）.
解：当a＝0时，不等式可化为一次不等式：－（x＋2）＞0，则有x＜
－2.
当a≠0时，不等式可化为二次不等式a（x－ ）·（x＋2）＞0.
①当a＞0时，（x－ ）（x＋2）＞0，可得x＜－2或x＞ ；
②当a＜0时，（x－ ）（x＋2）＜0.
－ ＜a＜0时，则 ＜x＜－2；a＝－ 时，解集为 ；a＜－ 时，则－2
＜x＜ .
综上所述：
当a＞0时，解集为（－∞，－2）∪（ ，＋∞）；
当a＝0时，解集为（－∞，－2）；
当－ ＜a＜0时，解集为（ ，－2）；当a＝－ 时，解集为 ；当a＜－
时，解集为（－2， ）.
三个“二次”间的关系（师生共研过关）
〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），
则下列说法正确的是（ ）
A. a＞0
D. a＋b＜c
√
√
√
解析： 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则
即 bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞
.cx2＋ax－b＞0，
即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是{x｜x＜－ 或x＞1}.
因为x＝－1∈{x｜x＜－ 或x＞1}，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故
选B、C、D.
解题技法
“三个二次”之间的关系及其应用
（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次
不等式解集的端点值；
（2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋
∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解
集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n.
1. 已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋
∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为
.
解析：由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根分别为－2，1，由
根与系数的关系可得－2＋1＝－m，解得m＝1，所以不等式－2x2＋x＋
m＜0，即－2x2＋x＋1＜0，整理得2x2－x－1＞0，解得x＜－ 或x＞1，
故原不等式的解集为（－∞，－ ）∪（1，＋∞）.
（－∞，－ ）∪（1，＋
∞）
2. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集.
解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，
－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，
则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x
＋1）≥0，
解得x≥3或x≤－1.
故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 不等式x2＋3x－10＞0的解集为（ ）
A. （－2，5）
B. （－∞，－2）∪（5，＋∞）
C. （－5，2）
D. （－∞，－5）∪（2，＋∞）
解析： 由x2＋3x－10＞0得（x＋5）（x－2）＞0，解得x＜－5或x
＞2.
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2. 不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（ ）
解析： 由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所
以0＜x＜ ；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综
上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0， ）.
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3. 不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（ ）
B. [1，＋∞）
解析： 因为a＜0，ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－ ）（x－1）≥0，
所以（x－ ）（x－1）≤0，所以解集为［ ，1］.故选A.
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4. 若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，则实数a的取
值范围是（ ）
A. （－∞，5） B. （5，＋∞）
C. （－4，＋∞） D. （－∞，4）
解析： 设f（x）＝x2－4x－a，则f（x）的图象开口向上，对称轴为
直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，只要f
（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为（－
∞，5）.
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5. 〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正
确的是（ ）
A. 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}
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解析： 当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确.
由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当
即a＜－ 时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4}；当 即－ ＜a
＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－ }；当a＝－ 时，－ ＝4，此时
不等式的解集为 ，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D.
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6. 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪
（3，＋∞），则（ ）
A. a＞0
B. a＋b＋c＞0
C. 不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}
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解析： ∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪
（3，＋∞），∴a＞0，A选项正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c
＝0的两根，由根与系数的关系得 则 ∴a＋b
＋c＝－6a＜0，B选项错误；不等式bx＋c＞0可化为－ax－6a＞0，得x
＜－6，C选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0可化为－6ax2＋ax＋a＜0，即
6x2－x－1＞0，解得x＜－ 或x＞ ，D选项正确.故选A、C、D.
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解析：因为不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m2
＞0，所以－ ＜m＜ .
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解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数
根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2
－x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解
得a＝ .
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9. 解下列不等式：
（1）3≤｜5－2x｜＜9；
解：不等式等价于 即 解
得 不等式的解集为（－2，1]∪[4，7）.
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（2） ≤1.
解：由题意知x2＋x＋2＝（x＋ ）2＋ ＞0，
则 ≤1可变形为3x2＋2x＋1≤x2＋x＋2，化简得2x2＋x－1≤0，
可变形为（2x－1）（x＋1）≤0，解得－1≤x≤ .故原不等式的解集为
［－1， ］.
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10. 当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是
（ ）
A. [－1，3] B. （－∞，－1]
C. [3，＋∞） D. （－∞，－1）∪（3，＋∞）
解析： 不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，
令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则
∴x＜－1或x＞3.
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11. 若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则
实数m的取值范围为（ ）
A. （6，7] B. [－3，－2）
C. [－3，－2）∪（6，7] D. [－3，7]
解析： 不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当
m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个
整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为 ，此时
不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有
4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m
的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C.
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12. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－
4，1），则 的取值范围为（ ）
A. [－6，＋∞） B. （－∞，6）
C. （－6，＋∞） D. （－∞，－6]
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解析： 由不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－4，
1），可知1和－4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a＜0，由根与
系数的关系可得 即可得b＝3a，c＝－4a，所以 ＝
＝ ＝4a＋ ＝－（－4a＋ ）≤－2
＝－6.当且仅当－4a＝ 时，即a＝－ 时等号成立，即可得 ∈
（－∞，－6].故选D.
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13. 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a＜0）.
解：原不等式可化为ax2＋（a－2）x－2≥0，即（ax－2）（x＋1）≥0.
由a＜0，原不等式可化为（x－ ）（x＋1）≤0.
当 ＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤ ；
当 ＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当 ＜－1，即－2＜a＜0时，解得 ≤x≤－1.
综上所述，
当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x｜ ≤x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为{x｜－1≤x≤ }.
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14. 已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0.
（1）若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值；
解： 根据题意得
解得
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（2）若b＝a＋1，求此不等式的解集.
解： 当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b＞0 x2－ax－（a＋1）＜0，即
[x－（a＋1）]（x＋1）＜0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为 ；
当a＋1＜－1，即a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）；
当a＋1＞－1，即a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）.
综上，当a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）；当a＝－2时，原
不等式的解集为 ；当a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）.
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15. （情境创新）已知函数y＝[x]称为高斯函数，表示不超过x的最大整
数，如[3.4]＝3，[－1.6]＝－2，则不等式 ＜0的解集为
；当x＞0时， 的最大值为 .
[1，
6）
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解析：由 ＜0，即[x]·（[x]－6）＜0，解得0＜[x]＜6，又[x]表示不
超过x的最大整数，故1≤x＜6；当x∈（0，1）时，[x]＝0，则 ＝
0，当x≥1时， ＝ ≤ ＝ ，当且仅当[x]＝ ，即[x]
＝3时，等号成立，即当x＞0时， 的最大值为 .
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