基本不等式链的探究与应用
一、基本不等式链的几何解释与证明
几何解释 由人A必修一P45探究可知. 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于E，连接OE，CD，再过点D作OE的垂线，垂足为F. 则OC＝OE＝（算术平均数），CD＝＝＝（平方平均数）. 由△FED∽△DEO可得，DE＝（几何平均数），EF＝（调和平均数）. 由图形易知EF＜DE＜OE＝OC＜CD， 故≤≤≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立（基本不等式链）
代数证明 证明：若实数a＞0，b＞0. （1）由＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）. （2）由基本不等式得，≤成立（当且仅当a＝b时取等号）. （3）要证≤，即证（）2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）.综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号
二、基本不等式链的应用
利用基本不等式链求最值
（1）〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（ ）
A.有最大值
B.＋有最小值3
C.a2＋b2有最小值
D.＋有最大值
（2）函数y＝＋的最大值为 .
听课记录
利用基本不等式链判断（证明）
〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
听课记录
基本不等式链应用中的创新问题
〔多选〕设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A（a，b）＝，几何平均数为G（a，b）＝.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp（a，b）＝，其中p为有理数.下列结论正确的是（ ）
A.L0.5（a，b）≤L1（a，b）
B.L0（a，b）≤G（a，b）
C.L2（a，b）≤A（a，b）
D.Ln＋1（a，b）≤Ln（a，b）
听课记录 高考还可以这样考
1.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）·（1＋2y）的最大值为（ ）
A.36 B.4 C.16 D.9
2.若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.＜＜
B.≥≥
C.＞＞
D.＜＜
3.已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则＋的最大值为 .
考教衔接 基本不等式链的探究与应用
【例1】 （1）ACD （2）2 解析：（1）对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确.
（2）函数的定义域为x∈［，］，由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时等号成立.
【例2】 BC 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误，故选B、C.
【例3】 AB 对于A，L0.5（a，b）＝＝≤L1（a，b）＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，L0（a，b）＝＝≤＝＝G（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于C，L2（a，b）＝＝≥＝＝＝A（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确；对于D，当n＝1时，由选项C可知，L2（a，b）≥＝L1（a，b），故D不正确.综上，选A、B.
高考还可以这样考
1.D 由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，取等号，故选D.
2.C a＞b＞0，＞，＜＝.从而＞＞，故选C.
3.2 解析：因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以≤＝，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最大值为2.
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考教衔接 基本不等式链的探究与应用
高中总复习·数学
一、基本不等式链的几何解释与证明
几何解释
由人A必修一P45探究可知.
如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于
C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于E，连接OE，CD，再过点D作
OE的垂线，垂足为F.
则OC＝OE＝ （算术平均数），CD＝ ＝
＝ （平方平均数）.
由△FED∽△DEO可得，DE＝ （几何平均数），EF＝ （调和平
均数）.
由图形易知EF＜DE＜OE＝OC＜CD，
故 ≤ ≤ ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号
成立（基本不等式链）
代数证明
证明：若实数a＞0，b＞0.
（1）由 ＝ ，所以即证 ≤ ，即证 ≤1，即证2
≤a＋b，即证 ≤ ，显然上式成立.所以 ≤ （当且仅当a
＝b时取等号）.
（2）由基本不等式得， ≤ 成立（当且仅当a＝b时取等号）.
（3）要证 ≤ ，即证（ ）2≤ ，即证
≤ ，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证
（a－b）2≥0，显然上式成立.所以 ≤ （当且仅当a＝b时取
等号）.综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有 ≤ ≤
≤ 成立，当且仅当a＝b时取等号
二、基本不等式链的应用
利用基本不等式链求最值
（1）〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（ ACD ）
ACD
解析： 对于A，由基本不等式可得 ≤ ＝ ，当且仅当a＝
b＝ 时，等号成立，A正确；对于B，由
≤ ＝ ＝ ，得 ＋ ≥ ， 当且
仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝ 时等号成立，B错误；
对于C，由 ≥ ＝ ，得a2＋b2≥ ，当且仅当a＝b＝ 时等
号成立，C正确；对于D，由 ≤ ＝ ，得 ＋ ≤ ，
当且仅当a＝b＝ 时等号成立，D正确.
（2）函数y＝ ＋ 的最大值为 2 .
解析： 函数的定义域为x∈［ ， ］，由 ≤ ，得a＋
b≤2 ，则y＝ ＋ ≤2 ＝2 ，当且仅
当 ＝ ，即x＝ 时等号成立.
2
利用基本不等式链判断（证明）
〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则
（ ）
A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2
C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1
√
√
解析： 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤ ，
所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－ （x＋y）2＝ （x＋y）2，故（x
＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B
正确；由xy≤ 得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－ ，即x2＋y2≤2，
当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误，故选B、C.
基本不等式链应用中的创新问题
〔多选〕设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A（a，
b）＝ ，几何平均数为G（a，b）＝ .上个世纪五十年代，美国
数学家D. H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp（a，b）＝
，其中p为有理数.下列结论正确的是（ ）
A. L0.5（a，b）≤L1（a，b）
B. L0（a，b）≤G（a，b）
C. L2（a，b）≤A（a，b）
D. Ln＋1（a，b）≤Ln（a，b）
√
√
解析： 对于A，L0.5（a，b）＝ ＝ ≤L1（a，b）＝
，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，L0（a，b）＝
＝ ≤ ＝ ＝G（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，
故B正确；对于C，L2（a，b）＝ ＝ ≥ ＝ ＝ ＝A（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确；对于D，当n＝1时，由选项C可知，L2（a，b）≥ ＝L1（a，b），故D不正确.综上，选A、B.
1. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为
（ ）
A. 36 B. 4
C. 16 D. 9
解析： 由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所
以（1＋x）（1＋2y）≤［ ］2＝9，当且仅当1＋x＝1
＋2y，即x＝2，y＝1时，取等号，故选D.
高考还可以这样考
√
2. 若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
解析： a＞b＞0， ＞ ， ＜ ＝ .从而 ＞
＞ ，故选C.
√
3. 已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则 ＋ 的最大值为 2 .
解析：因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以 ≤ ＝ ，
当且仅当3x＝2y，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最大
值为2 .
2
THANKS
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