一元二次不等式恒(能)成立问题
解决不等式恒(能)成立问题,常用的方法有:判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法、转化法等,方法灵活多变,需根据具体的条件选择合适的方法求解.
判别式法解决恒成立问题
若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
点评 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
提醒 当不等式ax2+bx+c>0未说明为一元二次不等式时,要对a分a=0或a≠0进行讨论.
数形结合法解决恒成立问题
已知函数f(x)=x2-mx+2m-4(m∈R).当x>2时,不等式f(x)≥-1恒成立,求m的取值范围.
点评 (1)在R上恒成立:对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方;
(2)在给定区间恒成立:可结合二次函数的图象进行求解,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0):
①a>0时,f(x)<0在α≤x≤β时恒成立
②a<0时,f(x)>0在α≤x≤β时恒成立
③f(x)>0在α≤x≤β时恒成立 {x|α≤x≤β} A,其中A是f(x)>0的解集.
分离参数法解决恒成立问题
已知函数f(x)=ax2+x-1,若x∈[1,5]时不等式f(x)>(a-1)x2+(a+1)x-5恒成立,则实数a的取值范围是 .
听课记录 点评 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边,那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.
主参换位法解决恒成立问题
已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 .
听课记录 点评 如果不等式中含有多个变量,这时选准“主元”往往是解题的关键.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题
已知f(x)=2x2-12x+10,若对于任意的x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t能成立,则实数t的取值范围是 .
听课记录 点评 (1)a>f(x)能成立 a>f(x)min;
(2)a<f(x)能成立 a<f(x)max.
1.当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[,+∞) B.(-∞,)
C.(,+∞) D.(-∞,]
2.若函数f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,则实数a的最小值为 .
3.已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.
(1)若 x∈[-1,1],使得f(x)≥0成立,求实数a的取值范围;
(2)若对于 a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围.
微突破 一元二次不等式恒(能)成立问题
类型1
【例1】 解:原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0,
∵该不等式对任意实数x恒成立,∴Δ≤0,
即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0,
解得a≤-1或a≥4,
∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}.
类型2
【例2】 解:f(x)≥-1,即x2-mx+2m-3≥0在x>2时恒成立,
令g(x)=x2-mx+2m-3,
①若≤2,即m≤4,如图1,
只需g(2)≥0,
即4-2m+2m-3≥0,1≥0恒成立,
∴m≤4满足题意;
②若>2,即m>4,如图2,
只需Δ=m2-4(2m-3)≤0,
则(m-2)(m-6)≤0,∴4<m≤6.
综上所述,m的取值范围为{m|m≤6}.
类型3
【例3】 (-∞,4) 解析:∵f(x)=ax2+x-1,由f(x)>(a-1)x2+(a+1)x-5可得,ax2+x-1>(a-1)x2+(a+1)x-5,整理得,ax<x2+4,∵不等式f(x)>(a-1)x2+(a+1)x-5在x∈[1,5]上恒成立,∴ax<x2+4在[1,5]上恒成立,即a<x+在[1,5]上恒成立,设g(x)=x+,x∈[1,5],根据对勾函数性质易得函数g(x)在[1,2]上单调递减,在[2,5]上单调递增,故g(x)min=g(2)=4,∴a<g(x)min=4,即a的取值范围是(-∞,4).
类型4
【例4】 (-∞,1)∪(3,+∞) 解析:把不等式的左端看成关于a的函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0,解不等式组得x<1或x>3.
类型5
【例5】 [-10,+∞) 解析:不等式f(x)≤2+t在x∈[1,3]上能成立,等价于2x2-12x+8≤t在x∈[1,3]时有解,只要t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设g(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)≥g(3)=-10,所以t≥-10.
跟踪训练
1.A 当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,所以当1≤x≤2时,a≥=x+恒成立,则a≥(x+)max,令g(x)=x+,则g(x)在[1,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=2+=,所以a≥.
2.8 解析:因为a>0,所以二次函数f(x)=ax2+20x+14的图象开口向上.在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,只需t=-时,f(t+1)-f(t)≥8,即a(t+1)2+20(t+1)+14-(at2+20t+14)≥8,整理得2at+a+20≥8,将t=-代入解得a≥8.所以a的最小值为8.
3.解:(1)若 x∈[-1,1],使得f(x)≥0成立,则f(x)max≥0,x∈[-1,1].函数f(x)图象的对称轴方程为x=-a.
当-a≤0,即a≥0时,f(x)max=f(1)=a+3≥0,得a≥-3,所以a≥0.
当-a>0,即a<0时,f(x)max=f(-1)=3-3a≥0,得a≤1,所以a<0.
综上可得,实数a的取值范围是R.
(2)因为对于 a∈[-1,1],f(x)>0,
令g(a)=(2x-1)a+x2+2,则g(a)>0在[-1,1]上恒成立,所以解得x≠-1,故实数x的取值范围是{x|x≠-1}.
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微突破 一元二次不等式恒(能)成立问题
高中总复习·数学
解决不等式恒(能)成立问题,常用的方法有:判别式法、数形结合
法、分离参数法、主参换位法、转化法等,方法灵活多变,需根据具体的
条件选择合适的方法求解.
判别式法解决恒成立问题
若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取
值范围.
解:原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0,
∵该不等式对任意实数x恒成立,∴Δ≤0,
即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0,
解得a≤-1或a≥4,
∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}.
点评 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
提醒 当不等式ax2+bx+c>0未说明为一元二次不等式时,要对a分a=0
或a≠0进行讨论.
数形结合法解决恒成立问题
已知函数f(x)=x2-mx+2m-4(m∈R).当x>2时,不等式f
(x)≥-1恒成立,求m的取值范围.
解:f(x)≥-1,即x2-mx+2m-3≥0在x>2时恒成立,
令g(x)=x2-mx+2m-3,
①若 ≤2,即m≤4,如图1,
只需g(2)≥0,
即4-2m+2m-3≥0,1≥0恒成立,
∴m≤4满足题意;
②若 >2,即m>4,如图2,
只需Δ=m2-4(2m-3)≤0,
则(m-2)(m-6)≤0,∴4<m≤6.
综上所述,m的取值范围为{m|m≤6}.
点评 (1)在R上恒成立:对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是
相应的二次函数的图象全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图
象全部在x轴下方;
(2)在给定区间恒成立:可结合二次函数的图象进行求解,设f(x)=
ax2+bx+c(a≠0):
①a>0时,f(x)<0在α≤x≤β时恒成立
②a<0时,f(x)>0在α≤x≤β时恒成立
③f(x)>0在α≤x≤β时恒成立 {x|α≤x≤β} A,其中A是f
(x)>0的解集.
分离参数法解决恒成立问题
已知函数f(x)=ax2+x-1,若x∈[1,5]时不等式f(x)>(a
-1)x2+(a+1)x-5恒成立,则实数a的取值范围是
.
(-∞,
4)
解析:∵f(x)=ax2+x-1,由f(x)>(a-1)x2+(a+1)x-5
可得,ax2+x-1>(a-1)x2+(a+1)x-5,整理得,ax<x2+4,
∵不等式f(x)>(a-1)x2+(a+1)x-5在x∈[1,5]上恒成立,
∴ax<x2+4在[1,5]上恒成立,即a<x+ 在[1,5]上恒成立,设g
(x)=x+ ,x∈[1,5],根据对勾函数性质易得函数g(x)在[1,2]
上单调递减,在[2,5]上单调递增,故g(x)min=g(2)=4,∴a<g
(x)min=4,即a的取值范围是(-∞,4).
点评 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边,那么这时可以通过求
出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范
围.一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成
立时,应有a≤f(x)min.
主参换位法解决恒成立问题
已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,
则x的取值范围为 .
解析:把不等式的左端看成关于a的函数,记f(a)=(x-2)a+x2-
4x+4,则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,得f(-1)=x2
-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0,解不等式组
得x<1或x>3.
点评 如果不等式中含有多个变量,这时选准“主元”往往是解题的关键.
一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
(-∞,1)∪(3,+∞)
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题
已知f(x)=2x2-12x+10,若对于任意的x∈[1,3],不等式f
(x)≤2+t能成立,则实数t的取值范围是 .
解析:不等式f(x)≤2+t在x∈[1,3]上能成立,等价于2x2-12x+
8≤t在x∈[1,3]时有解,只要t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设g
(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则g(x)在[1,3]上单调递减,所
以g(x)≥g(3)=-10,所以t≥-10.
点评 (1)a>f(x)能成立 a>f(x)min;
(2)a<f(x)能成立 a<f(x)max.
[-10,+∞)
1. 当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,则实数a的取值范围是
( )
解析: 当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,所以当1≤x≤2
时,a≥ =x+ 恒成立,则a≥(x+ )max,令g(x)=x+ ,
则g(x)在[1,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=2+ = ,所
以a≥ .
√
2. 若函数f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间[t-
1,t+1]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,则
实数a的最小值为 .
解析:因为a>0,所以二次函数f(x)=ax2+20x
+14的图象开口向上.在闭区间[t-1,t+1]上总存
在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成
立,只需t=- 时,f(t+1)-f(t)≥8,即
a(t+1)2+20(t+1)+14-(at2+20t+14)≥8,整理得2at+a+20≥8,将t=- 代入解得a≥8.所以a的最小值为8.
8
3. 已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.
(1)若 x∈[-1,1],使得f(x)≥0成立,求实数a的取值范围;
解: 若 x∈[-1,1],使得f(x)≥0成立,则f(x)max≥0,
x∈[-1,1].函数f(x)图象的对称轴方程为x=-a.
当-a≤0,即a≥0时,f(x)max=f(1)=a+3≥0,得a≥-3,所以
a≥0.
当-a>0,即a<0时,f(x)max=f(-1)=3-3a≥0,得a≤1,所
以a<0.
综上可得,实数a的取值范围是R.
(2)若对于 a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围.
解: 因为对于 a∈[-1,1],f(x)>0,
令g(a)=(2x-1)a+x2+2,则g(a)>0在[-1,1]上恒成立,所
以 解得x≠-1,故实数x的取值范围是{x|
x≠-1}.
THANKS
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