一元二次不等式恒（能）成立问题
解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件选择合适的方法求解.
判别式法解决恒成立问题
若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
点评 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是
（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是
提醒 当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0或a≠0进行讨论.
数形结合法解决恒成立问题
已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范围.
点评 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；
（2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）：
①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立
②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立
③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立 {x｜α≤x≤β} A，其中A是f（x）＞0的解集.
分离参数法解决恒成立问题
已知函数f（x）＝ax2＋x－1，若x∈[1，5]时不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5恒成立，则实数a的取值范围是 .
听课记录 点评 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤f（x）min.
主参换位法解决恒成立问题
已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为 .
听课记录 点评 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
转化为函数（式子）的最值解决能成立问题
已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是 .
听课记录 点评 （1）a＞f（x）能成立 a＞f（x）min；
（2）a＜f（x）能成立 a＜f（x）max.
1.当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.［，＋∞） B.（－∞，）
C.（，＋∞） D.（－∞，］
2.若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为 .
3.已知函数f（x）＝x2＋2ax－a＋2.
（1）若 x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；
（2）若对于 a∈[－1，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围.
微突破 一元二次不等式恒（能）成立问题
类型1
【例1】 解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}.
类型2
【例2】 解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，
令g（x）＝x2－mx＋2m－3，
①若≤2，即m≤4，如图1，
只需g（2）≥0，
即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，
∴m≤4满足题意；
②若＞2，即m＞4，如图2，
只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0，
则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6.
综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}.
类型3
【例3】 （－∞，4） 解析：∵f（x）＝ax2＋x－1，由f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5可得，ax2＋x－1＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5，整理得，ax＜x2＋4，∵不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5在x∈[1，5]上恒成立，∴ax＜x2＋4在[1，5]上恒成立，即a＜x＋在[1，5]上恒成立，设g（x）＝x＋，x∈[1，5]，根据对勾函数性质易得函数g（x）在[1，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增，故g（x）min＝g（2）＝4，∴a＜g（x）min＝4，即a的取值范围是（－∞，4）.
类型4
【例4】 （－∞，1）∪（3，＋∞） 解析：把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3.
类型5
【例5】 [－10，＋∞） 解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10.
跟踪训练
1.A 当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2时，a≥＝x＋恒成立，则a≥（x＋）max，令g（x）＝x＋，则g（x）在[1，2]上单调递增，所以g（x）max＝g（2）＝2＋＝，所以a≥.
2.8 解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，只需t＝－时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－代入解得a≥8.所以a的最小值为8.
3.解：（1）若 x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，则f（x）max≥0，x∈[－1，1].函数f（x）图象的对称轴方程为x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f（x）max＝f（1）＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.
当－a＞0，即a＜0时，f（x）max＝f（－1）＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＜0.
综上可得，实数a的取值范围是R.
（2）因为对于 a∈[－1，1]，f（x）＞0，
令g（a）＝（2x－1）a＋x2＋2，则g（a）＞0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x｜x≠－1}.
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微突破 一元二次不等式恒（能）成立问题
高中总复习·数学
解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合
法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的
条件选择合适的方法求解.
判别式法解决恒成立问题
若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取
值范围.
解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}.
点评 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是
（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是
提醒 当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0
或a≠0进行讨论.
数形结合法解决恒成立问题
已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f
（x）≥－1恒成立，求m的取值范围.
解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，
令g（x）＝x2－mx＋2m－3，
①若 ≤2，即m≤4，如图1，
只需g（2）≥0，
即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，
∴m≤4满足题意；
②若 ＞2，即m＞4，如图2，
只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0，
则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6.
综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}.
点评 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是
相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图
象全部在x轴下方；
（2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝
ax2＋bx＋c（a≠0）：
①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立
②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立
③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立 {x｜α≤x≤β} A，其中A是f
（x）＞0的解集.
分离参数法解决恒成立问题
已知函数f（x）＝ax2＋x－1，若x∈[1，5]时不等式f（x）＞（a
－1）x2＋（a＋1）x－5恒成立，则实数a的取值范围是
.
（－∞，
4）
解析：∵f（x）＝ax2＋x－1，由f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5
可得，ax2＋x－1＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5，整理得，ax＜x2＋4，
∵不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5在x∈[1，5]上恒成立，
∴ax＜x2＋4在[1，5]上恒成立，即a＜x＋ 在[1，5]上恒成立，设g
（x）＝x＋ ，x∈[1，5]，根据对勾函数性质易得函数g（x）在[1，2]
上单调递减，在[2，5]上单调递增，故g（x）min＝g（2）＝4，∴a＜g
（x）min＝4，即a的取值范围是（－∞，4）.
点评 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求
出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范
围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成
立时，应有a≤f（x）min.
主参换位法解决恒成立问题
已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，
则x的取值范围为 .
解析：把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－
4x＋4，则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2
－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组
得x＜1或x＞3.
点评 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键.
一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
（－∞，1）∪（3，＋∞）
转化为函数（式子）的最值解决能成立问题
已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f
（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是 .
解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋
8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g
（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所
以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10.
点评 （1）a＞f（x）能成立 a＞f（x）min；
（2）a＜f（x）能成立 a＜f（x）max.
[－10，＋∞）
1. 当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
解析： 当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2
时，a≥ ＝x＋ 恒成立，则a≥（x＋ ）max，令g（x）＝x＋ ，
则g（x）在[1，2]上单调递增，所以g（x）max＝g（2）＝2＋ ＝ ，所
以a≥ .
√
2. 若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－
1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则
实数a的最小值为 .
解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x
＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存
在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成
立，只需t＝－ 时，f（t＋1）－f（t）≥8，即
a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－ 代入解得a≥8.所以a的最小值为8.
8
3. 已知函数f（x）＝x2＋2ax－a＋2.
（1）若 x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；
解： 若 x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，则f（x）max≥0，
x∈[－1，1].函数f（x）图象的对称轴方程为x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f（x）max＝f（1）＝a＋3≥0，得a≥－3，所以
a≥0.
当－a＞0，即a＜0时，f（x）max＝f（－1）＝3－3a≥0，得a≤1，所
以a＜0.
综上可得，实数a的取值范围是R.
（2）若对于 a∈[－1，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围.
解： 因为对于 a∈[－1，1]，f（x）＞0，
令g（a）＝（2x－1）a＋x2＋2，则g（a）＞0在[－1，1]上恒成立，所
以 解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x｜
x≠－1}.
THANKS
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